分式的加减法.doc

3.3 分式的加减法一、教学目标（一）教学知识点1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用.2.简单的异分母的分式相加减的运算.（二）能力训练要求1.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感.2.会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力.（三）情感与价值观要求1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气. 二、教学重难点教学重点：分式的加减运算；教学难点：解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型思想。三、教学方法启发与探究相结合四、教学过程设计第一课时1.创设情景，导出问题从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路、2km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么（1） 当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？（2） 她走哪条路花费时间少？少用多长时间？（通过行程问题引入分式的加减运算，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力。培养学生对分式的建模能力。）答案：生活中到处都有分式的应用。 （2）走第一条路花费的时间少，少用了2.探索交流，发现规律讨 论：（1）同分母的分数如何加减？（2）你认为应等于什么？（3）猜一猜，同分母的分式应该如何加减？（让学生相互交流，引导学生通过与分数类比，大胆猜想分式的加减运算法则。并让学生说明其合理性。培养学生的探索能力。） 归 纳：与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。3.练习巩固，促进迁移做一做：通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：=（其中a、b既可以是数，也可以是整式，c是含有字母的非零的整式）.想一想：（1）异分母的分数如何加减？（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如应该怎样计算？（鼓励学生在同分母分式加减的基础上，思考异分母分式的加减。）类比异分母分数的加减运算，学生容易想到，解决异分母分式的加减问题，其关键是化异分母分式为同分母分式的过程。议一议：小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。 你对这两种做法有何评论？与同伴交流。（在化成同分母分式的过程中，学生容易出现问题。小明的做法往往是学生容易想到的，但比较麻烦。教学时可比较两人做法，使学生在比较过程中体会到后一种方法的快捷。）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。（最简公分母的概念在课本上没有进行严格的描述，学生只要能在具体问题中明确最简共分母即可，不必对这一概念进行深究。）用一用：请你计算一下本课开始的行程问题中的分式的加减式。（把所学的知识立即应用与实际问题，增强学生的学习兴趣。）4.练习巩固，促进迁移（后两小题是一组异分母加减的简单题目，只要分子、分母同乘以一个常数即可以化为同分母分式的加减运算，为下节课一般的异分母加减运算做好准备。）5.回顾联系，形成结构该如何进行分式的加减运算？在运算时应注意些什么？（通过提问方式引导学生小结主要知识及学习活动，养成学习总结再学习的良好习惯，发挥自我评价的作用，培养学生的语言表达能力）6.作业八年级（下）P81P82 习题3.4第二课时一、教学目标（一）教学知识点1.异分母的分式加减法的法则.2.分式的通分.（二）能力训练要求1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力.2.进一步通过实例发展学生的符号感.二、教学重点1.掌握异分母的分式加减运算.2.理解通分的意义.三、教学难点1.化异分母分式为同分母分式的过程.2.符号法则、去括号法则的应用.四、教学方法启发、探索相结合五、教学过程1. 探索交流，发现规律做一做：尝试完成下列各题：（让学生再次经历异分母分式的加减运算，在此基础上归纳出异分母分式的加减法法则。这种安排容易被学生所接受，符合他们的认知结构。）与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。2.巩固应用，拓展研究 例3 根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长1120m的盲道。由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期。假设原计划每天修建盲道xm，那么 （1）原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？ （2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？答案：（1）原计划修建这条盲道需要 天； 实际修建这条盲道用了天；（2）实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了 -=（天） （让学生充分得思考、讨论、交流。通过实例，提高学生的运算能力、代数推理能力和“数学化”的能力。）3.课堂练习，促进迁移计算：（1） （2）补充练习（1） （2）4.回顾联系，形成结构异分母分式的加减法法则是什么？这节课你有什么收获？（让学生自已总结本节所学内容，培养他们善于总结、归纳的能力）5.作业八年级（下）P84P85 习题3.53.2 分式的乘除法一、教学目标（一）教学知识点1.分式乘除法的运算法则，2.会进行分式的乘除法的运算.（二）能力训练要求1.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则.2.在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力.3.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识.二、教学重点让学生掌握分式乘除法的法则及其应用.三、教学难点分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算.四、教学方法引导、启发、探求五、教学过程设计1. 创设情景，导出问题观察下列运算：（让学生全面参与、独立思考，并让他们说说自己是怎样想的，为什么可以这样想，等等。调动学生的学习积极性。）2.探索交流，概括概念概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现（在广泛交流的基础上，由学生自己总结出分式的乘除法法则，并用数学的符号语言加以表示。）3.巩固应用，拓展研究例1计算下列各题： （这是一个纯运算题目，应引导学生理解每一步的算理。加强学生的逻辑推理能力。）例2 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都d，已知球的体积公式为最简分式的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个答案：选B3. 计算： 4. 先化简，再求值。 5.回顾联系，形成结构想一想：分式的乘除法的法则是什么？在做分式的乘除法时应注意些什么？（过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解）6.课外作业与拓展习题3.3的第1、2题.3.4 分式方程（一）一、教学目标1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系。3.经历“实际问题分式方程模型求解解释几解的合理性”的过程，发展学生分析问题的能力，培养学生的应用意识。二、教学重难点 教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性。 教学难点：掌握“实际问题分式方程模型求解解释几解的合理性”的过程。三、教学过程设计1.创设情景，探索交流情景一：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公倾的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那第二块试验田每公顷的产量 是 kg.根据题意，可行方程。 。答案：等量关系包括：第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量。第一块试验田的面积=第二块试验田的面积第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg情景二：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间。这一问题中有哪些等量关系？如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为xh，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为 h。根据题意，可得方程 。答案：等量关系包括：600km=客车在普通公路上行驶的平均速度客车由普通公路从甲地到乙地的时间。480km=客车在高速公路上行驶的平均速度客车由高速公路从甲地到乙地的时间。客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h由高速公路从甲地到乙地所需的时间=1/2x由普通公路从甲地到乙地所需的时间2x通过几个实际问题，让学生经历从实际问题抽象、概括分式这一“数学化” 的过程。在教学过程中，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。） 2.深入探讨，概括概念做一做：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐灾。已知第一次捐款的总额为4800元，第二次捐款的总额为5000元，第二次捐款的人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额刚好相等。如果设第一次捐款的人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？（注意让学生努力寻找等量关系，加强学生的思维能力。）答案：等量关系为议一议：上面所得到的方程有什么共同的特点？ （鼓励学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再与同拌讨论、交流自己的结果。通过这一过程加强学生的观察能力、语言概括能力。）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。3. 练习巩固，促进迁移见课本P78“随堂练习”4.回顾联系，形成结构什么是分式方程？怎样列分式方程？（通过问题的提出，总结本节课的相关知识，让学生再次体会“实际问题分式方程模型”的过程，嘉庆学生的建模意识。）5.作业北师大版八年级（下）P88 习题3.6程为：第二课时一、教学目标（一）教学知识点1.解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.（二）能力训练要求1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.二、教学重点1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.2.明确解分式方程验根的必要性.三、教学难点明确分式方程验根的必要性.四、教学方法探索发现法学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.五、教学过程1.创设情景，引出问题解方程：你能设法求出上节课中的分式方程 的解吗 2.探索交流，发现规律回顾：解方程时，我们一般是先去分母，两边同时乘以最小的公分母37，得，即7x=9x+21，这种形式相对就容易计算。通过移项，合并同类项求得x=-10.5。联系：对于分式方程，如果两边同时乘以分母最小的公因式，是不是也能像上面的方程一样的解决呢？请你试试看！（通过一元一次方程的解法的展示后让学生探索交流，发现解分式方程的一般步骤。） 解：方程的两边都乘以x(x+3000),得 9000(x+3000)=15000x 解这个方程，得x=0.5思考：如何检验x=0.5是方程的解？检验：将x=0.5代入原方程，如果得到的左边的值等于右边的值，则它就是原方程的解。请你检验一下x=0.5是不是方程的解？（同过检验，体验方程解的意义，同时为分式方程的增根的研究作好准备。）3.例题讲解，加深印象例1：解方程：解：方法一：方程两边都乘以，得 解这个方程，得x=3 检验：将x=3代入原方程，得 左边=1=右边， 所以，x=3是原方程的根。例2: 解方程: 解:方程两边都乘以2x,得 解这个方程,得得x=4 检验：将x=4代入原方程，得 左边=45=右边， 所以，x=4是原方程的根。4.议一议议一议：在解方程时，小亮的解法如下：你认为x=2是原方程的根吗？与同伴交流。（让学生充分进行讨论、交流。寻找增根产生的原因。）在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称之为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同时乘了一个可能使分母为零的整式。事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。5.练习巩固，课内深化. （6.回顾联系，形成结构想一想：解分式方程一般需要经历哪几个步骤？（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解）7.课外作业与拓展北师大版八年级（下）P90P91 习题3.7 第三课时一、教学目标（一）教学知识点1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.2.用分式方程来解决现实情境中的问题.（二）能力训练要求1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型.（三）情感与价值观要求1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.二、教学重点1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.2.根据实际意义检验解的合理性.三、教学难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.四、教学过程1.创设情景，探索交流做一做：（课本问题）某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有的房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。（1） 你能找出这一情景中的等量关系吗？（2） 根据这一情景你能提出哪些问题？（3） 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？（引导学生从不同角度寻求等量关系，让学生明白解决此类问题的关键是找出等量关系。）答案：（1） 第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元第一年出租的房屋的间数=第二年出租的房屋的间数（2） 求出租的房屋总间数；分别求出两年每间房屋的租金（3） 设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为（x+500）元，根据题意，得 2.例题讲解，分析应用例3 （课本例题）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。此题的主要等量关系是什么？请大家找找看主要的等量关系是： 小丽家今年7月份的用水量-小丽家去年12月份的用水量=5m3 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。解：设该市去年居民用水的价格x元/ m3 ，则今年的水价为（1+1/3）x元/ m3，根据题意，得 解这个方程，得x=1.5经检验，x=1.5是所列方程的根。1.5（1+1/3）=2（元）所以，该市今年居民用水的价格2元/ m3。 （本例密切联系学生生活实际，又关注社会热点水资源问题。让学生将实际问题转化为数学模型，并进行解答、解释解的合理性，通过本例对学生进行节约用水的教育。）练 习（1）某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的）3.练习巩固，促进迁移（1）为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁昆明的直达快车，已知南宁昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？解：设普通快车的平均速度为xhm/h，则直达快车的平均速度为1.5km/h，依题意，得 解得：x=46经检验，x=46，是方程的根，且符合题意。x=46,1.5x=69（2）编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：要联系实际生活，其解符合实际；根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；题目完整，题意清楚。 （此题让学生去发现显示生活中的素材，可创编电费、卫生费等问题，发展学生提出、分析、解决问题的能力，增强他们的应用意识。）解 所编应用题为：甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？解 设甲每小时做x个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有 x=5,x-2=5-2=3答：甲每小时做5个，乙每小时做3个。（3）甲、乙两地相距500千米，两车都从甲地开往乙地，大汽车早出发2小时，小汽车比大汽车晚到20分钟，已知小汽车和大汽车速度比是5：3，求两车的速度。4.回顾联系，形成结构想一想：用分式方程解应用题一般需要经历哪几个步骤？（让学生总结，通过问题的回答，引导学