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微积分与哲学 灌水乐园 发表在 科学探索 华声论坛 /forum-148-1.html 分享到数学可以作为自然科学的理想工具，在于这种工具可以较方便定量的处理自然界的问题。其中一些自然界的问题，常量数学是处理不了的，非用微积分不可。可是为什么常量数学不行，微积分就可以呢？多数人是回答不了的，就连数学家也不能很好的回答！许多学习微积分的初学者，不能理解微积分的方法。这是有原因的，因为他们的哲学基础薄弱，即使学过却也不理解。微积分不在于领悟极限的定义，微积分的出现本来就比极限定义至少早了150年呢！学习者其实应该反思，微积分比常量数学高明多少；什么样的方法研究自然界是有效的；对人的意识和自然界应该有什么样的态度！一、数学不是单纯的数字游戏！是有应用价值的，体现在各类数学模型上。常量数学固然在17世纪以前发挥了一定作用，不过对于变量数学就不行了。因为常量数学的研究方法，过于侧重人的意识，不能很好的深入自然领域，而且是一种宏观（整体）上的方法。与自然界的联系是不紧密的，二者的关系比较松散（粗糙）；或者可以说没有抓住客观事物的本质，所以要处理许多的自然科学提出的问题是不可能的。二、常量数学与自然界的辩证关系常量数学初等几何中没有定义“点”、“线”、“面”。同时按照运动观点有：点动成线，线运动成面、面动成体。用不可分量的集合论就是说：线是点的集合，面是线的集合等。而且不定义的“点”、“线”、“面”是经过抽象的，认为不具备自然属性，只有几何特性；然而自然界所有的“点”、“线”、“面”都是客观存在的，均具有自然属性。在数学哲学的自然原理中提过：定理I：一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换。定理II：空间总能容纳物体且不受影响，并允许容纳物进行空间交换。这两个定理是对绝对空间来说的，不是指相对空间；其实在爱因斯坦的理论准确一些，后面也是要说的。提这两个定理是要指出，自然界确实找不到没有体积（不占据空间的）点、线、面。于是，初等几何和自然界就必然存在着矛盾。例如平面直角坐标系内的任意曲线（函数、方程）作为自然界的客观实体，元素（点的轨迹集合）是实实在在的物质，是有长度的！可是有长度的点还是点吗？当然不是至少也会是线段，存在却不可度量！可见自然界的“点”不在人的意识定义范围之内（不可度量性）。这是算术与自然界的矛盾。这样就不能以（算术的度量尺度+初等几何）来描述了，因为无法描述非要描述呢话（点是没有长度的长度）！这是一个典型的罗素驳论：点是长度为0的长度或者点不是长度！到底是什么？这仅仅是表面现象，根本上还是说明了一种辩证关系：自然界是独立的，意识只是人脑的反映。所谓罗素悖论，起源于19世纪的第三次数学危机，是关于数学基础的讨论（数学的基础是什么？）！简单的例子就是理发师悖论：某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸，试问？理发师给不给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，他就是给自己刮脸的人，照他的要求又不能给自己刮脸。到底该不该自己刮脸呢？三、数学方法怎样处理自然界的客观问题既然数学对象是自然界的客观实体，方法上就必须保持自然界的客观性是存在的，最终能够回归到自然界，不能停留在意识之上！例如：初等几何中的点、线、面抽象后否定了物质性，是脱离客观实体的客观性（世界是物质的）的，只具备几何特性；如果以它们这种非物质形态来研究真实的自然界肯定不行，因为已经脱离了自然界。可是自然界的客观实体确实是它们组成的，不可分量的集合论就指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点又承认了它们的（物质性）自然属性这是整体上的认可。整体上可以认可，部分当然也是可以认可的。但是部分（意识）是和自然界有矛盾的，对于部分常量数学，只承认几何性，没有认可自然性！因为它们不可度量，不在常量数学算术度量尺度体制之内。仅凭几何特性来研究自然界的客观实体显然是脱离一定实际的。所以需要它们能以真实的物质形态来研究自然界。因为它们的客观物质形态是逃逸出纯粹数学（其实是常量数学）的，所以要研究的问题最终必须逃逸出纯粹数学（常量数学）的体制，这样元素就实现了自然界的回归，于是整体必然也还原于自然界。逃逸就必然表现在逻辑矛盾之上，即与常量数学的思维上的逻辑矛盾！因为只有矛盾才能说明最终形态确实逃逸出了人的意识（初等几何+算术度量），反之没有矛盾就不能说回归了自然界！四、变量数学与自然界的辩证关系变量数学的中心其实应该是函数。初等几何否定了点、线、面的物质性，只承认几何特性，是脱离客观实体的客观性的；集合理念则指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点承认了它们的自然属性整体上的认可。而这种观点在逻辑上体现在函数身上，例如：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P=M|MC=r隐函数表达式为：x2+y2=r2。所以函数是对数学对象（物质性）的客观反映，在宏观（整体）上认可了自然属性；这样整体的微观部分具有的客观性也得到了认可，在研究函数的局部性质时，这种客观性就会表达出来。这也就是微积分所要反映的基本事实！只有承认了自然界客观性的数学，才具有研究自然界的能力。常量数学否定了自然属性脱离了一定实际，这就限制了其自身对自然界的解决能力；这也就是常量数学与变量数学本质的地方，常量与变量只是一种数学形态的外在表现。我觉得赫曼威尔在数学哲学与科学哲学中问的好：为什么大自然中的事件可由观察和数学分析（微积分）的结合来预言。因为数学分析，一开始就承认了自然界的客观性！正如马克思雄辩的回答那样：“意识能够正确的反映客观事物”。微积分离开了函数，就丢失了灵魂。笛卡尔的解析几何引入了变数，加深了函数的理念。有了函数才能真正的建立起微积分，牛顿莱布尼兹公式深刻的反映了，自然界整体与局部的客观性的联系。函数本身是一个自然界的微雕，通过数学分析研究函数就是在研究自然界微雕的局部性质。反过来研究自然界微雕的局部，在还原于函数又能整体上表达自然界（微分方程）。五、微积分与自然界的辩证关系微积分就是回归自然界的一种方法，它所有的最终形态（取极限），没有哪里是不存在矛盾的；什么贝克莱驳论、定积分0+0驳论、无穷级数芝诺的追击驳论等。由于研究的基本都是自然界的客观实体（或规律）。所以微积分的精髓在于元素（体制外微元）和驳论！就是要置常量数学于死地，从而回归自然的方法。也只有这样的方法才能研究自然界，可以说微积分是常量数学死亡后，浴火重生后的凤凰。后来的极限论定义其实是在轻微的维护常量数学（人的意识），无穷级数也一样，有名的芝诺追击驳论（是违反客观自然规律的），但最终取极限就还原了自然真实。极限难！在于无法看透自然界与人的意识的辩证关系。一味的理解极限定义，次序颠倒，意而上学。从这里可以看出：微积分必定是要先于极限论建立，它的方法本质不在于建立定义，而在于回归自然界，极限则是其回归的常量数学逻辑表达形式（代言人）。所以极限论的出现是必然的，矛盾和驳论也是必然的！有这样的辩证关系，于是产生了一些有趣的现象：0/0=20（导数），0+0+.0=1/3（定积分），1/2+1/4+1/8+.=1。导数反映了自然界点的自然属性（有长度）；定积分反映了线段有面积，二重积分反映了线段有体积，二次积分后反映了平面有体积，无穷级数反映了追得上！然而这些真实的存在，却不可感知（不在初等几何之内），不可度量因为在体制（算术）之外。六、无穷小与相对论为什么同一条曲线，组成的元素都是点无差别的，为什么导数不同？0/0=1、0/0=2、0/0=100。首先函数代表曲线，曲线上的点都与x轴上的点一一对应（同样数目的点）；可是曲线的自然长度确与x轴对应的长度是不等的，所以曲线上的点在这种关系下一般不相同。在定积分中要注意这种相对关系，这也就是产生微元有无穷小和高阶无穷小的原因！七、微积分可以初等化的原因微积分可以初等化，在于不可分量的集合论就指出：线是点的集合，面是线的集合等，这种观点承认了它们的自然属性这是整体上的认可。整体上把握并且在常量数学体制之内，避免了处理体制外的数学，绕开了矛盾和驳论！另一方面微积分本就不依赖于极限，所以也是可以绕开的。具体形式我不用看也猜得出来，用函数关系！这也就是其独到之处，不置常量数学于死地，仍然回归自然的方法。逻辑上确实清楚了，少了不少负担，有利于中国的数学教育。常量数学的方法体制不死，微积分也就初等化了。但却有代价，学习者可能在局部分析上的能力有所下降。八、中西文化的差异西方哲学家继承了古希腊哲学理性思维的传统，注重理性思辩和热衷于构建形而上学的理论体系，这种思维方式和习惯与高等数学的思维习惯是相似的。并且西方哲学理论和哲学观点多是建立在严密的逻辑推理和论证的基础之上的，即使是上帝的存在问题他们也要向对待数学问题那样试图用严密的辩证法和逻辑来给予证明。西方哲学家的这种注重推理论证和寻求因果联系的理性主义的思维习惯一旦与面向感性世界的经验主义和实验科学相结合将极大地促进自然科学的发展。在对于微积分的研究上，西方数学家把眼光放在最细微的地方，虽然他们没有强调这一点，然微积分确实征服了“点”、“线”、“面”。这是一种“征服文化，”所以牛顿、莱布尼兹、柯西在这种文化的熏陶下，长时间内是不会也不可能去考虑：强可导函数的。中国传统哲学自孔子以来就培养了一种深厚的“实用理性精神”，总是同做人即人格修养联系在一起，因此有关人性论和修养论的内容最为丰富。哲学家提出任何一种学说都要说明它对做人的意义，都要满足为政治实践和道德实践服务的现实需要，这种纯功利主义的思维方式和习惯与西方哲学本身所固有的为学术而学术的思维方式和习惯是大相径庭的，与要求严密推理和论证的数学思维方式也是格格不入的。这种思维方式和习惯不利于或者说阻碍了近代自然科学在中国的兴起和发展。强可导函数，整体上暗中回归了自然界，这种方法维护人的意识（常量数学）比极限论要强烈的多。逻辑思维上较简单没有了驳论和矛盾，有利于学生偷懒。西方的微积分方法，侧重于了数学与自然界最终的和谐与统一；中国的初等化微积分侧重于数学与人的和谐统一。西方为了研究自然界，牺牲初等数学（意识）了为代价，体现了对自然界的热爱和尊重。中国的初等化微积分，体现了以人为本的理念。学习西方哲学，改造中国传统哲学的思维方式和习惯，养成一种与数学思维方式相似的注重严密推理和论证的思维方式和习惯，对于促进我国科学技术的发展是大有裨益的！所以我觉得即便学了初等的微积分，还是有必要重新学极限论的微积分。这不是麻烦，而是思维的转型。中学一次，大学再学一次！就怕我们的学生，觉得强可导简单，对西方微积分有抵触情绪，不愿意接受。最好是中西结合，最终的道路都是殊途同归，不可厚此薄彼。（来源网络）- 分享到本帖最后由 灌水乐园 于 2011-3-17 19:07 编辑 -第2楼回复时间：2011-3-17 17:35回复主题查看资料只看该作者返回版面列表微积分与哲学一、部分哲学的简单内容一、哲学的“哲”的源学含义 英语 philosophy Philos （爱） Sophia（智慧） 汉语，中国古代的“哲”字，就是智慧的意思，经日本学者西周的翻译，古希腊爱智慧的学问就叫哲学。在亚里士多德的知识分类中，哲学又被称为形而上学。亚里士多德把人类的知识分为两大类，第一类知识是研究抽象的超验的对象，被称为第一哲学;第二类知识是研究具体的经验的对象，被称为第二哲学，也叫物理学。亚里士多德去世之后，他的学生们在编辑老师的著作时，把第一哲学放在了第二哲学之后出版，中国人在最初翻译亚里士多德的哲学著作时，采用直译的方式，就把第一哲学翻译为物理学之后。后来才根据中国古代易经系辞中的两句话：形而上者谓之道，形而下者谓之器，把哲学译为形而上学。二、哲学是理论化、系统化的世界观1.从哲学的研究对象角度下的定义。2.世界观是人们对整个世界的根本看法。3.方法论是人们在一定的世界观指导下认识和改造世界的根本方法。三、哲学是关于自然知识、社会知识和、思维知识的概括和总结四、理解微积分需要了解的哲学原理1、自然界与人的辩证关系：自然界先于人和人的意识而存在；在人类出现之后，自然界的存在与发展也不依赖于人的意识。所以说，自然界的存在与发展是客观的。2、哲学上的物质 马克思主义哲学把不依赖于人的意识、并能为人的意识所反映的客观实体叫做物质，指 出整个世界是客观存在的物质世界，世界的本质是物质。3、什么是人的意识意识是客观存在在人脑中的反映。（意识无论正确与错误都是一种反映！）4、物质与运动的辩证关系物质是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。（在后面的微积分内容，会看到相对论效应。）注意：函数与自然界辩证法要用这一条。可以了，要理解微积分和相对论效应（你不用追着光跑！），这几条就足够了。有能力的可以看其它哲学的内容。 二、常量数学的哲学分析1、常量数学的概念所谓常量数学指：初等数学，即从原始社会到17世纪中叶形成的数学。研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。2、常量数学的基本组成初等数学在时间上可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公元前6世纪以前；几何优先阶段，公元前5世纪到公元2世纪；代数优先阶段，3世纪到17世纪前期。至此，初等数学的主体部分算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。所以，常量数学的组成可以认为是：算术+初等代数+初等几何，再加上一点点极限的原始理论。比如，我国魏晋时期杰出的数学家刘微创立了“割圆术”曾说“割之弥细，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。” 和庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这些均是朴素的、很典型的极限概念。奇怪了，在古希腊既然有了“极限理论”怎么就生不出微积分呢？原因在于没有函数的理念！首先，微积分不是极限的必然产物，而是函数的必然产物。所以中间掉了一部分，是建不起来微积分理论的，甚至可以说极限是函数的衍生物。3、常量数学在哲学上的辩证分析先提一提算术，其实是一种人为的约定，起源于原始的劳动计数和收集。这是一种人特有的意识，对自然活动的一种反映。假如，你旁边有一个人和一只狗，你说：1+1=3；旁边的人就会指出：不对！1+1=2，我相信你旁边的狗是不会有意见的。下面看一看初等几何（欧几里得几何），几何少不了要研究图形。于是欧几里得说：1. 点是没有部分的那种东西。2. 线是没有宽度的长度。3. 直线是同其中各点看齐的线。4. 面是只有长度和宽度的那种东西。5. 面的边缘是线。6. 平面是与其上直线看齐的那种东西。 15.圆是包含在一（曲）线里的那种平面图形，使从其内某一点年到该线的所有直线都彼此相等。几乎都是从哲学意义上去定义的，我们不禁要问，“没有部分的那种东西”和“只有长度和宽度的那种东西”是什么东西呢？“没有部分”存在吗？我们能够看见他们或知晓它们吗?当然，前提是如果这种“东西”存在的话。除此之外，我们能说“点”就在我们心中吗？“点”是虚构的吗？在实际处理中，我们是能看到点的。比如，笔尖在纸张上用力轻轻一“按”就得到了点的图形。当然，你们的老师说会告诉你，这个图形没有长度、没有面积、没有体积；就差说这个东西不存在了！美其名约：“这是数学的抽象性！”这是对自然界客观事物的诡辩，不定义的“点”、“线”、“面”是经过抽象的，认为它们不具备自然属性，只有几何特性；然而自然界所有的“点”、“线”、“面”都是客观存在的，均具有自然属性。姑且不谈爱因斯坦的时空观，就算是牛顿的绝对时空观也有：定理I：一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换。可见，自然界确实找不到没有体积（不占据空间的）点、线、面。于是，初等几何和自然界就必然存在着矛盾。例如平面直角坐标系内的任意曲线（函数、方程）作为自然界的客观实体，元素（点的轨迹集合）是实实在在的物质，是有长度的！可是有长度的点还是点吗？当然不是至少也会是线段，存在却不可度量！可见自然界的“点”不在人的意识定义范围之内（不可度量性）。这就是说，算术也与自然界的矛盾。这样就不能以（算术的度量尺度+初等几何）来描述了，因为无法描述非要描述呢话（点是没有长度的长度）！这是一个典型的罗素驳论：点是长度为0的长度或者点不是长度！到底是什么？这仅仅是表面现象，根本上还是说明了一种辩证关系：自然界是独立的，意识只是人脑的反映。代数这么样呢？无非就是解方程，x+1=2；则有x=2-1=1。还是纯粹的人的意识，自然界的客观性，基本没有提到！您想，用脱离自然界客观性的初等数学，来研究自然界实实在在的客观事物，能行吗！所以，数学在历史的长河中，要等待一种新的理念，来承认自然界的客观性。这样数学才能爆发出，惊人的力量。 启迪：数学方法怎样处理自然界的客观问题 数学对象是自然界的客观实体，方法上就必须保持自然界的客观性是存在的，最终能够回归到自然界，不能停留在意识之上！三、17世纪的呐喊近代科学始祖笛卡尔现在我们再次翻开17世纪数学史上波澜壮阔的历史画卷，沿着历史的足迹回到16世纪文艺复兴时期，看一看此时的欧洲人遇到了什么难题？从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，生产实践积累了大量的新经验，科学的发展为技术的更新奠定了新的基础，许多新技术的发明和运用又给科学提供了更丰富的素材，并提出了大量的新问题，其中许多问题摆在了数学家面前，然而，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切寻求解决变量的新数学方法。17世纪前半叶，一个崭新的数学分支解析几何学的创立，标志了近代数学的开端，并为数学的应用开辟了广阔的领域。“工欲善其事，必先利其器。”首先就需要知道解析几何这一数学工具。 还是有请笛卡尔同志来该我们谈一谈吧。笛卡尔说：“当时流行的代数学，我觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种真正的数学”“那您找到方法了吗？”笛卡尔略带笑容的说：“我的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的”。“能具体一些吗？”笛卡尔继续说：“我在1637年发表了几何学，创立了直角坐标系。用平面上的“一点”到两条固定直线的距离来确定“点”的“位置”，用坐标来描述“空间”上的“点”；这样就可以把相互对立着的“数”与“形”统一起来了，于是几何曲线便可与代数方程相结合；从而几何问题就可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，并证明几何性质。“且从运动的角度来看，曲线可以看成点运动的轨迹。”哲学辩证法指出：物质与运动的辩证关系：物是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。既然，要把曲线可以看成点运动的轨迹，就不能不承认点的物质性了。如果点都不存在，那里还有什么运动！按照哲学辩证法的结论：运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。运动论就可以转化为物质论！事实也是这样的：现代的解析几何对，曲线的定义，都在说什么样的点的集合！比较典型的就是，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P=M|MC=r。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了”。其实，变数的最大功绩在于数学上承认了自然界的客观性。数学在历史的长河中，要等新的理念，就是承认自然界的客观性。只有这样的数学，才能应付自然界的客观问题。四、函数的历史意义变量数学的中心其实是函数。初等几何否定了点、线、面的物质性，只承认几何特性，是脱离客观实体的客观性的。17世纪笛卡尔建立了解析几何，为函数的建立开辟了道路。由于曲线可以看成点运动的轨迹，即：线是点的集合，以此类推面是线的集合等，承认了它们的自然属性整体上的认可。而这种观点在逻辑上体现在函数身上，例如：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P=M|MC=r隐函数表达式为：x2+y2=r2。所以函数是对数学对象（物质性）的客观反映，在宏观（整体）上认可了自然属