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文档简介

3. 曲面的第二基本形式3.1曲面的第二基本形式 在2中所研究的对象都是属于曲面的内蕴几何，即所研究的只是曲面本身的内蕴性质，而不依赖于曲面在空间中如何弯曲。为了研究曲面在空间中的弯曲性，我们有必要引进和的另一个二次微分形式，就是我们在这里要介绍的第二基本形式。设类曲面的方程为 ，即有连续的二阶导函数. 现在固定曲面上一点，并设为曲面在点的切平面。 曲线: 是上过点的一曲线，其中是自然参数。设是曲线上在点邻近的一点，和点的自然参数的值分别为与，即点的向径为，点的向径为.利用泰勒公式得 ，其中. 设为曲面在点的单位法向量，由作切平面的垂线，垂足为，则其中为从平面到曲面的有向距离（如图2-11）。由于 所以有 因此当时，无穷小距离的主要部分是 由于 ，又因为 所以 引进符号： （2.27）于是前式为 （2.28）它称为曲面的第二基本形式，它的系数、称为曲面的第二类基本量。上式表明第二基本形式近似地等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而它刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即刻画了曲面在空间中的弯曲性。根据上述讨论，我们可以看出第二基本形式不一定是正定的，当曲面在给定点向的正侧弯曲时为正，向的反侧弯曲时为负。现在把曲面的单位法向量 代入（2.27）中，就有 另一方面，对关系式进行微分，便得 由此得出 第二类基本量还可以用另外的形式来表示，由于、在切平面上，所以 将上两式微分后得 与（2.27）比较，我们得到 2.曲面的第一基本形式2.1曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长给出曲面： （2.2） 上的曲线： （2.18）或 对于曲线有 或者 若以表示曲面上曲线的弧长，则 令 （2.19 )则有 （2.20）这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧线。设曲线上两点则弧长为 （2.20）是关于微分的一个二次形式，称为曲面的第一基本形式。用表示： 它的系数 称为曲面的第一类基本量。曲面的第一基本形式在曲面论中占有非常重要的地位。对于曲面的特殊参数表示有 则 由（2.19）有 曲面的第一基本形式为 由（2.19）知 又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别式 因此第一类基本量、满足不等式这表明第一基本形式是正定的。这个结论也可由直接得出。第三基本形式定义曲线的测地挠率为 所以 再根据曲线的伏
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