华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十五章)第六讲：正态分布.doc

第六讲 正态分布 教学目的：了解正态分布的意义及主要性质 教学重点：了解正态分布的意义及主要性质 教学难点：了解正态分布的意义及主要性质 【知识概要】知识点1 正态分布密度函数在连续型总体中，应用最为广泛的是一种所谓呈正态分布的总体，简称正态总体，正态总体的概率密度函数是, 是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值，xR.；式中的实数, (0)是参数，分表示总体的平均值与标准差，即,正态总体常记为N(, 2)，它的密度曲线简称为正态曲线正态分布）是由均值和标准差唯一决定的分布正态分布）是由均值和标准差唯一决定的分布，通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称。正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质 知识点2 正态曲线的性质（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交 由函数的性质有eu0,.故曲线与x轴不相交,在x轴上方.（2）曲线关于直线x=对称 在曲线y=f(x)上任取一点A(x0,y0),关于直线x=的对称点为A(x,y),y=y0且x=2-x0.x0=2-x,y0=y.又A在曲线上,.,即有.也就是点A在曲线上,由A点的任意性.曲线y=f(x)关于直线x=对称.（3）当x=时，曲线位于最高点 因为当x=时,有最大值0,所以y=f(x)有最大值,也就是曲线在x=时位于最高点.（4）当x时，曲线上升（增函数）；当x时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 由指数函数y=ev是单调递增函数,在x(-,上是增函数,在x,+)上是单调递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以f(x)在x(-,上是增函数,在x,+)上是减函数.故当x时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.（5）一定时，曲线的形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小曲线越“瘦高”总体分布越集中：知识点3 标准正态曲线当=0、=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-x+） 其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位，任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题。为了便于应用,已专门制作了“标准正态分布表”. 由于标准正态曲线关于y轴对称,表中给出了x00时的函数值(x0).在标准正态分布表中，相应于每一个()的函数值是指总体取小于的值的概率（函数实际上是正态总体N(0,1)的累积分布函数），即=；如图中左边阴影部分所示.若时，（0）=0.5；若，由对称性知图(2)中两个阴影部分的面积是相等的,(x0)=1-(-x0).则利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间(x1,x2)内取值的概率知识点4 非标准正态总体在某区间内取值的概率一般的正态总体N(,2) ，可以通过转化成标准正态总体N(0,1)来进行研究. 可以证明：对于任一正态总体N(,2)来说,取值小于x的概率及在任一区间(x1,x2)内取值的概率P=F(x2)-F(x1)=()-().事实上,标准正态总体,对应的函数表达式为,将x变化为即可. 知识点5 小概率事件小概率事件：一般说来概率值很小的情况称为小概率事件，通常认为这些情况在一次实验中几乎是不可能发生的（一般情况是：“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件.因为对于这类事件来说,在大量重复试验中,平均每试验20次,才能发生1次,所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.）“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理”可帮助我们进行统计假设推断.这种思想方法就是统计中常用的假设检验方法的基本思想.从理论上讲，服从正态分布的随机变量的取值范围是R，但实际上取区间(-3，+3)外的数值的可能性微乎其微，在实际问题中常常认为它是不会发生的。因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(-3，+3)，这即实用中的三倍标准差规则，也叫3规则。在企业管理中，经常应用这个规则进行产品质量检查和工艺生产过程控制。统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断，是拒绝假设还是接受假设。即首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序，即“三步曲”：一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a值是否落入(-3，+3)；三是作出判断 。可以分别求正态总体N(,2)在区间(1)(-,+),(2)(-2,+2),(3)(-3,+3)内的取值的概率.解：(1) F(+)=(1);F(-)=(-1),正态总体N(,2)在(-,+)内取值的概率是P1=F(+)-F(-)=(1)-(-1)=(1)-1-(1)=2(1)-1=20.8413-10.683.(2) F(+2)=(2),F(-2)=(-2)=1-(2).正态总体N(,2)在(-2,+2)内取值的概率为P2=F(+2)-F(-2)=(2)-1-(2)=2(2)-1=20.9772-10.954.(3) F(+3)=(3),F(-3)=(-3)=1-(3).正态总体N(,2)在(-3,+3)内取值的概率是P3=F(+3)-F(-3)=(3)-1-(3)=2(3)-1=20.9987-10.997.我们再利用“小概率在一次试验中几乎不可能发生”的思想解决生产实践中的问题：假设2人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(,2).从上面知道,零件尺寸在(-3,+3)以内取值的概率为99.7%,即零件尺寸落在(-3,+3)以外的概率只有0.3%,这是一个小概率事件.它表明在大量重复试验中,平均每抽取1000个零件,属于这个范围以外的零件尺寸只有3个.因此在一次试验中,零件尺寸在(-3,+3)以外是几乎不可能发生的,而如果这种事件一旦发生,即产品尺寸a满足|a-|3,我们就有理由认为这时制造的产品尺寸服从正态分布N(,2)的假设是不成立的,它说明生产中可能出现了异常情况,比如可能原料、刀具、机器出了问题,或可能工艺规程不完善,或可能工人操作时精力不集中、未遵守操作规程等,需要停机检查,找出原因,以将生产过程重新控制在一种正常状态,从而及时避免继续生产废、次品,保证产品的质量.上面控制生产过程的方法,运用了统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值,对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设,还是接受假设.目前在生产中广泛运用的控制图,就是根据上述假设检验的基本思想制作的.把图甲按顺时针方向旋转90就得到一张控制图乙.图甲中的直线x=,x=-3,x=+3分别成为图乙中的中心线、控制下界和控制上界.【基础题典例解析】例1 一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件.现从中抽测10个,它们的尺寸分别如下(单位：mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸服从正态分布,求该正态分布的概率密度函数.解：依题意,可得,即E=10.s*2=(10.2-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.7-10)2+(10-10) 2+(9.9-10)2+(10.1-10)2=0.3=0.03.D=2=S*2=0.03,的概率密度函数为.例2 设随机变量服从N（0，1），求下列各式的值： （1）P(2.55)； （2）P(-1.44)； （3）P(|1.52)。 分析:一个随机变量若服从标准正态分布，可以借助于标准正态分布表，查出其值。但在标准正态分布表中只给出了，即的情形，对于其它情形一般用公式：(-x)=1-(x)；p(axb)= (b)- (a)及等来转化。 解:（1） （2）： （3） 例3 某市210名高中学生参加全国高中数学联赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列下表：成绩1分2分3分4分5分人数分布000615成绩6分7分8分9分10分人数分布2112330（1）求样本的数学平均成绩和标准差(精确到0.01);（2）若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程;（3）若规定,预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可以进入复赛?解：（1）=(46+515+621+712+83+93)=6.s2=6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2=1.5.s1.22.即样本的数学平均成绩为6分,标准差为1.22.（2）以x=6,s1.22作为总体数学平均成绩和标准差的估计值,即=6,1.22,则总体服从正态分布N(6,1.222). 正态曲线的近似方程为.（3） F(7)=()(0.8)0.7881. 1-F(7)1-0.7881=0.2119. 2100.2119=45. 根据规定,大约有45名学生可以参加复赛.例4 设，且总体密度曲线的函数表达式为：，xR。（1）求，； （2）求及的值。解：（1）由于，根据一般正态分布的函数表达形式，可知=1，故XN（1，2）。 （2）。又。例5 某中学有1000人参加并且高考数学成绩近似地服从正态分布，求此校数学成绩在120分以上的考生人数。（2）0.977）解：用表示此中学数学高考成绩，则，120分以上的考生人数为10000.02323。例6 某校高二年级期末考试数学成绩服从正态分布N（70，102）（(1)=0.8413，(0.97)=0.8330）（1）若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的数学成绩排名；（2）若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的数学成绩。解：（1）设排在学生甲前面的学生的数学成绩为分，则，又0.16100=16，学生甲的数学成绩排名约为第17名。（2）设60分及其以上的学生的数学成绩为分，则，可见及格的考生（101人）占全体考生的874.13%，因此考生总数约为人。故前20名考生在全体考生中所占比率大约为，设第20名考生的成绩为x分，则有，即。即得，第20名学生的数学成绩约为80分。例7 某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需的时间（单位为分）服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,42)（最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线)（1）若只有70分钟可用，问应走哪条路线？ （2）若只有65分钟可用，又应走哪条路线？解：（1）走第一条路线及时赶到的概率为：P(070)=(2)=0.9772. 走第二条路线及时赶到的概率为：P(070)=(2.5)=0.9332.（2）走第一条路线及时赶到的概率为：P(065) =(1.5)=0.9332.走第二条路线及时赶到的概率为：P(065) =(1.25)=0.8944.例8 某校高二期末考试数学成绩服从正态分布N（70，102） （(1)=0.8413，(0.97)=0.8330）.（1）若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的数学成绩排名；（2）若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的数学成绩。解：（1）设排在学生甲前面的学生的数学成绩为分，则，又0.16100=16，学生甲的数学成绩排名约为第17名。（2）设60分及其以上的学生的数学成绩为分，则，可见及格的考生（101人）占全体考生的874.13%，因此考生总数约为人。故前20名考生在全体考生中所占比率大约为，设第20名考生的成绩为x分，则有，即。即得，第20名学生的数学成绩约为80分。【综合题典例解析】例1 (1) 在N(1,4)下，求 （2）求正态总体N(0,2)在区间(-1.5,1.5)内取值的概率。（参考数据：(0)=0.5,(0.5)=0.6915,(1)=0.8413,(1.5)=0.9332）解：（1）（1）0.8413。（2）P(-1.51.5)=P(1.5)-P(-1.5)=()-()=(1.5)-(-1.5)=2(1.5)-1=0.8664.例2 设随机变量N(,2),而且已知P(1.5)=0.7611,求及.解：由题意,N(,2),P(1.5)=0.7611,得=0.71.解方程组得例3 某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（1.2，0.2）之间的概率 解：正态分布的概率密度函数是，它是偶函数，说明0，的最大值为，所以1，这个正态分布就是标准正态分布。 。例4 已知测量误差，必须进行多少次测量才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8cm的频率大于0.9。解：设表示n次测量中绝对值不超过8cm的次数，则，其中=0.5671。由题意，因为，n应满足，所以。故至少要进行3次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8cm的频率大于0.9。例5 已知连续型随机变量的概率密度函数，且f(x) 0，求常数k的值，并计算概率P(1.52.5)。解: 分析:凡是计算连续型随机变量的密度函数f(x)中的参数、概率P(ab)都需要通过求面积来转化而求得。若f(x) 0且在a，b上为线性，那么P(ab)的值等于以b-a为高，f(a)与f(b)为上、下底的直角梯形的面积，即。 ，；。例6 公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的.如果某地成年男子的身高N(175,36)(单位：cm),则车门应设计为多高.解：本题为正态总体N(175,36)下的概率问题逆向运用,即已知概率,求车门的高度,我们可以利用待定系数法设出车门的高为x,利用x时的概率是小于1%的,建立不等式P(x)1%,求解出x的最小值.设公共汽车门高设计为x,由题意P(x)小于1%,N(175,36),P(x)=1-P(x) =1-()0.99.查表得2.33,即x188.98.故公共汽车门的高度至少应设计为189 cm.例7 某县农民年平均收入服从=500元，=200元的正态分布。（1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（）内的概率不少于0.95，则至少有多大？解：（1）设表示此县农民年平均收入，则 ；（2），。查表知：。例8 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（） 试问此次参赛学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：（）设参赛学生的分数为，因为N(70，100)，由条件知，P(90)1P（90）1F(90)11(2)10.97720.228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为526（人）。（）假定设奖的分数线为x分，则P(x)1P（x）1F(90)10.0951，即0.9049，查表得1.31，解得x83.1.故设奖得分数线约为83.1分。例9 某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布N（70,100），如果规定低于60分为不及格，不低于85分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？解：测验得分少于60分的学生的比是F（60），少于85分的学生的比为F（85），（1）F（60）F（）（1）1（1）10.84130.1587；（2）F（85）F（）（1.5）0.9332，1F（85）10.93320.0668。答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占6.68% 小概率事件正态总体在（3，3）以外的概率只有千分之三，这是一个很小的概率 这样我们在研究问题时可以集中在（3，3）中研究，而忽略其中很小的一部分，从而简化了正态正态中研究的问题 （1）小概率事件通常是指在一次试验中几乎不可能发生的事件 一般情形下，指发生的概率小于5%的事件 但要注意两点：一是几乎不可能发生的事件是针对一次试验来讲的，如果试验次数多了，该事件当然是可能发生的；二是利用“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的思想 来进行推断时，也有5%的犯错误的可能 （2）正态分布的小概率事件说明正态总体中的绝大部分的数据99.7%落在平均值左右各偏3的范围内 1. 已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(