专题三 训练15.doc

训练15数列(推荐时间：60分钟)1已知数列an满足a12，an13an2 (nN*)，求数列an的通项公式及前n项和Sn.2(2012湖北)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和3已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225.数列bn是等比数列，b3a2a3，b2b5128(其中n1,2,3，)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.4(2012青岛模拟)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x6n3，nN*，设Sn是等差数列an的前n项和，若an的任一项anAB，且首项a1是AB中的最大数，750S100，数列an满足a1b，an (n2)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an1.6(2012邯郸高三检测)在数列an中，已知an1，a11且an1an(nN*)(1)令bn(an)2，求证：bn为等差数列；(2)令cn(2an1)2，Sn，若Snk恒成立，求k的取值范围答 案1解因为an13an2 (nN*)，所以an113(an1)所以an1是以a113为首项，3为公比的等比数列所以an13n，故an3n1.而Sna1a2an(311)(321)(3n1)(31323n)nnn3n1n.2解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.故an3n5，或an3n7.(2)当an3n5时，a2，a3，a1分别为1，4,2，不成等比数列；当an3n7时，a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，满足条件故|an|3n7|记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n2时，S2|a1|a2|5；当n3时，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.当n2时，满足此式综上，Sn3解(1)设数列an的公差为d，则故an2n1(n1,2,3，)设等比数列bn的公比为q，则b38，q2.bnb3qn32n(n1,2,3，)(2)cn(2n1)2n，Tn2322523(2n1)2n，2Tn22323524(2n3)2n(2n1)2n1.作差：Tn22324252n1(2n1)2n12(2n1)2n1223(2n11)(2n1)2n122n282n2n2n162n1(2n3)Tn(2n3)2n16(n1,2,3，)4解(1)由题设知：集合A中所有元素可以组成以3为首项，2为公差的递减等差数列，集合B中所有的元素可以组成以3为首项，6为公差的递减等差数列由此可得，对任意的nN*，有ABB，AB中的最大数为3，即a13.设等差数列an的公差为d，则an3(n1)d，S1045d30.因为750S10300，75045d30300，即16d6.由于B中所有的元素可以组成以3为首项，6为公差的递减等差数列，所以d6m (mZ，m0)，由166m0，an (n2)，则变形为：，当b2时，是一个首项为，公差为的等差数列，an2；当b2时，是一个首项为，公比为的等比数列，n1，变形得：an.综上所述，数列an的通项公式为an.(2)证明当b2时，不等式显然成立；当b2时，要证an1成立，只需证：n2n1bn(2n1bn1)成立，(2n1bn1)(2n1bn1) (2ibn1i)(2n1bn12n2bn222n)(b2n2b2n12n1bn1)2nbn()()2nbn(222)2nbn2nn2n1bn成立，当b2时，不等式成立综上所述，当b0时，对于一切正整数n，an1.6(1)证明因为an1an，所以aaan1an2，即(an1)2(an)22，bn1bn2，故bn是