三维空间的向量2011.doc

b a b 图 1 a 三维空间的向量三维空间的向量 平面与直线平面与直线 内容提示 本章讨论三维空间的向量及其运算 向量加法 数乘向 量以及内积 并且利用向量研究平面与直线以及它们之间的位置关系 线性代数的主要研究对象 n 维向量是从三维向量的概念发展而来 因此 了解直观的 三维空间有助于更好地理解抽象的 n 维空间 本章中三维向量及其运算首先作为一个几何 系统提出 经过空间直角坐标系建立向量的坐标后 转化为一个代数系统 这两个系统之 间保持着完全的一致性 这一过程再现了人类的认识过程 对一组三维向量位置关系的讨 论为下一步研究 n 维向量组的线性关系提供了直观的背景材料 而平面与直线对研究线性 方程组提供了直观背景 第一节第一节三维向量及其线性运算三维向量及其线性运算 在中学物理中讨论过一种既有大小又有方向的量 称为矢量 例如力 速度 位移等 等 在数学中这种量称为向量向量 物理学中的矢量大多除了大小 方向外 还与起点 或作 用点等 有关 而本书中讨论的向量与起点无关 即 大小相等 方向一致的向量被认为 是相等的 而无论它的起点在那里 这种向量称为自由向量自由向量 通常将向量看作一个有向线 段 有向线段的长度表示向量的大小 称为向量的模向量的模 或长度长度 有向线段的方向表示向量 的方向 以点 A 为起点 点 B 为终点的向量记作 有时也用粗斜体字母表示三维向量 AB 例如 a b r 等等 向量 a 的模用 a 表示 AB AB 表示线段 AB 的长度 模为 1AB 的向量称为单位向量单位向量 模为 0 的向量称为零向量零向量 通常用 o 表示 零向量的方向被认为是 任意的 如果两个向量的方向相同或相反 则称这两个向量共线共线 向量 a 与 b 共线记作 a b 零向量方向任意 因此认为零向量与任何向量共线 如果一组向量可以放到同一个 平面上 则称这组向量共面共面 共线的向量一定共面 一 向量的线性运算一 向量的线性运算 1 向量加法 a b 是两个向量 将向量 b 的起点放在向量 a 的 终点 以 a 的起点为起点 b 的终点为终点的向量称为向量 a 与 b 的和和 记作 a b 见图 1 例如 称这种方法为三角形法三角形法 物理学中力的合成 位移的叠加就是ACBCAB 向量加法的实际应用 用中学物理学中定义力的合成的平行四边形法也可以计算向量的加 法 其结果是一致的 见图 2 2 数乘向量 k 是个实数 a 是个向量 依照下列方法定义的向量称为 k 与 a 的数量乘积数量乘积 记作 b a b 图 2 a ka ka 的大小依下列规定 ka k a 其中 ka 表示 ka 的模 k 表示 k 的绝对值 a 表示 a 的模 ka 的方向遵循下列规定 若 k 0 ka 与 a 方向相同 若 k 0 ka 与 a 方向相 反 若 k 0 依照模与零向量的规定 ka o 向量加法与数乘向量合称向量的线性运算向量的线性运算 a1 a2 as是一组向量 k1 k2 ks 是一组实数 k1a1 k2a2 ksas称为向量 组 a1 a2 as的一个线性组合线性组合 如果存在一组实数 k1 k2 ks 使得 b k1a1 k2a2 ksas 则称 b 可以被向量组 a1 a2 as线性表示线性表示或线性表出线性表出 其中 k1 k2 ks称为组合系数组合系数 不难验证 向量的线性运算满足下列运算法则 1 向量加法满足交换律 即 a b b a 1 这从图 2 中即可看出 2 向量加法满足结合律 即 a b c a b c 2 三个向量的和向量是以这三个向量为三条棱的平行六面 体的体对角线 对顶线 而其中两个向量的和是它们所在的侧面的对角线 再与第三条棱 相加即得到体对角线 这与相加的先后顺序无关 见图 3 零向量 o 在向量加法中有着特殊的地位 即 3 对于任意向量 a 有 a o a 3 在三维空间全部向量的范围内 对于每一个向量 都一定存在一个和它大小相等 方 向相反的向量 用一个数学表达式来表示 即 4 对于任意向量 a 一定存在一个向量 b 使 a b o 4 我们称这个向量 b 为向量 a 的负向量 用 a 表示 5 对于任意向量 a 1a a 5 6 k l 是任意两个实数 kl a k la 6 7 k l a ka la 7 8 k a b ka kb 8 这八条运算法则是线性运算最基本的法则 看起来这些法则都是很显然的 有些甚至 好象没必要 然而 人们通过长期实践观察 发现这八条法则每一条都是独立的 即其中 任何一条都不能用逻辑手段通过其它几条推导出来 但是线性运算的全部性质都可以利用 这八条法则推导出来 而如果缺少其中任何一条则有些性质不能通过逻辑推导出来 因此 在线性代数中 这八条法则称为线性运算公理系统线性运算公理系统 它是线性代数的理论基础 除这八条 法则外 线性运算还满足下列几条主要性质 零向量的唯一性零向量的唯一性 在全部三维向量中 只存在唯一一个零向量 负向量的唯一性负向量的唯一性 任意向量只有唯一一个负向量 对于任意向量 a 0a o 9 对于任意实数 k ko o 10 对于任意向量 a 1 a a 11 如果 ka o 那么 k 0 或 a o 中至少有一个成立 称为消去律消去律 12 规定 a b a b 因此 向量的减法不被看作是个独立的运算 不难看出 a b 是以 b 的终点为起点 以 a 的终点为终点的向量 例例 1 用向量证明 对角线互相平分的四边形是平行四边形 证明 如图 设四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于 O 点 因为 O 点平分 图 3 BA C D O AC BD 所以向量 AOOCDOOB 又 ABAOOBDCDOOC 所以 向量相等包括 长度相等 方向一致 ABDC 即 四边形 ABCD 的一组对边平行且相等 ABCD 是平行四边形 从这个例子可以看出 用向量处理几何问题往往非常简练 二 向量的共线与共面二 向量的共线与共面 定理定理 1 1 数轴原理 如果向量 a o 那么向量 b 与向量 a 共线的充分必要条件是 存在唯一一个实数 使 b a 证明 由数乘向量的定义 充分性是显然的 下面证明必要性 设b a 取 满足 当 b 与 a 同向时 当 b 与 a 反向时 b a 用数乘向量的定义可以验证 b a 证明 的唯一性 如果存在 1 2 使 1a b 2a b 则有 1a 2a o 即 1 2 a o 向量线性运算的基本性质 7 由消去律 因为 a o 所以 1 2 0 即 1 2 这个定理也可以这样叙述 一条直线上的所有向量都可以被这条直线上的一个非零向 量线性表出 并且 表示方法是唯一的 这个定理是建立数轴的理论基础 推论推论向量 a b 共线的充分必要条件是 存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b o 证明 首先证明充分性 不妨设 1 0 则 a b 因此 a b 2 1 证明必要性 若 a b 都是零向量 结论成立 如果 a o 由定理 1 1 b a 即 a 1b o 过去我们熟悉的数轴是 在一条直线上取定一个坐标原点 O 与单位长度 1 直线上任 意一点 P 对应唯一一个实数 x 称为 P 点的坐标 x 的绝对值等于线段的长度 或 POP 点到 O 点的距离 当 P 点在 O 点右侧时 x 为正 当 P 点在 O 点左侧时 x 为负 下面我们利用定理 1 1 建立数轴上的点与实数的对应法则 i 是个与直线 l 平行的单位向量 O 是 l 上一定点 P 是直线 l 上任意一点 做向量 由于与 i 共线并且 i o 所以存在OPOP 唯一一个实数 使 i 即 点的坐标 图 不难看出 OP 两种方法建立的直线上点与实数的对应关系是一致的 将定理 1 1 推广到平面 我们有 定理定理 1 2 平面上所有向量可以被这个平面上两个不共线的向量线性表出 并且表示方 法是唯一的 证明 a b 是平面 上两个不共线的向量 因为零向量与任何向量共线 所以 a b a b c O P A B l1 l2 图 5 图 4 O P i l 都不会是零向量 c 是平面 上任一向量 设 c 的起点为 O 终点为 P 即 c 将OP a b 的起点放在 O 点 从 P 点做两条直线 l1 l2分别平行于向量 a b 所在直线 因为 a b 不共线 并且 P 点在 a b 所在的平面上 所以 l2一定与 a 所在直线相交 设交点为 A l1一定与 b 所在直线相交 设交点为 B 四边形 OAPB 是平行四边形 OP 是它的对角 线 c 因为 a b 并且 a b 都不是零向量 由定理 1 1 存OPOA OBOAOB 在唯一一组实数 k1 k2 使得 c k1a k2b 推论推论 1三向量共面的充分必要条件是 其中一个向量可以被其余向量线性表出 证明 充分性显然 必要性 设向量 a b c 共面 如果 a b 共线 由定理 1 1 结 论成立 如果 a b 不共线 由定理 1 2 结论成立 推论推论 2三向量 a b c 共面的充分必要条件是 存在不全为零的实数 1 2 3 使 1a 2b 3c o 向量的共线与共面统称为线性相关 一般地 如果存在不全为零的实数 1 2 s 使 1a1 2a 2 sa s o 则称向量 a 1 a 2 a s线性相关线性相关 否则称为 线性无关线性无关 不难得到一组向量线性相关的充分必要条件是 其中一个向量可以被其余向量 线性表出 请读者试着证明 参考图 3 定理定理 1 3 三维空间任意向量可以被三个不共面的向量线性表出 并且表示方法是唯一 的 推论推论 三维空间任意四个或更多向量线性相关 第二节第二节向量的坐标向量的坐标 一 一 空间直角坐标系空间直角坐标系 在空间选定一点 O 作为坐标原点 以 O 点为起点做三条 相互垂直的数轴 分别为 Ox 轴 Oy 轴 Oz 轴 简称 x 轴 y 轴 z 轴 就构成一个空间直角坐标系空间直角坐标系 记这个坐标系为 O x y z 让这三条轴的排列顺序依照右手法则右手法则 即令右 手拇指竖起指向 Oz 轴的正向 其余四指伸开指向 Ox 轴正向 然后旋转弯曲指向 Oy 轴正向 也可以令右手的拇指 食指 2 中指相互垂直 它们依次指向 Ox 轴 Oy 轴 Oz 轴的正向 这个坐标系称为右手系右手系 坐标系中的每两条轴确定一个平面 分别称为 XOY 坐标面坐标面 YOZ 坐标面坐标面 XOZ 坐标面坐标面 P 是空间一点 过 P 点分别做与 Ox 轴 Oy 轴 Oz 轴垂直的平面 每个平面与坐标轴有一个交点 与 Ox 轴的交点对应实数 a 与 Oy 轴的交点对应实数 b 与 Oz 轴的交点对应实数 c 则三元有序数组 a b c 称为 P 点的坐标坐标 见图 6 空间每 一个点都对应一组坐标 不同点的坐标不相同 反之 任给一个三元有序数组 a b c 在 Ox 轴上选定实数 a 所对应的点 在 Oy 轴上选定实数 b 所对应的点 在 Oz 轴上选定实 数 c 所对应的点 分别过这三个点做与 Ox 轴 Oy 轴 Oz 轴垂直的平面 这三个平面两两 垂直 因此 有唯一一个交点 三元有序数组 a b c 就是这个交点的坐标 不同的三元 有序数组对应的交点也不相同 所以 在空间建立一个直角坐标系后 空间的点与它的坐 标即三元有序数组 a b c 之间存在一一对应关系 今后我们经常记坐标为 a b c 的点 O x y z A B C P a b c 图 6 P 为 P a b c 二 二 向量的坐标向量的坐标 r 是个向量 在空间建立直角坐标系 O x y z 将 r 的起点放到坐标原点 O 设 r 的终点为 P 即 r 若 P 点坐标为 a b c 则定义三元有序数组 a b c 为向量向量 rOP 的坐标的坐标 记作 r a b c 注意 向量的坐标与点 P 的坐标表示方法不同 分别为 OP 点 P a b c 与向量 a b c OP 以上是用通常的方法定义向量的坐标 为了进一步研究向量 下面用单位向量的观点 定义向量的坐标 以空间一点 O 为起点 做三个相互垂直 两两垂直 的单 位向量 i j k 这三个向量的顺序符合右手法则 即构成一个 空间直角坐标系 记作 O i j k 图 7 i j k 称为 这个坐标系的基向量组基向量组 也叫坐标基架坐标基架 简称基基 由于它们相 互垂直并且都是单位向量 所以称为标准正交基标准正交基 将向量 r 分 解为三个向量 之和 OAOBOC r OA OBOC 其中 分别与 i j k 共线 由上一节定理 1 3 这个分解式是唯一的 而OAOBOC 由上一节定理 1 1 存在唯一一个三元有序数组 a b c 使 ai bj ckOAOBOC 即r ai bj ck 1 三元有序数组 a b c 称为向量向量 r 的坐标的坐标 记作 r a b c 2 1 式称为向量 r 的分量表达式分量表达式 2 式称为向量 r 的坐标表达式坐标表达式 其中 a b c 分别称 为向量 r 的第一 第二 第三分量分量 对照图 6 图 7 显然对于同一个向量 两种定义是一 致的 而采用第二种定义 下面我们将看到 等式 r a b c ai bj ck 3 有着非常重要的作用 注 点的坐标与坐标系的原点有关 而自由向量的坐标与坐标系的 原点无关 事实上 用上述方法建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点 今后我 们经常记坐标系 O i j k 为 i j k 例例 1 i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 o 0 0 0 三 三 用坐标进行向量运算用坐标进行向量运算 向量加法 向量加法 设 a 的坐标为 a1 a2 a3 b 的坐标为 b1 b2 b3 则 a a1 a2 a3 a1i a2j a3k b b1 b2 b3 b1i b2 j b3k a b a1i a2j a3k b1i b2 j b3k a1 b1 i a2 b2 j a3 b3 k O x y z A B C r a b c 图 7 i j k 由 1 式 a1 b1 a2 b2 a3 b3 就是 a b 的坐标 数乘向量 数乘向量 a a1i a2j a3k a1i a2 j a3k a1 a2 a3 就是 a 的坐标 因此 a b a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 4 a a1 a2 a3 a1 a2 a3 5 向量的模向量的模 长度长度 r a b c 将向量 r 的起点放在坐标原点 O 设终点为 P 则 r 由图 7 r 的模 r 就是 P 点到原点的距离 因为线段 OP 是以 OA OB OC 为三条OP 棱的长方体的体对角线 所以 r 6 222 cba 例例 2A 点坐标为 a1 a2 a3 B 点坐标为 b1 b2 b3 求向量的坐标AB 解 因为 即 OAABOBABOB OA 而 b1 b2 b3 a1 a2 a3 OBOA 所以 b1 b2 b3 a1 a2 a3 b1 a1 b2 a2 b3 a3 AB 因为向量的模等于 A B 两点之间的距离 由此得到空间两点空间两点 A a1 a2 a3 AB B b1 b2 b3 之间的距离公式之间的距离公式 d A B 7 2 33 2 22 2 11 ababab 四 四 向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦 首先定义两向量之间的夹角夹角 设 a b 都是非零向量 将 a b 的起点放在一起 将 a b 看成两条边 就形成两个角 规定其中不超过 的那个角为向量 a b 之间的夹 角 记作 显然 0 将向量 r 的起点放在空间直角坐标系的原点 用 角 分别表示 r 与 x 轴 y 轴 z 轴的夹角 即 数 组 称为向量 r 的方向角方向角 零向量不确定方向 因此零向量没有方向角 任何非 零向量都有唯一一组方向角 用向量的方向角可以表示向量的方向 但是 任意三个角不 一定构成一组方向角 构成一组方向角的三个角之间应该满足的数量关系也不是很明显的 所以用方向角表示向量的方向不很方便 向量的方向通常用方向余弦表示 如果向量 r o 称 cos cos cos 为 r 的方向余弦方向余弦 其中 是向量 r 的方向角 由于当 0 x 时 余弦函数 cos x 单调 所以方向角与方向余弦一一对应 如果 r x y z 显然有 cos cos cos 8 x r y r z r 或x r cos y r cos z r cos 8 不难看出 cos2 cos2 cos2 1 9 这也是一组数构成一个向量的方向余弦的充分必要条件 如果将一个向量的方向余弦也看 作是一个向量 显然它是与这个向量方向一致的一个单位向量 如果 r o 用 r0表示与 r 方向一致的单位向量 r0 r 10 1 r 一个向量可以用其模与方向余弦表示为 r r cos cos cos 11 或r r r0 11 例例 3 求与三个坐标轴夹角相等的方向角 解 设此方向角为 因为 cos2 cos2 cos2 1 解得cos cos cos 满足这一条件的角有两个 即 3 1 arccos arccos arccos arccos 约 0 3 3 1 3 1 3 1 3 1 与 arccos arccos arccos arccos 约 0 8 3 1 3 1 3 1 3 1 第三节第三节向量的内积向量的内积 一 内积的定义一 内积的定义 在物理学中一个质点在力 F 矢量 的作用下经过位移 s 矢量 所做的功 w 标量 等于这个力在位移方向上的分力乘以位移的距离 w 可以用 F 与 s 的运算表示为 w F s cos 定义定义 1 1 向量 a b 的模 a b 以及 a b 之间夹角余弦的乘积称为向量 a 与 b 的内 积 记作 a b 读作 a 点 b 内积亦称点积 即 a b a b cos 1 向量的内积是个数量 是用两个向量运算出的一个数量 二 内积的性质二 内积的性质 由内积的定义可以直接看出向量的内积满足交换率 1 a b b a 2 这一性质称为向量的内积具有对称性对称性 2 a b c a b a c 3 证明 图 8 中的两个平面都与向量 a 所在直线垂直 b 的终点即 c 的起点在平面 1 上 c 的终点在平面 2 上 因此 b c 的终点也在平面 2 上 两条虚线分别在两个平面上 所 以都与 a 所在直线垂直 因此可以看出 b c cos AC b cos AB c cos BC 所以 b c b c a 图 8 1 2 AB C b c cos b cos c cos 由此得到向量的内积与加法满足分配律分配律 注 内积运算优先于加法运算 所以 3 式右端没有加括号 3 a b a b a b 4 4 式称为准结合律准结合律 我们只证明前一个等式 由交换律即可得到第二个等式 由定义 a b a b cos a a 当 0 时 a a 所以 a b a b cos a b cos a b 当 0 时 a a cos cos 所以 a b a b cos a b cos a b 注意上式等号左边 a 是数量与向量的数乘运算 a b 是数量 与数量 a b 的普通乘 法 性质 2 3 合称为向量的内积具有线性性线性性 4 a a 0 当且仅当 a o 时 a a 0 称为向量的内积具有正定性正定性 今后我们记 a a 为 a2 当 a b 中有一个是零向量时 显然 a b 0 因为零向量不确定方向 可以认为零向 量垂直于任意向量 从向量内积的定义可以看出 定理定理 1 4 a b 0 的充分必要条件是 a b 设r a b c ai bj ck r i ai bj ck i a 或r i r cos a r j ai bj ck j b 或r j r cos b r k ai bj ck k c 或r k r cos c 向量的坐标就是这个向量与基向量组的内积 从右边三个式子也可以看出用向量方法 建立坐标系与定义向量的坐标并不需要坐标原点 用基本单位向量组 i j k 就可以建立 坐标系 因为空间任意向量都可以被三个不共面的向量唯一分解 即使 i j k 不相互垂 直 只要它们不共面 就可以作为坐标系的基来建立坐标系 这种不需要基本单位向量相 互垂直的坐标系称为仿射坐标系 三 用坐标计算向量的内积三 用坐标计算向量的内积 设 a 的坐标为 a1 a2 a3 b 的坐标为 b1 b2 b3 即 a a1 a2 a3 a1i a2j a3k b b1 b2 b3 b1i b2j b3k a b a1i a2j a3k b1i b2j b3k a1b1 a2b2 a3b3 所以 a b 5 3 1i iib a 例例 1 用内积表示向量的模与两个向量之间的夹角 由内积定义得到 a 6 2 a 3 2 1 i i a 此处 a2表示 a a 如果 a b 都不是零向量 则 cos 7 a b a b 3 1 2 3 1 2 3 1 i i i i i ii ba ba 零向量不确定方向 因而也不存在与其它向量的夹角 由 cos 1 得到一个代数中很重要的不等式 a 3 1 ii i ab 33 22 11 ii ii ab 等号成立的充分必要条件是 a1 a2 a3与 b1 b2 b3成比例 在几何中就是 b 这个不a 等式可以推广到 n 项 例例 2 设 c a b 则 c c a b a b a a b b 2a b 即 c 2 a 2 b 2 2 a b cos 图 9 中 a b c a CB a b CA b c AB c 以CBCAAB 上等式就是余弦定理 c2 a2 b2 2abcos C 例例 3 证明平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和 广 义勾股定理 如图 10 AC 与 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线 ACBCAB BDCDBC CDAB 22 BDAC 2 BCAB 2 CDBC 2 BCAB 2 ABBC 2 22 BCAB 2AB BC 22 BCAB 2AB BC 22 BCAB 即 22 BDAC 22 BCAB 22 ADCD 第四节第四节三维空间的平面与直线三维空间的平面与直线 一 平面及其方程一 平面及其方程 经过空间一点可以且只能做一个平面与已知直线垂直 设 n 是一个非零向量 如果它 与平面 垂直 则称 n 为 的法向量法向量 给定平面 上一个定点 M0与 的法向量 n 这个 平面就完全确定了 下面讨论在空间直角坐标系 O x y z 下过定点 M0 x0 y0 z0 以非零向量 n a b c 为法向量的平面方程 见图 11 设 M x y z 为空间一动点 M 点在 上的充分必 要条件是 向量与 n 垂直 而两向量垂直的充分必要MM0 AB C D 图 10 M0 M n 图 11 CB A 图 9 条件是内积为 0 即n 0 将 n 与的坐标代入 得到MM0MM0 a x x0 b y y0 c z z0 0 1 称为平面的点法式方程平面的点法式方程 任何平面上都存在点 都有法向量 所以 任何平面的方程都是一次方程 今后我们 称一次方程为线性方程线性方程 那么 是否任何一个线性方程都表示一个平面呢 三个变量的线 性方程的一般形式为 ax by cz d 0 2 其中 a b c 不全为 0 这个方程显然一定有解 设 x0 y0 z0 是方程 2 的一组解 则 ax0 by0 cz0 d 0 3 2 式减 3 式 得到 a x x0 b y y0 c z z0 0 这是一个经过点 x0 y0 z0 以 n a b c 为法向量的平面方程 方程 2 称为平面的一般方程平面的一般方程 综上所述 任何平面的方程都是线 性方程 任何线性方程都表示平面 例例 1 1 方程 x 2y 5z 3 0 表示一个平面 1 2 5 是它的一个法向量 将它化为点法 式方程 解 0 1 1 是方程的一组解 所以这个平面的点法式方程为 x 2 y 1 5 z 1 0 例例 2 方程 x 2y 5z 0 表示一个平面 1 2 5 是它的一个法向量 方程常数项为 0 故 0 0 0 是方程的解 这个平面经过坐标原点 例例 3 方程 x 2y 1 0 表示一个平面 n 1 2 0 是它的 一个法向量 因为 n 垂直于 z 轴 所以这个平面平行于 z 轴 注意方程 x 2y 1 0 在平面直角坐标系中表示一条直线 而在空间直角坐标系中表示一个平面 它可以看作是 XOY 平面 上的直线 x 2y 1 0 沿着平行于 z 轴方向延伸而成 见图 12 例例 4 求经过点 1 2 3 法向量平行于 y 轴的平面方 程 解 j 0 1 0 平行于 y 轴 取 j 为这个平面的法向量 所求平面方程为 y 2 0 或 写作 y 2 这个平面垂直于 y 轴 例例 5 求经过点 1 2 3 与 x 轴的平面方程 解 经过点 1 2 3 的平面方程为 a x 1 b y 2 c z 3 0 因为 x 轴在平面上 所以它的法向量垂直于 i a b c 与 i 1 0 0 的内积为 0 得到 a 0 由于平面经过 x 轴 所以坐标原点在平面上 将 0 0 0 代入 b y 2 c z 3 0 得到 2b 3c 0 取 c 2 b 3 所求方程为3 y 2 2 z 3 0 二 平面与平面的位置关系二 平面与平面的位置关系 1 2是空间两个平面 它们的方程分别为 a1x b1y c1z d1 0 a2x b2y c2z d2 0 n1 a1 b1 c1 n2 a2 b2 c2 分别为 1 2的法向量 两个平面之间的位置 O x y z 图 12 关系可以通过它们的法向量之间关系反映出来 当 n 1 n 2时 显然有 1 2 根据向量共线的充分必要条件 因为 n1 n 2都不是零 向量 所以存在 0 使 n 1 n 2 若同时 d1 d2 则两平面重合 若 d1 d2 则两平面 平行而不重合 此时两平面没有公共点 与此相对应的是方程组 a1x b1y c1z d1 0 a2x b2y c2z d2 0 4 无解 两个方程不相容 若 n 1 n 2不共线 即 a1 b1 c1 与 a2 b2 c2 不成比例 则两平面相交 它们的公共部分是一条直线 方程组 4 有无穷多组解 两平面之间的夹角 平面角 当 0 时就是 n 1与 n 2的夹角 当 时是 所以两平面之间的夹角 2 arccos 5 12 12 n n n n 例例 6 求过点 P x0 y0 z0 且与平面 ax by cz d 0 平行的平面方程 解 过一点与一已知平面平行的平面是唯一确定的 因为所求平面与平面 ax by cz d 0 平行 所以 可以取 n a b c 为它的法向量 所求平面方程为 a x x0 b y y0 c z z0 0 例例 7 求过点 P 1 3 2 且与平面 2x y 3z 1 0 和 x 2y 2z 4 0 都垂直的平面方 程 解 当两个平面不平行时 过一点且与这两个平面都垂直的平面是唯一确定的 设所求平面 的方程为 a x 1 b y 3 c z 2 0 其法向量是 n a b c 由 与两个平面都垂直可知 n 2 1 3 n 1 2 2 即 2a b 3c 0 a 2b 2c 0 解此方程组 取其一组解 a 8 b 1 c 5 所求平面 的方程为 8 x 1 y 3 5 z 2 0 请读者考虑 若两个已知平面平行 此时所给条件不能确定平面 按照以上方法求解 平面方程会遇到什么问题 三 空间直线及其方程三 空间直线及其方程 平面 1 2的方程分别为 a1x b1y c1z d1 0 a2x b2y c2z d2 0 n 1 a1 b1 c1 与 n 2 a2 b2 c2 分别为 1 2的法向量 当 n 1 n 2不共线时 两平面的公共部分是一条直线 所以方程组 a1x b1y c1z d1 0 a2x b2y c2z d2 0 6 a1 b1 c1与 a2 b2 c2不成比例 表示一条直线 称为直线的一般方程直线的一般方程 M0 x0 y0 z0 是空间一定点 r m n p 是一个非零向量 经过 M0且平行于 r 的直线是唯一确定的 下面推导它的方程 过 M0做一条直线 l 与 r 平行 M x y z 是空间一动点 M 点在直线 l 上的充分必要条件 是 向量 r 因为 r 不是零向量 根据向MM0 量共线的充分必要条件 存在 使 rMM0 即 x x0 y y0 z z0 m n p 令 取遍全体实数 得到动点 M 的轨迹就是直线 l 将这个向量方程展开 得到 x x0 m y y0 n 7 z z0 p 称为直线的参数方程直线的参数方程 参看图 13 它的向量形式是 x y z x0 y0 z0 m n p 8 请读者根据图 13 中的虚线给出向量解释 将直线的参数方程改写为 9 000 xxyyzz mnp 称为直线的点向式方程直线的点向式方程或对称式方程对称式方程或标准方程标准方程 注意当分母中含有 0 时 例如 m 0 而 n p 均不为 0 时 这个式子表示 x x0 00 yyzz np 直线与直线的夹角直线与直线的夹角 直线 l1与 l2的方程分别为 111 111 xxyyzz mnp 222 222 xxyyzz mnp l1与 l2的夹角 0 就是它们方向向量 r1 m1 n1 p1 与 r2 m2 n2 p2 之 2 间的夹角或其补角 所以 cos cos 10 12 12 r r r r 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 设直线 l 的方程为 000 xxyyzz mnp 平面 的方程为ax by cz d 0 直线的方向向量 r m n p 与平面的法向量 n M0M l r 图 13 O nr 图 14 a b c 之间夹角为 直线与平面的夹角就是 所以 2 sin cos 11 r n r n 例例 8 将下列直线 l 的一般方程化为对称式方程与参数方程 2x y 3z 1 0 x 2y 2z 4 0 l 解 直线 l 的一般方程是用两个平面方程联立来表示两个平面的交线 l 因为 l 同时在 两个平面上 所以与两个平面的法向量都垂直 设直线 l 的方向向量为 r m n p 方程组 2m n 3p 0 m 2n 2p 0 的解即为直线 l 的方向向量 取方程组的一组非零解r 8 1 5 再求出直线 l 上 的任意一个点 取方程组 l 的一组解 2 1 2 得到直线 l 的对称式方程为 5 2 1 1 8 2 zyx 参数方程为 x 2 8 y 1 z 2 5 参数方程的向量形式为 x y z 2 1 2 8 1 5 例例 9 求过点 x0 y0 z0 与平面 ax by cz d 0 垂直的直线方程以及垂足坐标 解 设所求直线 l 的方程为 因为 l 与平面 ax by cz d 0 垂 000 xxyyzz mnp 直 所以 l 的方向向量与平面的法向量平行 所求直线 l 的方程为 000 xxyyzz abc 将直线方程与平面方程联立 即可求出交点即垂足的坐标 注意直线的对称式方程实际上 是两个方程联立 例例 10M0 x0 y0 z0 是空间一点 平面 的方程为 ax by cz d 0 求点 M0到平面 的距离 解 这个问题可以利用例 9 的方法求出垂足坐标 然后求出两点距离即点到平面距 离 但是这个方法比较麻烦 下面我们探讨用其它方法求解 参看图 14 在平面 上任取一点 M1 设其坐标为 x1 y1 z1 做向量 x0 x1 y0 y1 z0 z1 10 M M 则 M0到 的距离就等于的模乘以与 的法向 10 M M 10 M M 量 n a b c 的余弦的绝对值 即 d M0 cos 10 M M 其中 d M0 表示 M0到 的距离 利用向量的内积 得到d M0 10 M M n n 将与 n 的坐标代入 得到 10 M M d M0 010101 222 1 a xxb yya zz abc 注意到 x1 y1 z1 为平面上一点 M1的坐标 所以 的一般方程 ax by cz d 0 可以写 成点法式方程 a x x1 b y y1 c z z1 0 因此 101010 zzayybxxa dczbyax 000 方程 0 12 1 222 dczbyax cba 是以单位向量 n0 为法向量的平面方程 称为平面的法式方程平面的法式方程 点 M0到平 222 a b c abc 面 的距离就是将点的坐标代入平面的法式方程的左边 然后取绝对值 d M0 13 000 222 axbyczd abc 过空间一点 P 向一个平面 引垂线 垂足称为点 P 在这个平面上的投影 平面 称 为投影面 一条曲线上各点在一个平面上的投影所形成的曲线称为这条曲线在这个平面上 的投影 一条直线 l 在一个平面 上的投影是一条直线 例例 11求直线 l 在平面 上的投影 其中 l 和 的方程分别为 x y z 1 0 x y z 1 0 l 与x y z 0 直线 l 在平面 上的投影是过直线 l 做一个与投影面 垂直的平面 1 称为投影平面 与 的交线 因此 只要求出 1的方程与 联立即可 方法一 设 1的方程为ax by cz d 0 因为 1过直线 l 所以直线 l 上任意一点满足 1的方程 1 并且 1的法向量与 l 的 方向向量垂直 2 又 1与 垂直 所以 1与 的法向量相互垂直 3 将此三个条件 联立即可求出 a b c d 之间的关系 从而求出 1的方程 但是此题直线用一般方程给出 所以上述方法比较麻烦 要求解两个方程组 下面我 们利用平面束方程求解 a1x b1y c1z d1 0 a2x b2y c2z d2 0 l 是直线的一般方程 方程 1 a1x b1y c1z d1 2 a2x b2y c2z d2 0 表示一个平面 显然满 足直线方程 l 的点都满足此方程 所以 此方程代表所有经过 l 的平面 称为过 l 的平面束平面束 方程方程 设 1的方程为x y z 1 x y z 1 0 即 1 x 1 y 1 z 1 0 这个平面束方程中不包括后一个平面 x y z 1 0 由于这个平 面显然不是所求平面 1 这个假设是合理的 因为 1 所以1 1 1 1 1 1 0 解得 1 所求投影方程为 x y z 0 y z 1 0 四 直线之间的位置关系四 直线之间的位置关系 直线与直线之间的关系有 重合 平行而不重合 相交 异面 前三种均为共面 设直线 l1与 l2的方程分别为 111 111 xxyyzz mnp 222 222 xxyyzz mnp r1 m1 n1 p1 r2 m2 n2 p2 分别为 l1与 l2的方向向量 M1 x1 y1 z1 M2 x2 y2 z2 分别为 l1与 l2上的点 作向量 两条直线共面的充分必要条件是三向 12 M M 量共面 两条直线平行即 r1 r2 其充分必要条件是 m1 n1 p1 与 m2 n2 p2 成比例 考察向量方程 1r1 2r2 12 M M 1 如果 r1 r2且方程有解 则两直线重合 2 如果 r1 r2且方程无解 则两直线平行而不重合 3 如果 r1 r2不共线且方程有解 则两直线相交 4 如果 r1 r2不共线且方程无解 则两直线异面 五 直线与平面的位置关系五 直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有 直线与平面相交 直线在平面上 直线在平面外 设直线 l 的参数方程为 x x0 m y y0 n l z z0 p 平面 的方程为ax by cz d 0 将 l 代入 a x0 m b y0 n c z0 p d 0 得到一个关于 的方程 am bn cp ax0 by0 cz0 d 0 1 直线与平面相交 方程 有唯一解 即 am bn cp 0 2 直线在平面上 方程 无穷多解 即 am bn cp 0 并且 ax0 by0 cz0 d 0 3 直线在平面外 方程 无解 即 am bn cp 0 并且 l1 l2 1 r 2 r M1 M2 图 17 l 1 图 16 ax0 by0 cz0 d 0 请读者分析 am bn cp 0 am bn cp 0 ax0 by0 cz0 d 0 ax0 by0 cz0 d 0 分别代 表什么 可以看出这三个条件的几何意义 如果直线方程以一般方程给出 直线与平面的位置关系应该如何讨论 第五节第五节坐标变换坐标变换 一 坐标系的平移一 坐标系的平移 将空间直角坐标系 O i j k 为方便计暂且称其为 旧 坐标系 平行移动到新 的坐标原点 O x0 y0 z0 得到直角坐标系 O i j k 暂称为 新 坐标系 i j k 为坐标轴上的单位向量 即 一个标准正交基 P 是空间一点 P 点在旧坐标系和新坐标系 下的坐标分别为 x y z 与 x y z 做向量 OP 1 OP OOPO xi yj zk x0i y0j z0k x i y j z k 2 OP OOPO 将 2 式代入 1 式 比较系数 由于 i j k 是一组基 而向量在基下的分解是 唯一的 得到坐标平移公式 x x x0 y y y0 3 z z z0 请读者考虑 向量的坐标在坐标系的平移下有无变化 二 坐标系的旋转变换二 坐标系的旋转变换 将空间直角坐标系 O i j k 旧 坐标系 绕坐标原点旋转为直角坐标系 O i j k 新 坐标系 i j k 与 i j k 分别为新旧坐标系的标准正交 基 它们之间的夹角余弦如下表 i j k icos 1cos 2cos 3 jcos 1cos 2cos 3 kcos 1cos 2cos 3 显然 新坐标系的基向量组在旧坐标系下的坐标为 i cos 1 cos 1 cos 1 j cos 2 cos 2 cos 2 4 k cos 3 cos 3 cos 3 P 是空间一点 P 点在坐标系 O i j k 下的坐标为 x y z 在坐标系 O i j k i j k O i j k O P 图 18 i j k i j k 图 19 下的坐标为 x y z 因此 向量 xi yj zk x i y j z k 5 OP 将 4 式代入 5 式右边 重新集项 由于 i j k 是坐标系的基向量组 任何向量在 一组基下的分解式是唯一的 所以等式两边 i j k 的系数相等 得到坐标变换公式 x x cos 1 y cos 2 z cos 3 y x cos 1 y cos 2 z cos 3 6 z x cos 1 y cos 2 z cos 3 由于 i j k 是一组标准正交基 即相互垂直的单位向量 所以有 cos s2 cos s2 cos s2 1 s 1 2 3 7 1 2 3 cos scos t cos scos t cos scos t 0 s t s t 1 2 3 8 1 2 3 i j k 构成右手系 9 上面 7 个条件是 3 维空间一个坐标变换是坐标系的旋转变换的充分必要条件 其中前 6 个条件称为正交条件正交条件 可以写作 cos scos t cos scos t cos scos t 1 s t s t 1 2 3 0 s t s t 1 2 3 本章内容摘要本章内容摘要 三维空间的向量 本章讨论三维空间的向量及其运算 并利用向量方法讨论平面与空间直线 三维向量 首先用几何方法定义 然后利用直角坐标系转化为代数系统 下表给出两个系统的对应关 系 几何系统代数系统 向量的定义既有大小又有方向的量三元有序数组 a b c 向量的模 AB AB r 222 cba 向量的方向线段 AB 的方向方向余弦 向量的和 a b 将向量 b 的起点放在向量 a 的终点 以 a 的起点为起点 b 的终点为终点的向量 对应分量相加 数乘向量 ka规定向量 k a 的模与方向用 k 乘所有分量 零向量的定义模为 0 的向量 0 0 0 负向量的定义大小相等 方向相反的向量 a1 a2 a3 向量的内积 a b a b cos 3 1i iib a 线性运算满足的性质 八条基本运算法则 零向量的唯一性 负向量的唯一性 以及 0a r kr r 八条基本运算法则 零向量的唯一性 负向量的唯一性 以及 0a r ko r 1 a a 消去律 1 a a 消去律 两向量 a b 共线的充分必要条件是 存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b r 三向量 a b c 共面的充分必要条件是 存在不全为零的实数 1 2 3 使 1a 2b 3c r 直线上所有向量可以被这条直线上一个非零向量线性表出 并且表示方法是唯一的 平面上所有向量可以被这个平面上两个不共线的向量线性表出 并且表示方法是唯一 的 空间任意向量可以被三个不共面的向量线性表出 并且表示方法是唯一的 空间直角坐标系空间直角坐标系 i j k 三个相互垂直的单位向量 i j k 按右手法则排列 即构 成一个空间直角坐标系 右手系 向量 r 在坐标系 i j k 下的坐标 r 可以表示为 i j k 的线性组合 r ai bj ck 并 且表示方法是唯一的 三元有序数组 a b c 称为向量向量 r 的坐标的坐标 记作 r a b c 向量 r 的坐标表达式坐标表达式与分量表达式分量表达式 r a b c ai bj ck 内积的定义 性质 用向量计算内积 a b 0 的充分必要条件是 a b 平面方程与直线方程 平面的点法式方程 点法式方程 a x x0 b y y0 c z z0 0 向量 a b c 称为平面的法向量 a b c 不同时为 0 平面的一般方程 一般方程 ax by cz d 0 平面的法式方程 法式方程 0 1 222 dczbyax cba 直线的一般方程 一般方程 a1x b1y c1z d1 0 a2x b2y c2z d2 0 a1 b1 c1与 a2 b2 c2不成比例 直线的点向式方程点向式方程 对称式方程对称式方程