包络函数方法.doc

包络函数方法低维纳米结构中电子态的计算是一个基本而重要的问题。一般来说，计算纳米结构中的电子态有两种方法，一种是利用第一性原理计算，第二种是有效质量包络函数近似。第一性原理是比较常用的一种方法，它的计算结果相对来说比用有效质量包络函数近似的结果更可靠，但是用第一性原理来计算较大的纳米结构(里面含有几百万个原子)是非常困难的，因为它需要一个超级计算系统。相比之下，用有效质量包络函数近似的方法就比较合适了，在个人计算机上就能实现，所以Burt提出的包络函数方法被认为是描述纳米结构电子态的最有前景的方法。先将包络函数方法的基本理论介绍如下：首先，包络函数方法是在以下近似条件下得到的计算纳米结构电子态的方法：（1） 有限质量近似。（2） 忽略了真实离子势场中迅速变化的震荡分量，近似认为载流子只受外场的作用。（3） 保证异质结两边的态具有同样的对称性，例如对于GaAs/AlGaAs系统，要保证电子同处于导带的谷中。此时，如果晶体中存在微扰势称Vp(r)，则电子运动的薛定谔方程为：(其中是没有微扰的晶体哈密顿量。如果微扰势是个空间缓变量，且其强度小到不足以引起带之间的耦合，则电子波函数可以表示为一个空间缓变函数与带边波函数的乘积。称为包络函数。如果能带是非简并的，例如导带，在导带底附近的能量可近似用有效质m*表示其中是导带边能量，则包络函数满足如果能带是简并的，例如价带顶，则波函数可表示为包络函数与带边波函数)乘积的线性组合满足一组联立的有效质量方程组其中称为有效质量参数。若无外界的微扰势，则在每种材料内部就电子而一言，有效质量方程简化为一平面波方程。在界面附近，势是突变的，有效质量近似不再成立，暂时先不考虑这一点。对于两种材料，它们的有效质量和带边能量是不同的。引入(z)和有效势V(z)，其中(z)= (z)=是两种材料导带边能量之差，也就是导带带阶。包络函数方程可写为:其中方程第一项的写法是为了保证方程的厄米性。在边界Z0上:如果两种材料的性质相差较大:两中材料有效质量接近的情形电子的包络函数方程为:在有效质量包络函数近似下，计算低维纳米结构中的电子态主要有两种方法:一是变分法，二是平面波展开法。下面对这两种方法分别作简单的介绍。1 变分法设体系的哈密顿算符的本征值由小到大的顺序排列为:与这些本征值对应的本征函数是：E0和0是基态能量和基态波函数。为简单起见，我们假定的本征值En是分立的，本征函数n组成正交归一系。于是有：设是任意一个归一化的波函数，将按n展开:在梦所描写的状态中，体系能量的平均值是：将前面两个式子带入上式得：由于E0是基态能量，所以有E0En (n=1，2，在上式中用E0代替En，则最后一步用了的归一化条件:则可得到：这个不等式说明，用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态波函数0时，的平均值才等于基态能量E0。上面讨论中曾假定是归一化的，如果不是归一化的，那么：，根据波函数算出的平均值总是不小于E0，我们可以选择很多并算出的平均值，这些平均值中最小的一个最接近于E0。用变分法求体系基态能量的步骤是:选取含有参量的尝试波函数（）算出平均能量，然后由求出的最小值。所得结果就是E0的近似值。2 平面波展开法晶体中的电子，在周期性势场中运动，其运动状态是薛定谔方程的解，它们的波函数可以按平面波来展开。在周期性纳米结构中，我们所选的原胞的边长就等于平面波的周期。当我们用平面波的方法计算单个孤立纳米结构时计算结果与我们所选原胞的大小和平面波的数目有关。在有效质量包络函数近似下，计算低维纳米结构中的电子态通常采用变分法，然而平面展开法与变分法相比有很多优点，比如用平