浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变.pdf

文章编号 1006 7353 2006 04 0019 06 05 浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变 张良勇 董晓芳 燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004 摘要 本文介绍了在积分学的发展过程中出现的两大积分 黎曼积分与勒贝格积分的演 变过程 关键词 黎曼积分 勒贝格积分 中图分类号 0177 4 文献标识码 A 积分是整个分析数学中最基本的概念 现有 的积分有两种形式 一种是作为近代数学核心的 黎曼积分 下文简称 R 积分 一种是作为现代实 变函数论中的勒贝格积分 下文简称 L 积分 数 学的发展表明 两种积分在各自相应的时期都发 挥着巨大的作用 同时 L 积分的创立是积分发展 从近代水平向现代水平升华的一次智力革命 本 文详述两种积分的产生与发展的过程 进而阐明 这两个积分概念的演变过程 1 R 积分的产生与确立 目前 微积分教程所介绍的积分概念和方法 起源于 17 世纪微积分的创始人牛顿和莱布尼兹 创立的微积分 接下来的两个世纪 经过著名分 析大师欧拉 拉格朗日 拉普拉斯 柯西 维尔斯特 拉斯 康托等人的努力 积分概念逐步发展 最终 成形于黎曼和达布 现在通称这种积分为R 积分 R 积分开始于曲边形的面积和曲面体的体积 的计算这类几何问题 十七世纪初 欧洲的数学家 们试图改进古希腊人解决类似问题时所采用 的穷竭法 这种方法需要根据几何图形的特殊性 质采用一些特殊的技巧 因而缺少通用性 欧洲的 数学家们几乎不约而同地采用了 I 等分区间 O A 用 I 个小矩形面积的和去逼近这个区间上幂 函数 y xm m e N 图象下的面积的方法 得到 所求面积的近似值为 SI 2 I I 1 I I OA m OA I OA I m 1 2 I I 1 Im 由于当时已有了连续I个自然数的m次幂之 和的计算公式 因此不难计算出 SI 例如 m 3 时 SI OA I 4 2 I I 1 I3 OA I I4 2I3 I2 4 OA4 1 4 1 2I 1 4I 2 当 I 越来越大时 SI便越来越接近于 1 4 OA4 尽管当时还没有极限理论 但人们已意识到 这便 是所求面积的值 这种方法的思想类似于我国古 代刘徽的割圆术 这种方法 就是 R 积分的雏形 它相当于用等分法作区间的分割 取各个小区间 的右端点为介点 即当点 A 的横坐标为 a 时 分点为 xI I I a I 1 2 I 1 介点为 I I I a I 1 2 I 积分和为 2 I I 1 f I xI 2 I I 1 f I I a a I 91 第 19 卷第 4 期高等函授学报 自然科学版 VoI 19 No 4 2006 年 8 月 JournaI of Higher Correspondence Education NaturaI Sciences August 2006 收稿日期 2006 04 26 作者简介 张良勇 1980 男 河北沧州人 燕山大学理学院硕士研究生 主要从事概率统计 高等数学教学及其 研究工作 a I 2 I I l f I I a l 所求面积便是这个积分和当 I 时的极限 现 在用定义计算定积分的值时 还应用这种方法 这种方法的局限性在于 对于任意函数 y f x 积分和 l 是否当I 时都存在极限 即 使极限存在 曲边形的面积作为一种客现存在 它 的值应当与区间的分割方法和介点的选取无关 换言之 如果任意选取分点和介点的话 这无穷多 个积分和是否都具有相同的极限 这些问题不仅 在l7世纪 甚至在整个l8世纪也未曾引起人们的 注意 这是由于那个时代 函数的概念尚未精确 化 极限理论也未完善化 人们只求方法的有效 性 而不注意概念的严格性 在数学中占据着统治 地位的仍是几何方法 所以 一种数学工具 当其 缺乏思想的深刻性和方法的通用性时 是难以形 成一个严谨的数学体系的 积分概念的严密化 是同函数概念的不断明 晰息息相关的 如果说 l7 世纪的函数概念还只 是一些简单的代数函数的话 那么到了 l8 世纪 欧拉已将它拓广到由一些常数与变量形式的有限 或无限的解析表达式 但在 l8 世纪积分概念之所 以未能取得实质性的进展 除了数学家们在处理 积分问题时 过多地依赖物理的或直观的意义外 还在于数学家整体上的思维定势 他们往往把一 些简单函数 如代数函数 的性质 随意地推广到 所有的函数上去 在这种思想指导下 他们并不认 为 甚至根本没有注意到 研究积分的存在性 有什么意义 在数学史上 第一位对积分概念做出 开创性工作的是l9 世纪的柯西 他在进一步明确 函数概念的基础上 确定了极限 连续 导数与微 分等概念 并第一次提出用分割区间作和式的极 限来定义积分 同时 给出了连续函数定积分的确 切定义 柯西用任意分点 xl x2 xI l将区间 x0 x 分割成 I 个子区间 xl xI 并仍用 xI表示 第 I 个子区间的长度 即 xI xI xI l I l 2 I xI x 他在每一个子区间 xI上 任意取 一个介点 I 即 xI l I xI I l 2 I 之后 对区间 x0 x 上的连续函数 y f x 作积 分和 2 I I l f I xI f l xl f I xI 他把 f x 在 x0 x 上可积定义为 Iim I xII 0 2 I I l f I xI I 2 存在 其中I xII max l I I xI 并且称I为在区间 x0 x 上的定积分即J 6 a f x dx I 进而他证明了 对于区间 x0 x 上的连续函 数 f x 不论怎样选取分点 xI和介点 I 极限 2 均存在 即他定义的连续函数的定积分必存在 虽 然由于当时没有一致连续性概念 这个证明还不 够严密 但这是关于可积性的第一个证明 它为积 分理论的发展 指明了正确的方向 l854 年 黎曼将柯西的定义 推广到区间 a 6 上的有界函数 仍定义关于有界函数 y f x 的积分和的极限 2 为其在区间 a 6 上的定积 分 同时 把 f x 在每个子区间 xI上的最大值与 最小值的差 实际上应是上 下确界之差 定义 为 f x 在 xI上的振幅 他证明了有界函数 y f x 在区间 a 6 上可积的一个充分必要条件是 使 f x 的振幅大于任意给出的正数 的那些区 间的总长度 随 I xII 趋于零而趋于零 这个结果 使得可积函数的研究由人们所熟悉的闭区间连续 函数扩大到有界函数 单调函数 分段连续函数 有间断点但间断点只有有限个或无限个间断点但 却可列的函数 黎曼和达布还应用不断简化数学模型的方 法 给出了可积函数更为明确的定义 他们注意 到 积分和实质上要依赖于两组变量 由 I l 个 分点所确定的区间 a 6 的分割 T 和由每个子区 间 xI上的介点 I构成的介点集 后者即使对 于一种取定的分割 T 仍可有无穷多种取法 因此 具有更大的随意性 但是一般地 可以将这种依 赖关系表示为2 I I l f I xI 2 T 而借助 于函数在每个子区间上的上 下确界 MI sup xI f x mI inf xI f x I l 2 I 构造出达布上 下和 02 第 l9 卷第 4 期高等函授学报 自然科学版 VoI l9 No 4 2006 年 8 月 JournaI of Higher Correspondence Education NaturaI Sciences August 2006 S T 2 I I 1 MIAxI S T 2 I I 1 mIAxI 则只依赖于分割 T 却与介点的选取无关 并且显 然有 S t 2 T E S T 3 他们发现 当分点增加 即分割 T 变化 时 上和 S T 不增 下和 S T 不减 而必存在上 下积分 S inf T S T S sup T S T 又显然有 S T S S S t 达布证明了 lim AI xII 0S T S limAI xII 0S T S 于是 当 S S 时 由 3 得到 积分和的极限 2 必存在 且等于 S 与 S 的公共值 I 如果用 MI表示 黎曼所定义的振幅 则 MI MI mI I 1 2 I 黎曼和达布给出了区间 a 6 上有界函数 y f x 可积的另一个充分必要条件 lim AxI 02 I I 1 MIAxI 0 以上这些结果 都可以用维尔斯特拉斯采用 的严格数学语言 S S 予以证明 因此 黎曼积 分理论已然完备 但是 要使这种积分理论具有实 用价值 还必须解决它计算的复杂性 否则 如前 所述 用定义进行计算几乎是不可能的 而这项工 作 牛顿和莱布尼兹已经解决 他们采用微分的逆 运算 进而简化了计算 柯西通过引入一个在区间 x0 x 上连续的函数F x J x x0f x dx 并借助于 积分中值定理 首次证明了牛顿 莱布尼兹的结 论 F X f x 这便是微积分学基本定理 此后 R 积分很快在两个方面得到了拓广 一 方面是增加了积分变量的个数 分别由欧拉和拉 格朗日引入了二重积分和三重积分 它们都是通 过化为累次积分来进行计算 仍依赖于定积分的 计算 一方面是去掉积分区间为有限和被积函数 为有界的限制 由柯西引入了奇异积分或反常积 分 它们可以通过R 积分和一个极限过程得到 而 无需改造 R 积分自身 至此 人们认为积分学已然 严整完满了 上个世纪八十年代的数学家 甚至提 出 R 积分概念已不能再推广的论断 R 积分的局限性 第一 可积函数类基本上局限于连续函数类 即在 a 6 上几乎处处连续的函数 因此适用的 范围比较狭窄 例如看似简单的狄里赫莱函数 D x 1 x e 0 1 O 0 X e 0 1 O 在 0 1 上处处不连续 从而 R 不可积 由此可见 R 可积函数类适应范围狭窄 第二 R 积分过分依赖区间 对一般集合上 的函数或定义在完全不同的集合上分布奇特的有 趣函数 没有简单的方法 甚至不可积 如定义在 0 1 O上的函数f x x无法讨论它的R可积 性 第三 R 可积函数列极限与积分交换次序的 条件比较苛刻 限制了 R 积分运算的灵活性 我们 期望的是当R 可积函数列 fI x I 1收敛到f x 时 有J 6 a fI x dx J 6 a f x dx 但事实常常不是这 样的 在数学分析中 一般都是用 R 可积函数列在 所给区间上一致收敛来保证极限运算与积分运算 可以交换次序 这个要求有些过强 许多时候这个 条件不具备 仍可交换两种运算次序 下面两例说 明当 fI x 收敛到 f x 时会出现各种情况 1 极限函数 f x 不是 R 可积的 设 O gI I 1 AI gI I I 1 fI x IAI f x IO O 为 0 1 中的有理点全体 则 fI x 为单调递增函数列 且收敛于 f x 但 I fI x 为 R 可积的 而它们的极限函数 f x 却不是 R 可积的 2 极限函数 R 可积 但 J 6 a fI x dx J 6 a f x dx 不成立 设 fI f 为定义在 0 1 上的函数 其中 f x 0 fI x 4I2x 0 x 1 2I 4I 4I2x 1 2I x 1 I 0 1 I x 1 则 I fI x 为连续函数 且J 1 0 fI x dx 1 另一 方面 x e 0 1 当 I 充分大时 1 I x 从而 fI x 0 即 fI x I 1 的极限函数为 f x 而 J 1 0 fI x dx 0 为避免以上问题 保证在 fI x f x 时 J 6 a fI x dx J 6 a f x dx 对函数列 fI I 1 12 第 19 卷第 4 期高等函授学报 自然科学版 Vol 19 No 4 2006 年 8 月 Journal of Higher Correspondence Education Natural Sciences August 2006 加上了一致收敛的条件 但此条件不但非常苛刻 而且验证起来也非常不便 第四 R 积分运算不完全是微分运算的逆运 算 牛顿 莱布尼兹公式的使用也有很大的局 限性 由微积分基本定理知 对定义在 a 6 上的 可微函数 f x 当 f x 连续时 有 J x a f t dt f x f a x e a 6 即对 f x 进行微分运算再进行积分运算仍得到 f x 故称积分运算是微分运算的逆运算 然而要 使微积分基本定理成立 f t 必须是可积的 但 事实往往并非如此 如 F x x2sinx 2 0 x 1 0 x 0 则在 0 1 上有 F x 2xsinx 2 2x 1cosx 2 0 a 恒 为可 L 测集 则 f x 为 E 上的可测函数 可以看 出 可测函数不是连续函数的简单推广 它是在测 度论基础上构造出来的 但它能把连续函数 可导 函数 单调函数作为特例加以概括 能够证明 区 间上的任意连续函数都是可测函数 狄里赫莱函 数则是不连续的可测函数 利用可测函数 在研究 R 积分的定义方式后 考虑到由于间断点所造成 的振幅过大的困难 勒贝格大胆地改变了对 R 积 分作函数定义域分割的方法 而采用对函数值域 分割的方法 从而寻求到 缩小 振幅 消除间断 点困难的简单 巧妙而富有哲理性的逆向思维方 式 并在点集论 测度论 可测函数等已有基本概 念上创建一种新的积分类型 L 积分 彻底解 决了 R 积分自身局限性所造成的各种困难问题 定义了他自己的积分概念 设 y f x 是定义在区间 a 6 中可测集 E 上的有界可测函数 记 A inff x B supf x 勒贝格将区间 A B 用分割 T 分为 I 个子区间 lI 1 lI I 1 2 I 其中 l0 A lI B 记 eI x I lI 1 f x lI x e E 则每个 eI均为 可测集 分别令 S T 2 I I 1 lIm eI S T 2 I I 1 lI 1m eI 则存在 S inf TS T S supS t 勒贝格证明了对于有界可测函数y f x 恒有S 22 第 19 卷第 4 期高等函授学报 自然科学版 VoI 19 No 4 2006 年 8 月 JournaI of Higher Correspondence Education NaturaI Sciences August 2006 S 他定义它们的公共值 I 便是 f x 在 E 上的 L 积分 记为 I J Ef x dx 当 E a 6 时 仍记 I J 6 a f x dx L积分是R积分的拓广 当y f x 同时为区 间 a 6 上两种意义下的可积函数时 两个积分 值必相等 区间 a 6 上 R 可积函数必定 L 可积 但反之不真 L 可积函数未必几乎处处连续 当被 问及 L 积分与 R 积分定义有何不同时 勒贝格作 了一个很生动的解释 他说 某人提着一口袋钱到 商店去买东西 他将钱一把一把往外面拿 每一把 中有一毛的 两毛的 五毛的 一元的等等 把每一 把钱算出来 最后将所有的钱加在一起就是总的 钱数 这就是 R 积分的求积方法 而 L 积分是将一 毛的放在一起 两毛的放在一起 五毛的放在一 起 等等 然后将每一种面值的钱数再相加 这就 是 L 积分创新的精髓 勒贝格是将函数值接近的 自变量的值放在一起 因此可以对非常不连续的 函数积分 L 积分使数学分析中的许多定理得以 简化 例如 可以在不强的限制下 在积分号内取 极限 这就使它在三角级数论 函数空间论等诸多 数学分支中得到广泛的应用 在数学史的长河中 人们不会忘记勒贝格的功绩 L 积分的思想价值及意义 L 积分的创立有着重要的意义 首先 L 积分和 R 积分之间有一种相依赖 相 互补充 相互帮助及在特定条件下相互转化的关 系 它从数学侧面验证了科学哲学思想中的对应 原理 其次 L 积分拓广了 R 积分的定义 使得可积 性的条件要求减弱了 它断言可测集上的有界可 测函数和单调函数必 L 可积 这比 R 积分中要求 连续函数 单调函数的条件放松多了 再次 L 积分在积分与极限换序的条件要求 上有比 R 积分优越的好处 它放松了 R 积分要求 函数序列的一致收敛的过强的要求 由勒贝格控 制收敛定理可知 只要所给函数列可测 有界 收 敛 积分与极限就可换序 这一点在三角级数 热 学研究中非常重要 最后 L 积分并没有完全否定和抛弃 R 积分 它把 R 积分作为一种特例加以概括 并且在一定 条件下 L 积分可以转化为 R 积分 由此可见 L 积 分和 R 积分各有自己的优势和价值 在计算连续 函数的积分 解决古典问题中质量 重心 面积问 题时 R 积分要比 L 积分简便 优越 但 L 积分是 积分发展史上的一次革命 它使得积分论在集合 论 测度论的基础上走向现代化 从而有可能在现 代水平的层次上向其它现代数学分支渗透 促进 了其它学科的发展 特别是三角级数和函数序列 方面 概率论 泛函分析等学科也受到 L 积分的积 极影响 此外 L 积分作为纯粹数学研究的产物 后来在热学 统计力学 控制论等自然学科得到深 刻而重要的应用 综上所述 从 R 积分到 L 积分的发展过程 生 动地说明了数学的发展是永无止境的 随着人们 对于客观世界的认识不断深化 数学的发展将是 不可限量的 可以预测 随着依赖数学为基础的其 它学科的发展 积分的发展也会越来越完善 参 考 文 献 1 李文林 数学史教程 M 北京 高等教育出版 社 2002 2 刘玉琏等 数学分析 M 北京 高等教育出版社 1992 6 3 程其襄 实变函数与泛函分析基础 M 北京 高等 教育出版社 2001 4 严士健 刘秀芳 测度与概率 M 北京 北京师范大 学出版社 2003 32 第 19 卷第 4 期高等函授学报 自然科学版 VoI 19 No 4 2006 年 8 月 JournaI of Higher Correspondence Education NaturaI Sciences August 2006 浅