第十二届中环杯数学思维能力训练五年级决赛解析.pdf

1 第十二届 中环杯 小学生思维能力训练活动第十二届 中环杯 小学生思维能力训练活动 五年级决赛五年级决赛 一 填空题 每题一 填空题 每题 5 5 分 共分 共 50 50 分 分 1 计算 考点 观察 乘法的意义 解析 2 在 1 2012 这 2012 个自然数中 是平方数但不是立方数的数一共有 41 个 考点 估算 完全平方数 立方数 解析 因为 44 2 1936 452 2025 所以 1 2012 这 2012 个自然数中 平方数有 44 个 既是平方数又是立方数一定可以写成一个数的六次方 因为 3 6 729 46 4096 所以在 1 2012 这 2012 个自然数中 既是平方数又是立方数有 3 个 所以在 1 2012 这 2012 个自然数中 是平方数但不是立方数的数一共有 44 3 41 个 3 某商品按每个 10 元的利润卖出 5 个所得的总钱数 与按每个 25 元的利润卖出 4 个的总 钱数相等 这种商品每个进价是 50 元 考点 盈亏问题 解析 每个 10 元的利润卖出 5 个的总利润为元 每个 25 元的利润卖出 4 个的总利润为元 所以按每个 10 元的利润卖出 5 个的总利润 比按每个 25 元的利润卖出 4 个的总利润少元 因为按每个 10 元的利润卖出 5 个所得的总钱数 与按每个 25 元的利润卖出 4 个的总钱数相等 所以按每个 10 元的利润卖出 5 个的总成本 比按每个 25 元的利润卖出 4 个的总成本多 50 元 所以这种商品每个进价是元 100022012201220112011 2012201320112010 01000220122012 20112010 10002 20122012 20122012 20112010 20112010 2012201220112010 10002201220121 20112010 1 20122012 20112010 100022012201220112011 2012201320112010 50510 100425 5050100 50 45 50 2 4 如图 半圆连同直径上共有 10 个点 以这些点为顶点 共可构成 个三角形 考点 图形计数 解析 确定三角形需要 3 个顶点 从这 10 个点中选 3 个点 不考虑顺序有种选法 但是同一直线上的 3 个点是不能构成三角形 从直径上这 5 个点中选 3 个点 不考虑顺序有种选法 故半圆连同直径上共有 10 个点 以这些点为顶点 共可构成个三角形 5 如图 纸片盖住了减法算式的所有数字 但是已知每一个被盖住的数都是质数 那么积 的个位数是 5 考点 数字谜 质数 解析 积的个位数等于两个因数的个位数乘积的个位数 一位质数有 2 3 5 7 其中符合积的个位数也是质数的只有或 故积的个位数是 5 101 A A120 123 8910 3 10 C 51 A A10 123 345 3 5 C 11010120 3575 2173 1553 1472 1052 632 1553 3575 25575 2325 2325 33 775 3 6 有一种比赛赛制叫做双败复活赛 即每两队进行比赛 胜者进入胜者组 负者进入败者 组 胜者组的每轮负者降入败者组 败者组中再败则被淘汰 如此直至胜者组和败者组的冠 军进入最后的冠亚军决赛 决赛采取三局两胜制 某次比赛有 2012 支队伍参赛 不考虑平 局 那么最多要赛 场才能产生最后的冠军 某轮次遇到组内队伍数为奇数的时候 抽签决定让一支队伍本轮轮空 考点 阅读分析 题意理解 解析 在决出胜者组和败者组的冠军之前 除了最后进入冠亚军决赛的两支队伍 每支被淘汰的队伍先要败 1 场进入败者组 再败 1 场被淘汰 即淘汰一支队伍需要比 2 场 这淘汰的支队伍一共输了场 在决出胜者组和败者组的冠军之前 胜者组的冠军输了 0 场 败者组的冠军输了 1 场 最后决赛采取三局两胜制 即最后的冠亚军决赛最多比 3 场 综上所述 最多要赛场才能产生最后的冠军 7 在 8001 80001 800001 这样的最高位上的数字为 8 最低位上的数字为 1 中间 全是 0 的整数中 将其中能够被 27 整除但不能被 81 整除的数从小到大排列起来 其中第二 个是 考点 整除性质的应用 解析 如果一个数能够被 27 整除但不能被 81 整除 那么这个数除以 9 之后得到的商能够被整除但不能被整除 因为能够被 27 整除但不能被 81 整除 所以能够被 3 整除但不能被 9 整除 所以的数字之和能够被 3 整除但不能被 9 整除 所以 n 能够被 3 整除但不能被 9 整除 n 第二小为 6 故从小到大排列起来 其中第二个是 80000001 8 一个大长方体的尺寸为 它是由一些的单位立方体和一个的长 方体构成 的长方体在大长方体中有 2671 个位置可以放置 那么 考点 立体图形空间想象 解析 当小长方体中长度为 2 的棱与大长方体中长度为 n 的棱方向一 致时 有个位置可以放置 当小长方体中长度为 2 的棱与大长方体中长度为 11 的棱方向一致时 有 个位置可以放置 当小长方体中长度为 2 的棱与大长方体中长度为 10 的棱方向一致时 有 个位置可以放置 则的长方体在大长方体中有个位置可以放置 故 201022012 402020102 4024314020 3927 9981 0 01800 个n 80 89888901800 个个nn 889 88 个n 989888 8 n n个 1011 n111 112 112 n 112 1011 n 1101101011 1 nn 112 1011 n nn10010 111 112 1011 n nn99 110 11 112 267199100 110110 nnn 9 n 4 9 如图 有一个长 5 宽 3 的长方形 一个小球从某一个顶点处以的角度向长方形内发 射 碰到长方形壁后会反弹 那么当小球再一次回到长方形某个顶点的时候 它经历了 次碰撞 考点 图形找规律 解析 如图所示 按照要求画出球的路线图 当小球再一次回到长方形某个顶点的时候 它经历了 6 次碰撞 10 1102 2011 所有数各数位上的数字之和是 考点 页码问题中求数字和 解析 二 动手动脑题 请写出简要的解题过程 每题二 动手动脑题 请写出简要的解题过程 每题 1010 分 共分 共 50 50 分 分 1 如图 一个正方体的木块 六个面上分别写着数 相对面上两个数的和等于 16 按照 下图的位置摆好 上面是 3 正面是 5 右面是 7 先顺时针方向从左向右翻转 2011 次 再由前向后翻转 2012 次 这时 这个木块正面的数是多少 考点 立体几何空间想象 解析 先顺时针方向从左向右翻转 2011 次 正面和后面的 上数不变 再由前向后翻转 2012 次 2012 是 4 的倍数 正 方体按照一个方向转 4 次 各个面的上数不变 最后这个木 块正面的数是 5 45 13567 2452445030 51121451222900 999111 1101 11002011 20001999 1100 2011 1102 5 2 如图 三角形 ABC 是等腰直角三角形 斜边厘米 MN 是 BC 的 AP 是 AC 的 求三角形 PMN 的面积 考点 等腰直角三角形求面积 等高模型 解析 连接 过点 C 作 垂足为 因为三角形 ABC 是等腰直角三角形 所以 所以 所以 所以 所以厘米 平方厘米 因为 所以 所以 因为 所以 所以平方厘米 3 有一个棱长为 20 厘米的大正方体 在它的每个顶点处按图所示的方法各作一个小正方 体 图中表示的是在一个顶点处作小正方体的方法 于是得 到八个小正方体 在这些小正方体空位中 上面四个的棱长 为 12 厘米 下面四个的棱长为 13 厘米 所有这八个小正方 体公共部分的体积是多少立方厘米 12 AB 3 1 4 1 BPABCQ Q 45 90 BAC 454590180180 454590180180 ABQCBCQ AAQCACQ BCQBACQA CQBQCQAQ 62122 ABCQBQAQ 3626122 CQABS ABC 4 1 ACAP 4 3 ACCP 4 3 ABCPBC SS 3 1 BCMN 3 1 PBCPMN SS 9436 4 1 3 1 4 3 ABCABCPMN SSS 6 考点 立体几何空间想象 解析 如图 1 所示 从上往下看 上面四个的棱长为 12 厘米的正方体的重叠部分是边长 为厘米的正方形 如图 2 所示 从上往下看 下面四个的棱长为 13 厘米的正方体的重叠部分是边长为 厘米的正方形 如图 3 所示 从侧面看 上面四个的棱长为 12 厘米的正方体和下面四个的棱长为 13 厘米的 重叠部分高为厘米 所有这八个小正方体公共部分的体积是立方厘米 4 有一个长方形 ABCD 长 AD 为 12 厘米 宽 AB 为 4 厘米 在 AD 边上有一点 P 以每秒 1 厘米的速度从 A 向 D 均速行进 在 BC 边上有一点 Q 以每秒 4 厘米的速度在 BC 边上做匀 速往返运动 P 从 A 点 Q 从 C 点同时出发 随时连接 PQ 从 P 出发直到到达 D 点的这段 时间内 包括到达 D 点的这一刻 线段 PQ 与线段 AB 平行了几次 每一次分别在出发几 秒钟后 考点 多次相遇追击 解析 题目可简化为 只要 PQ 两点在一条水平线上就可保证 PQ 连线与 AB 平行 即 PQ 两点多次相遇与追及 且总用时要小于 P 点到达 D 点时间 s 相遇 第一次相遇合走 1 个全程 用时 s 第二次相遇合走 3 个全程 用时 s 第三次相遇合走 5 个全程 用时 s 追及 第一次追及 需追 1 个全程 用时 s 第一次追及 需追 3 个全程 用时 s 综上 一共平行 4 次 第一次 2 4s 第二次 4s 第三次 7 2s 第四次 12s 5 把卡纸上6 6的方格沿格线剪成4块形状相同 大小相等的图形 使得每一块上都有 新 年 好 三个字 将剪下的 4 块图形分开粘贴在下面的答题区内 设每个 1 1 的小方格的边长为 1 求每块图形的周长 4201212 6201313 5201312 80544 12112 4 2 14 12 2 7 14 312 12 14 512 4 14 12 12 14 31