高三数学一轮复习必备精品：圆锥曲线方程及性质.doc

2009 2010 学年度高三数学 人教版 A 版 第一轮复习资料 第 33 讲 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质 一 一 课标要求课标要求 1 了解圆锥曲线的实际背景 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2 经历从具体情境中抽象出椭圆 抛物线模型的过程 掌握它们的定义 标准方程 几何图形及简单性质 3 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道双曲线的有关性质 二 二 命题走向命题走向 本讲内容是圆锥曲线的基础内容 也是高考重点考查的内容 在每年的高考试卷中一 般有 2 3 道客观题 难度上易 中 难三档题都有 主要考查的内容是圆锥曲线的概念和 性质 从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质 圆锥曲线在高考试题中占有 稳定的较大的比例 且选择题 填空题和解答题都涉及到 客观题主要考察圆锥曲线的基 本概念 标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能 基本方法 对于本讲内容来讲 预测 2010 年 1 1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题 主要是求值问题 2 可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用 结合三种形式的圆锥曲线的定义 三 三 要点精讲要点精讲 1 椭圆 1 椭圆概念 平面内与两个定点 的距离的和等于常数 大于 的点的轨迹叫做椭圆 这 1 F 2 F 21 FF 两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫椭圆的焦距 若为椭圆上任意一点 则有M 21 2MFMFa 椭圆的标准方程为 焦点在 x 轴上 或 22 22 1 xy ab 0ab 1 2 2 2 2 b x a y 焦点在 y 轴上 0ab 注 以上方程中的大小 其中 a b0ab 222 cab 在和两个方程中都有的条件 要分清焦点的位置 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 0ab 只要看和的分母的大小 例如椭圆 当 2 x 2 y 22 1 xy mn 0m 0n mn 时表示焦点在轴上的椭圆 当时表示焦点在轴上的椭圆mn xmn y 2 椭圆的性质 范围 由标准方程知 说明椭圆位于直线 22 22 1 xy ab xa yb xa 所围成的矩形里 yb 对称性 在曲线方程里 若以代替方程不变 所以若点在曲线上时 点y y x y 也在曲线上 所以曲线关于轴对称 同理 以代替方程不变 则曲线关于 xy xx x 轴对称 若同时以代替 代替方程也不变 则曲线关于原点对称 yx xy y 所以 椭圆关于轴 轴和原点对称 这时 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是对称xy 中心 椭圆的对称中心叫椭圆的中心 顶点 确定曲线在坐标系中的位置 常需要求出曲线与轴 轴的交点坐标 在xy 椭圆的标准方程中 令 得 则 是椭圆与轴的两个交0 x yb 1 0 Bb 2 0 Bby 点 同理令得 即 是椭圆与轴的两个交点 0y xa 1 0 Aa 2 0 A ax 所以 椭圆与坐标轴的交点有四个 这四个交点叫做椭圆的顶点 同时 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴 它们的长分别为和 21 A A 21 B B2a2b 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 ab 由椭圆的对称性知 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 在中 a 22 Rt OB F 且 即 2 OBb 2 OFc 22 B Fa 222 2222 OFB FOB 222 cac 离心率 椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率 c e a 且越接近 就越接近 从而就越小 对应的椭圆越0ac 01e e1cab 扁 反之 越接近于 就越接近于 从而越接近于 这时椭圆越接近于圆 当e0c0ba 且仅当时 两焦点重合 图形变为圆 方程为 ab 0c 222 xya 2 双曲线 1 双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 12 2PFPFa 注意 式中是差的绝对值 在条件下 时 12 02 aFF 12 2PFPFa 为双曲线的一支 含的一支 时为双曲线的另一支 含的一支 2 F 21 2PFPFa 1 F 当时 表示两条射线 当时 12 2 aFF 12 2PFPFa 12 2 aFF 不表示任何图形 两定点叫做双曲线的焦点 叫做焦 12 2PFPFa 12 F F 12 FF 距 椭圆和双曲线比较 椭 圆双 曲 线 定义 1212 2 2 PFPFaaFF 1212 2 2 PFPFaaFF 方程 22 22 1 xy ab 22 22 1 xy ba 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 焦点 0 Fc 0 Fc 0 Fc 0 Fc 注意 如何有方程确定焦点的位置 2 双曲线的性质 范围 从标准方程 看出曲线在坐标系中的范围 双曲线在两条直线1 2 2 2 2 b y a x 的外侧 即 即双曲线在两条直线的外侧 ax 22 ax ax ax 对称性 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的 这时 坐标轴是1 2 2 2 2 b y a x 双曲线的对称轴 原点是双曲线的对称中心 双曲线的对称中心叫做双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的中心 顶点 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点 在双曲线的方程里 1 2 2 2 2 b y a x 对称轴是轴 所以令得 因此双曲线和轴有两个交点 x y0 yax x 他们是双曲线的顶点 0 0 2 aAaA 1 2 2 2 2 b y a x 令 没有实根 因此双曲线和 y 轴没有交点 0 x 1 注意 双曲线的顶点只有两个 这是与椭圆不同的 椭圆有四个顶点 双曲线的 顶点分别是实轴的两个端点 2 实轴 线段叫做双曲线的实轴 它的长等于叫做双曲线的实半轴长 2 AA2 a a 虚轴 线段叫做双曲线的虚轴 它的长等于叫做双曲线的虚半轴长 2 BB2 b b 渐近线 注意到开课之初所画的矩形 矩形确定了两条对角线 这两条直线即称为 双曲线的渐近线 从图上看 双曲线的各支向外延伸时 与这两条直线逐渐1 2 2 2 2 b y a x 接近 等轴双曲线 1 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 定义式 ab 2 等轴双曲线的性质 1 渐近线方程为 2 渐近线互相垂直xy 注意以上几个性质与定义式彼此等价 亦即若题目中出现上述其一 即可推知双曲线 为等轴双曲线 同时其他几个亦成立 3 注意到等轴双曲线的特征 则等轴双曲线可以设为 ab 0 22 yx 当时交点在轴 当时焦点在轴上0 x0 y 注意与的区别 三个量中不同 互换 相同 1 916 22 yx 22 1 916 yx a b c a bc 还有焦点所在的坐标轴也变了 3 抛物线 1 抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定直 线 l 上 定点 F 叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 方程叫做抛物线的标准方程 02 2 ppxy 注意 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上 焦点坐标是 F 0 它的准线 2 p 方程是 2 p x 2 抛物线的性质 一条抛物线 由于它在坐标系的位置不同 方程也不同 有四种不同的情况 所以抛 物线的标准方程还有其他几种形式 这四种抛物线pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 的图形 标准方程 焦点坐标以及准线方程如下表 标准方程 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 图形 焦点坐标 0 2 p 0 2 p 0 2 p 0 2 p 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性轴x轴x轴y轴y o Fx y l ox y F l x y o F l 顶点 0 0 0 0 0 0 0 0 离心率1e 1e 1e 1e 说明 1 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径 2 抛物线的几 何性质的特点 有一个顶点 一个焦点 一条准线 一条对称轴 无对称中心 没有渐近 线 3 注意强调的几何意义 是焦点到准线的距离 p 四 四 典例解析典例解析 题型 1 椭圆的概念及标准方程 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 两个焦点的坐标分别是 椭圆上一点到两焦点距离的和等于 4 0 4 0 P 10 2 两个焦点的坐标分别是 并且椭圆经过点 0 2 0 2 3 5 2 2 3 焦点在轴上 x 2 1a b cb 4 焦点在轴上 且过点 y 22 5ab 2 0 5 焦距为 b1ab 6 椭圆经过两点 3 5 2 2 3 5 解析 1 椭圆的焦点在轴上 故设椭圆的标准方程为x 22 22 1 xy ab 0ab 210a 4c 222 9bac 所以 椭圆的标准方程为 22 1 259 xy 2 椭圆焦点在轴上 故设椭圆的标准方程为 y 22 22 1 yx ab 0ab 由椭圆的定义知 2222 353531 2 2 2 10102 10 222222 a 又 10a 2c 222 1046bac 所以 椭圆的标准方程为 22 1 106 yx 3 6c 222 6abc 又由代入 得 2 1a b 22 46bb 又 焦点在轴上 2 2b 2 8a x 所以 椭圆的标准方程为 22 1 82 xy 4 设椭圆方程为 22 22 1 yx ab 2 2 1 b 2 2b 又 22 5ab 2 3a 所以 椭圆的标准方程为 22 1 32 yx 5 焦距为 63c 又 222 9abc 1ab 5a 4b 所以 椭圆的标准方程为或 22 1 2516 xy 22 1 2516 yx 6 设椭圆方程为 22 1 xy mn 0m n 由得 22 35 22 1 35 1 mn mn 6 10mn 所以 椭圆方程为 22 1 106 yx 点评 求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义 还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程 间的关系 例 2 1 06 山东 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 2 0 且长轴长是3 短轴长的 2 倍 则该椭圆的标准方程是 2 06 天津理 8 椭圆的中心为点 它的一个焦点为 相应于 10 E 3 0 F 焦点的准线方程为 则这个椭圆的方程是 F 7 2 x 22 2 1 2 1 213 xy 22 2 1 2 1 213 xy 2 2 1 1 5 x y 2 2 1 1 5 x y 解析 1 已知为所求 2 2 2 2 222 4 2 2 3 161 164 2 3 0 b ab c y x a abc F 2 椭圆的中心为点它的一个焦点为 1 0 E 3 0 F 半焦距 相应于焦点 F 的准线方程为 2c 7 2 x 则这个椭圆的方程是 选 D 2 5 2 a c 22 5 1ab 2 2 1 1 5 x y 点评 求椭圆方程的题目属于中低档题目 掌握好基础知识就可以 题型 2 椭圆的性质 例 3 1 06 山东理 7 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点2 到相应准线的距离为 1 则该椭圆的离心率为 A B C D 2 2 2 2 1 4 2 2 2009 全国卷 理 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该双曲线的离心率等于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 设切点 00 P xy 则切线的斜率为 0 0 2 x x yx 由题意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 答案 C 点评 本题重点考查了椭圆和双曲线的基本性质 例 4 1 2009 全国卷 理 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点 Al 线段AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 过点 B 作BMl 于 M 并设右准线l与 X 轴的交点为 N 易知 FN 1 由题意 3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 2AF 故选 A 答案 A 2 2009 浙江理 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右顶点A作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B C 若 1 2 ABBC 则双曲线的离心率是 A 2 B 3 C 5 D 10 解析 对于 0A a 则直线方程为0 xya 直线与两渐近线的交点为 B C 22 aabaab BC ab ababab 则有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 答案 C 题型 3 双曲线的方程 例 5 1 已知焦点 双曲线上的一点到的距离差的绝对 12 5 0 5 0 FF P 12 F F 值等于 求双曲线的标准方程 6 2 求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程 22 1 255 xy 3 2 2 3 已知双曲线的焦点在轴上 并且双曲线上两点坐标分别为y 12 P P 求双曲线的标准方程 9 3 4 2 5 4 解析 1 因为双曲线的焦点在轴上 所以设它的标准方程为x 22 22 1 xy ab 0 0 ab 26 210ac 3 5ac 222 5316b 所以所求双曲线的方程为 22 1 916 xy 2 椭圆的焦点为 可以设双曲线的方程为 22 1 255 xy 2 5 0 2 5 0 则 22 22 1 xy ab 22 20ab 又 过点 3 2 2 22 182 1 ab 综上得 所以 22 202 10 2 10ab 22 1 202 102 10 xy 点评 双曲线的定义 方程确定焦点的方法 基本量之间的关系 a b c 3 因为双曲线的焦点在轴上 所以设所求双曲线的标准方程为y 22 22 1 0 0 yx ab ab 点在双曲线上 点的坐标适合方程 12 P P 12 P P 将分别代入方程 中 得方程组 9 3 4 2 5 4 22 22 2 22 4 2 3 1 9 25 4 1 ab ab 将和看着整体 解得 2 1 a 2 1 b 2 2 11 16 11 9 a b 即双曲线的标准方程为 2 2 16 9 a b 22 1 169 yx 点评 本题只要解得即可得到双曲线的方程 没有必要求出的值 在求解 22 a b a b 的过程中也可以用换元思想 可能会看的更清楚 例 6 已知双曲线中心在原点 一个顶点的坐标为 且焦距与虚轴长之比为 3 0 5 4 则双曲线的标准方程是 解析 双曲线中心在原点 一个顶点的坐标为 则焦点在 x 轴上 且 a 3 焦距与 3 0 虚轴长之比为 即 解得 则双曲线的标准方程是5 4 5 4c b 5 4cb 22 1 916 xy 点评 本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力 充分挖掘 双曲线几何性质 数形结合 更为直观简捷 题型 4 双曲线的性质 例 7 1 2009 安徽卷理 下列曲线中离心率为 6 2 的是 22 1 24 xy 22 1 42 xy 22 1 46 xy 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 选 B 答案 2 2009 江西卷文 设 1 F和 2 F为双曲线 22 22 1 xy ab 0 0ab 的两个焦点 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的三个顶点 则双曲线的离心率为 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 则2 c e a 故选 B 答案 B 3 2009 天津卷文 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程为 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因为双曲线的焦点在 x 轴上 故 渐近线方程为xx a b y 2 2 答案 C 考点定位 本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用 考察了同学们的运算能力和推 理能力 例 8 1 2009 湖北卷理 已知双曲线 22 1 22 xy 的准线过椭圆 22 2 1 4 xy b 的焦点 则 直线2ykx 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 联立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 A 答案 A 2 2009 四川卷文 理 已知双曲线 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦点分别是 1 F 2 F 其一条渐近线方程为xy 点 3 0 yP在双曲线上 则 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 解析 由渐近线方程为xy 知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是2 22 yx 于 是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 则 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 答案 C 3 2009 全国卷 理 已知双曲线 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦点为F 过F且 斜率为3的直线交C于AB 两点 若4AFFB 则C的离心率为 m A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 解析 设双曲线 22 22 1 xy C ab 的右准线为l 过AB 分 别作AMl 于M BNl 于 N BDAMD 于 由直线 AB 的斜率为3 知直线 AB 的倾斜角 1 6060 2 BADADAB 由双曲线的第二定义有 1 AMBNADAFFB e 11 22 ABAFFB 又 156 43 25 AFFBFBFBe e 答案 A 题型 5 抛物线方程 例 9 1 焦点到准线的距离是 2 2 已知抛物线的焦点坐标是 F 0 2 求它的标准方程 解析 1 y 4x y 4x x 4y x 4y 22 22 方程是 x 8y 2 点评 由于抛物线的标准方程有四种形式 且每一种形式中都只含一个系数 p 因此 只要给出确定 p 的一个条件 就可以求出抛物线的标准方程 当抛物线的焦点坐标或准线 方程给定以后 它的标准方程就唯一确定了 若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定 则所求的标准方程就会有多解 题型 6 抛物线的性质 例 10 1 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合 则的值为 2 2ypx 22 1 62 xy p A B C D 2 24 4 2 抛物线的准线方程是 2 8yx A B C D 2x 4x 2y 4y 3 2009 湖南卷文 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 A 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 解析 1 椭圆的右焦点为 2 0 所以抛物线的焦点为 2 0 22 1 62 xy 2 2ypx 则 故选 D 4p 2 2p 8 p 4 故准线方程为 x 2 选 A 3 解析 由 2 8yx 易知焦点坐标是 0 2 0 2 p 故选 B 答案 B 点评 考察抛物线几何要素如焦点坐标 准线方程的题目根据定义直接计算机即可 例 11 1 全国卷 I 抛物线上的点到直线距离