04 力学：第四章 功和能+质点力学综合·课堂练习及部分习题解答.pdf

Zhang Shihui第四章 功和能 学习指导 典型例题学习指导 典型例题3 学习指导 典型例题学习指导 典型例题4 学习指导 典型例题学习指导 典型例题5 学习指导 典型例题学习指导 典型例题2 学习指导 典型例题学习指导 典型例题4 练习册 第4题 练习册 第3题 Zhang Shihui学习指导学习指导 第四章 功和能第四章 功和能 典型例题第典型例题第2 3题题 题 题 倔强系数为倔强系数为k 原长为 原长为l的弹簧 一端固定在圆周上的的弹簧 一端固定在圆周上的A 点 圆周半径为点 圆周半径为l 弹簧的另一端从距 弹簧的另一端从距A点点2l的的B点沿圆周移 动 点沿圆周移 动1 4周长到周长到C点 求弹性力在此过程中所作的功 点 求弹性力在此过程中所作的功 C A 提示提示 机械能 机械能 2 211 22 22 Aklkl 2 3 2 kl B 题题 两个自由质点 其质量分别为两个自由质点 其质量分别为m1和和m2 它们之间的相互 作用符合万有引力定律 开始时 两质点间的距离为 它们之间的相互 作用符合万有引力定律 开始时 两质点间的距离为l 它 们都处于静止状态 试求当它们的距离变为 它 们都处于静止状态 试求当它们的距离变为l 2时 两质点 的速度各为多少 时 两质点 的速度各为多少 解解 保守力做功等于相应势能增量的相反数 保守力做功等于相应势能增量的相反数 1 122 mvm v 22 1212 1 122 11 222 Gm mGm m mvm v ll 动量守恒动量守恒 Zhang Shihui学习指导学习指导 第四章 功和能第四章 功和能 典型例题第典型例题第4题题 题 题 光滑圆盘上有一质量为光滑圆盘上有一质量为m的物体的物体A 拴在一根穿过圆 盘中心光滑小孔的细绳上 如图所示 开始时 该物体 距圆盘中心 拴在一根穿过圆 盘中心光滑小孔的细绳上 如图所示 开始时 该物体 距圆盘中心O的距离为的距离为r0 并以角速度 并以角速度 0 0绕盘心绕盘心O作圆周 运动 现向下拉绳 当质点 作圆周 运动 现向下拉绳 当质点A的径向距离由的径向距离由r0 0减少到减少到r0 0 2 时 向下拉的速度为时 向下拉的速度为v 求下拉过程中拉力所作的功 求下拉过程中拉力所作的功 A r0 O v 0 解解 以 以O为参考点 拉力始终沿细绳 因 此 相对于 为参考点 拉力始终沿细绳 因 此 相对于O的力矩为的力矩为0 设半径减小为 设半径减小为 r0 2小球的切向速度小球的切向速度vt 根据角动量守恒 根据角动量守恒 0 0t mv rmv r 22 0 11 22 B Wmvmv 222 Bt vvv 222 00 31 22 mrmv 半径为半径为r0 2时小球的总速度时小球的总速度 Zhang Shihui学习指导学习指导 第四章 功和能第四章 功和能 典型例题第典型例题第5题 第题 第6题题 题 题 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动 有一力 作用在质点上 在该质点从坐标原点运动到 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动 有一力 作用在质点上 在该质点从坐标原点运动到 0 2R 位置过程中 力对它所作的功为多少 位置过程中 力对它所作的功为多少 0 j yi xFF 00 02 2 000 00 2 PP OO R AF dr F xdxiF ydy F xdxF ydyF R 解 解 Ox P y R 题 题 设两粒子之间的相互作用力为排斥力 其变化规律为设两粒子之间的相互作用力为排斥力 其变化规律为 f k r3 k为常数 若取无穷远处为零势能参考位置 试求 两粒子相距为 为常数 若取无穷远处为零势能参考位置 试求 两粒子相距为r时的势能 时的势能 解 解 既然求势能 那提到的力就是保守力 保守力做功与 路径无关 因此可以选沿 既然求势能 那提到的力就是保守力 保守力做功与 路径无关 因此可以选沿r的方向积分 以 处为零势能点的方向积分 以 处为零势能点 32 2 p rrr kk Ef drfdrdr rr r处势能处势能 Zhang Shihui练习册练习册 第四章 功和能第四章 功和能 第第3题题 题 题 质量为质量为m的轮船在水中行驶 停机时的速度大小为的轮船在水中行驶 停机时的速度大小为v0 水的阻力为 水的阻力为 kv k为常数 求停机后轮船滑行为常数 求停机后轮船滑行L距离的 过程中水的阻力作的功 距离的 过程中水的阻力作的功 dv Fmam dt 00 00 1 2 2 lL f kkL Akvdxkx v dxkLv mm 解 解 由牛顿第二定律 积分 水阻力作功 由牛顿第二定律 积分 水阻力作功 dv kvm dt dxdv km dtdt 0 0 xv v kdxmdv 0 k vxv m Zhang Shihui练习册练习册 第四章 功和能第四章 功和能 第第4题题 y 解 解 设绳长设绳长l 柱质量 柱质量m1 框质量 框质量 m2 建立图示坐标 建立图示坐标Oxy 柱和框在 柱和框在 O点速度均为零 点速度均为零 题 题 轻且不可伸长的线悬挂质量为轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体 圆柱体又 套在可沿水平方向移动的框架内 框架槽沿铅直方向 框 架质量为 的圆柱体 圆柱体又 套在可沿水平方向移动的框架内 框架槽沿铅直方向 框 架质量为200g 自悬线静止于铅直位置开始 框架在水平 力 自悬线静止于铅直位置开始 框架在水平 力F 20 0N作用下移至图中位置 求圆柱体的速度 线长作用下移至图中位置 求圆柱体的速度 线长 20cm 不计摩擦 不计摩擦 l 1 v 30 30 x F 2 v O 1 m g 设柱在图示位置的速度为设柱在图示位置的速度为v1 方向 与线 方向 与线l垂直 框的速度为垂直 框的速度为v2 方向 水平向右 则由套接关系 方向 水平向右 则由套接关系 知知 211 cos30 x vvv Zhang Shihui练习册练习册 第四章 功和能第四章 功和能 第第4题题 柱柱m1与框与框m2构成的质点系在从竖直位置运动到图示位置过 程中 构成的质点系在从竖直位置运动到图示位置过 程中 只有重力只有重力W1和拉力和拉力F做功做功 根据质点系的动能定理 根据质点系的动能定理 22 1 1221 11 sin30 1 cos30 22 mvm vFlm gl l 1 v 30 30 x F 2 v O 1 m g 将 式代入 式 可得 将 式代入 式 可得 222 1 12 11 11 cos 30sin30 1 cos30 22 mvm vFlm gl 2 1 1 12 sin30 1 cos30 13 28 Flm gl v mm 2 4m sv Zhang Shihui质点力学综合 例例例例1 1 1 1 弹簧劲度系数为弹簧劲度系数为k 质量忽略质量忽略 竖直放置 下端悬一质量为 竖直放置 下端悬一质量为m的小球 开始使弹簧为原 长而小球恰好与地接触 今将弹簧上端缓慢 提起 直到小球刚能脱离地面为止 在此过 程中外力作功为 的小球 开始使弹簧为原 长而小球恰好与地接触 今将弹簧上端缓慢 提起 直到小球刚能脱离地面为止 在此过 程中外力作功为 F 22 2m gk 例例例例2 2 2 2 半径为半径为R的半球形容器中 质量为的半球形容器中 质量为m的 质点自边缘上的 的 质点自边缘上的A点由静止下滑 到达最 低点 点由静止下滑 到达最 低点B时对容器的正压力大小为时对容器的正压力大小为 N 在由 在由A 滑到滑到B的过程中 摩擦力对质点做的功的过程中 摩擦力对质点做的功 R O A B 2 2 21 11 3 22 f mv WEEmvmgRNmgR Nmg R 提示 提示 提示 提示 Zhang Shihui学习指导学习指导 质点力学综合质点力学综合 第第15题题 题 题 两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的木块的木块A和和B 用一个质量忽略 不计 劲度系数为 用一个质量忽略 不计 劲度系数为k的弹簧联接起来 放置在光滑水平面 上 使 的弹簧联接起来 放置在光滑水平面 上 使A紧靠墙壁 用力推木块紧靠墙壁 用力推木块B使弹簧压缩使弹簧压缩x0 然后释 放 已知 然后释 放 已知m1 m m2 3m 求 1 释放后 求 1 释放后 A B速度相等 时 瞬时速度的大小 2 释放后 弹簧的最大伸长量 速度相等 时 瞬时速度的大小 2 释放后 弹簧的最大伸长量 解解 设弹簧恢复原长时设弹簧恢复原长时B物体的 速度为 物体的 速度为v0 根据机械能守恒 根据机械能守恒 AB k 1 m 2 m 22 020 11 22 kxm v 00 3m vx k 2012 m vmm v 速度相等时 据动量守恒 速度相等时 据动量守恒 00 333 44 m vvx k 速度相等时 伸长量最大 速度相等时 伸长量最大 222 2012maxmax0 1111 2222 m vmm vkxxx Zhang Shihui学习指导学习指导 质点力学综合质点力学综合 第第17题题 题 题 质量为质量为mA的粒子的粒子A受到另一重粒子受到另一重粒子B的万有引力作用 的万有引力作用 B保持在原点不动 起初 当保持在原点不动 起初 当A离离B很远很远 r 时 时 A具有速 度 方向沿图中所示直线 具有速 度 方向沿图中所示直线Aa B与这直线的垂直距离为与这直线的垂直距离为 D 粒子 粒子A由于粒子由于粒子B的作用而偏离原来的路线 沿着图中 所示的轨道运动 已知这轨道与 的作用而偏离原来的路线 沿着图中 所示的轨道运动 已知这轨道与B之间的最短距离为之间的最短距离为d 求 求 B的质量的质量mB A B a d D v 0 v 解 解 设粒子设粒子A到达距到达距B最短距 离为 最短距 离为d时的速度为时的速度为v A对对B所 在点的角动量守恒 有 所 在点的角动量守恒 有 0AA Dm vm vd A B系统机械能守恒系统机械能守恒 A在很远处时 引力势能为零在很远处时 引力势能为零 22 0 11 22 AB AA Gm m m vm v d 22 2 0 2 B Dd mv Gd 联立联立 Zhang Shihui 例例例例3 3 3 3 在光滑的水平面上 平放有一固定半圆形屏障 质量为 在光滑的水平面上 平放有一固定半圆形屏障 质量为m滑块以初速度沿切线方向进入屏障内 滑 块与屏障间的摩擦系数为 求滑块从屏障另一端滑 出后摩擦力所作的功 滑块以初速度沿切线方向进入屏障内 滑 块与屏障间的摩擦系数为 求滑块从屏障另一端滑 出后摩擦力所作的功 0 解 解 解 解 分析滑块的受力 如图所示 采用自然坐标系 列写方程 法向 切向 分析滑块的受力 如图所示 采用自然坐标系 列写方程 法向 切向 1 2 n R mmaN 2 d d t mmaN 0 R n fN N 1 代入代入 2 式得 式得 Rt 2 d d 学习指导学习指导 质点力学综合质点力学综合 第第18题题 Zhang Shihui 12 St S Std d d d d d d d 代入上式得代入上式得S R d d 两边积分两边积分 R S R 0 d d 0 0 R R R 0 ln e 0 1 代入代入 2 式得式得 Rt 2 d d n fN N 2 0 1 1 2 KBKA AEEme 学习指导学习指导 质点力学综合质点力学综合 第第18题题 Zhang Shihui 题 题 光滑水平面上水平固定一半径为光滑水平面上水平固定一半径为R圆 环 物体与环内侧的摩擦系数为 圆 环 物体与环内侧的摩擦系数为 k t 0 时 物体的速率为时 物体的速率为v0 求 求 1 t 时刻物体 的速率 时刻物体 的速率 2 在时间 在时间t内物体经过的路程 内物体经过的路程 R v0 解 解 物体做圆周运动物体做圆周运动 R v mNF n 2 2 k vdv Rdt 0 2 0 tv k v dv dt Rv 0 0k v R v Rvt ds v dt 0 00 0 st k v R dsdt Rvt 0 ln 1 k k vtR s R tk dv FNm dt 又又 练习册练习册 质点力学综合质点力学综合 第第1题题 Zhang Shihui 子弹射入过程 斜面对木块支持力不可忽略 而内力子弹射入过程 斜面对木块支持力不可忽略 而内力 重力 子弹重力 子弹 木块系统在平行斜面方向动量近似守恒木块系统在平行斜面方向动量近似守恒 题 题 质量为质量为M的木块在光滑的固定斜面上 由的木块在光滑的固定斜面上 由A点从静止开 始下滑 当经过路程 点从静止开 始下滑 当经过路程l运动到运