《数学分析》(华师大二版)课本上的习题4.doc

P.73 习题1按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1） （2）证明 （1）的定义域为，对其定义域上任一点，有，故在连续，由的任意性知，在其定义域内连续. （2）的定义域为. 对其定义域上任一点，取，当时，有，故，从而在连续，由的任意性知，在其定义域内连续. 2指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）；解 在间断，因为不存在，所以是第二类间断点. （2）解 在间断，因为，故是的跳跃间断点. （3）解 因为，所以在间断. 由于，从而是的可去间断点. （4）解 因为，所以在间断. 由于，从而是的可去间断点. （5）解 因为，所以在间断. 由于，故是的跳跃间断点. （6）解 在间断. 当时，极限不存在，故是的第二类间断点. （7）解 因为，不存在，故是的第二类间断点. ，故是的跳跃间断点. 3延拓下列函数，使其在 R 上连续：（1）解 因为在无定义，且，于是延拓为函数，在 R 上连续. （2）解 在无定义，于是延拓为函数，在 R 上连续. （3）解 在无定义，于是延拓为函数，在 R 上连续. 4证明：若在点连续，则与也在点连续. 又问：若与在点连续，那么在点是否必连续？证明 设在点连续，即，使得当时，有. 这时有，故也在点连续. 下面证明：也在点连续. 因为在点连续，于是在极限存在，从而由极限的局部有界性知，存在及，使得当时，有. 现在取，当时，有所以在点连续.若与在点连续，在点不一定连续. 例如，. 则在点连续，但在不连续5设当时，而. 证明：与两者中至多有一个在连续.证明 因为，所以，假设与两个都在连续，则. 与题设矛盾，所以与两者中至多有一个在连续.6设为区间I上的单调函数. 证明：若为的间断点，则必是的第一类间断点.证明 由教材P.54定理3.10及P.55习题5，知和都存在，所以是的第一类间断点.9举出定义在 0, 1 上分别符合下述要求的函数： 只在，和三点不连续的函数函数只在，和三点不连续 只在，和三点连续的函数设Dirichlet函数，则只在，和三点连续 只在 （）上间断的函数函数，只在 （）上间断 只在右连续，而在其他点都不连续的函数设为Dirichlet函数，则函数只在右连续P.81 习题1讨论复合函数与的连续性，设（1）解 ，处处连续. ，除外，处处连续，是跳跃间断点. （2）解 ，故是的跳跃间断点. ，处处连续. 2设，在点连续，证明：（1）若，则存在，使在其内有；（2）若在某内有，则证明 因为，在点连续，故，. （1）由于，故由教材P.52习题7（2），知存在，使在其内有. 从而在内，有. （2）证明的方法与教材P.49定理3.5类似：设在内，有. 因为，所以，分别存在，使得当时有，当时有. 令，则当时，有，从而. 由的任意性，可得. 3设，在区间上连续，记，证明和也都在上连续. 证明 由教材P.21总练习题1，有因为，在区间上连续，所以在上连续，再由P.73习题4，知在上连续，从而由连续函数的四则运算定理4.4，和都在上连续. 4设为上连续函数，常数，记，证明 F 在 R 上连续. 证明 因为，于是由第3题，知F 在 R 上连续. 另解 ，而，都是连续函数.5设，证明：复合函数在连续，但在不连续. 证明 ，处处连续. 因为，在的左、右极限不相等，故在的极限不存在，从而在不连续. 6设在上连续，且存在，证明：在上有界. 又问在上必有最大值或最小值吗？证明 因为存在，所以由函数极限的局部有界性知，存在，使得在上有界. 又因为在上连续，于是由闭区间上连续函数的有界性知，在上有界，从而在上有界. 在上不一定有最大值或最小值. 例如函数在上连续，但没有最小值；函数在上连续，但没有最大值. 7若对任何充分小的，在上连续，能否由此推出在内连续. 证明 能推出在内连续. 证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续. 由的任意性知，在内连续. 8求极限：（1）（2）9证明：若在上连续，且对任何，则在上恒正或恒负. 证明 （反证法）假设在上不是恒正或恒负. 则存在，使得，. 不妨设，则在上连续，且与异号，由根的存在定理知，存在，使得，这与题设“对任何，”矛盾. 10证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根. 证明 设实系数奇次方程为，. 因为，故存在，使得，. 在上连续，于是由根的存在定理，存在，使得，即是方程的实根. 11试用一致连续的定义证明：若，都在区间上一致连续，则也在上一致连续. 证明 因为，都在区间上一致连续，所以，分别存在，使得，当时有，当时有. 取，则，当时有，所以也在上一致连续. 12证明在上一致连续. 证明 ，由P.78例6知在上连续，从而在上一致连续. 下面证明：在上一致连续. ，取，当时有，所以在上一致连续. 再由P.80例10知，在上一致连续. 13证明在上一致连续，但在上不一致连续. 证明 （1）设，取，当时有，所以在上一致连续. （2）在上，取，取，这时有，但. 故在上不一致连续. 14设函数在区间上满足 Lipschitz 条件，即存在常数L0，使得对上任意两点都有，证明在上一致连续. 证明 ，取，当时有，所以在上一致连续. 15证明在上一致连续. 证明 ，取，当时有，所以在上一致连续. 16设在上连续，且存在，证明：在上一致连续.证明 设. 于是对任给的，存在，当时，有 因在上连续，故在上一致连续. 从而存在，使得当且时，有 下面说明，当且时，必有. 事实上，若，则由 式 知有成立；若，则由式, 可得 所以在上一致连续.17设在上连续，且. 证明：存在点，使得.证明 令，则在上连续. 又由知与符号相反，所以由根的存在定理知，存在点，使得.18设为上的增函数，其值域为. 证明在上连续.证明 用反证法. 若有间断点，则由教材P.55习题5，知与都存在，且. 又因为上的增函数，所以有于是且区间只含的值域中的一个点，这与的值域为矛盾.19设在上连续，证明：存在，使得证明 若，则取；否则，设，则由介值定理，知存在，使得20证明在上一致连续.证明 因为. 当，有即在满足Lipschitz条件，由P.81习题14，知在上一致连续.又因为在上连续，从而在上一致连续. 所以由教材P.80例10，可知在上一致连续.84习题1求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）2设，证明证明 P.84 总练习题1设函数在连续，且与为有限值. 证明：（1）在内有界；（2）若存在，使得，则在内能取到最大值. 证明 （1）定义，则在内连续，从而在内有界，当然也在内有界. 而在内，于是在内有界. （2）因为在内连续，从而在内有最大值. 又由题设，存在，使得，即，因此的最大值在内达到. 所以在内能取到最大值. 2设函数在连续，且. 证明在内能取到最小值. 证明 因为，所以对，分别存在，使得当时，有；当时，有. 因为在闭区间连续，于是在上有最小值，由于，故，从而也是在内的最小值. 类似地可证：设函数在连续，且. 则在内能取到最大值. 3设函数在区间上连续，证明： 若对任何有理数有，则在上； 若对任意两个有理数，有，则在上严格增.证明 对任何无理数，取有理点列，使（），则由的连续性以及得. 所以在上. ，要证. 取有理数，. 由在点的连续性，对，存在正数，使得当有理数，有；当有理数，有. 注意到以及在有理点集上的严格递增性，可得所以在上严格增5设在上连续，且对任何, 存在, 使得证明: 存在, 使得证 由在上连续，有在上连续，于是在有最小值, 设在取得最小值, 即. 若, 则已得证. 假设, 则由题设，存在, 使得; 因是在的最小值, 所以 . 矛盾. 结论得证.另解 反证法. 假设对任何，都有，于是恒正或恒负，否则由介值定理，必有零点. 不妨设，. 因为在上连续，所以有最小值，设，. 由题设，存在, 使得，这与是在上的最小值矛盾. 结论得证.6设在上连续，另有一组正数满足. 证明：存在一点，使得证明 若，则取；否则，设在上的最大值、最小值分别为，则由介值定理，知存在，使得7设在上连续，满足，. 设，. 证明： 为收敛数列； 设，则有. 若条件改为，则证 因为，所以，即递减有下界0，故收敛. 设，由在上连续，则在上连续，从而 因为，所以. 若，则由题设：，必有. 这与中的结论矛盾. 故.8设在上连续，. 证明：对任何正整数 n, 存在, 使得证明 当时, 取. 当时, 令, , 则有由第6题知, 存在, 使得, 从而 9设在连续，且对任何x, yR有. 证明： 在R上连续； .证明 以代入，可得. 由在连