第二章 第1节 一次不定方程.pdf

湖北师范学院数学与统计学院 初等整数论 课程建设 余红宴 2011 4 版 第二章 不定方程 本章所讨论的不定方程 是指整系数代数方程 并且限定它的解是整数 本章只讨论几类比较简单 的不定方程 第 1 节 一次不定方程 设 a1 a2 an是非零整数 b 是整数 称关于未知数 x1 x2 xn的方程 a1x1 a2x2 anxn b 1 是 n 元一次不定方程 若存在整数 x10 x20 xn0满足方程 1 则称 x10 x20 xn0 是方程 1 的解 或说 x1 x10 x2 x20 xn xn0是方程 1 的解 定理定理 1 方程 1 有解的充要条件是 a1 a2 an b 2 证明证明 记 d a1 a2 an 若方程 1 有解 设为 x1 x2 xn 则由 d ai 1 i n 及整除的性 质容易知道式 2 成立 必要性得证 另一方面 由第一章第三节定理 2 存在整数 y1 y2 yn使得 a1y1 a2y2 anyn a1 a2 an d 因此 若式 2 成立 则 21n y d b y d b y d b 就是方程 1 的解 充分性得证 证毕 定理定理 2 设 a b c 是整数 方程 ax by c 3 若有解 x0 y0 则它的一切解具有 tayy tbxx 10 10 t Z 4 的形式 其中 11 ba b b ba a a 证明证明 容易验证 由式 4 确定的 x 与 y 满足方程 3 下面证明 方程 3 的解都可写成式 4 中的形 式 设 x y 是方程 3 的解 则由 ax0 by0 ax by c 得到 第 1 页 共 4 页 湖北师范学院数学与统计学院 初等整数论 课程建设 余红宴 2011 4 版 a x x0 b y y0 00 yy ba b xx ba a 由此 以及 1 ba b ba a 和第一章第三节定理 4 得到 ba b x x0 因此存在整数 t 使得 t ba a yyt ba b xx 00 证毕 定理 1 和定理 2 说明了解方程 3 的步骤 判断方程是否有解 即 a b c 是否成立 利用辗转相除法求出 x0 y0 使得 ax0 by0 a b 写出方程 3 的解 其中 111 110 110 ba b b ba a accba t tacyy tbcxx Z 定理定理 3 设 a1 a2 an b 是整数 再设 a1 a2 an 1 dn 1 a1 a2 an dn 则 x1 x2 xn 是方程 1 的解的充分必要条件是存在整数 t 使得 x1 x2 xn t 是方程组 bxatd tdxaxaxa nnn nnn 1 1112211 5 的解 证明证明 若有整数 t 使得 x1 x2 xn t 是方程组 5 的解 则显然 x1 x2 xn 满足方程 1 设 x1 x2 xn 是方程 1 的解 则 a1x1 a2x2 an 1xn 1 anxn b 6 令 a1x1 a2x2 an 1xn 1 b 则由定理 1 dn 1 a1 a2 an 1 b 因此 存在 t Z 使得 a1x1 a2x2 an 1xn 1 dn 1t 7 再由式 6 得到 dn 1t anxn b 第 2 页 共 4 页 湖北师范学院数学与统计学院 初等整数论 课程建设 余红宴 2011 4 版 即 x1 x2 xn t 满足方程组 5 证毕 定理 3 说明了求解 n 元一次不定方程的方法 先解方程组 5 中的第二个方程 再解方程组 5 中的 第一个方程 于是 解 n 元一次不定方程就化为解 n 1 元一次不定方程 重复这个过程 最终归结为 求解二元一次不定方程 由第一章第三节定理 5 记 a1 a2 d2 d2 a3 d3 dn 2 an 1 dn 1 dn 1 an dn 逐个地解方程 dn 1tn 1 anxn b dn 2tn 2 an 1xn 1 dn 1tn 1 d2t2 a3x3 d3t3 a1x1 a2x2 d2t2 并且消去中间变量 t2 t3 tn 1 就可以得到方程 1 的解 例例 1 求不定方程 3x 6y 15 的解 解解 3 6 3 15 所以方程有解 由辗转相除法 或直接观察 可知 x 1 y 1 是 3x 6y 3 的解 所以 x0 5 y0 5 是原方程的一个解 由定理 2 所求方程的解是 ty tx 5 25 t Z 例例 2 求不定方程 3x 6y 12z 15 的解 解解 原方程等价于 x 2y 4z 5 8 由定理 3 依次解方程 t 4z 5 x 2y t 分别得到 uz ut 1 41 u Z 9 vty vtx2 v Z 10 将式 9 与式 10 中的 t 消去 得到 uz vuy vux 1 41 241 u v Z 例例 3 将 30 19 写成三个分数之和 它们的分母分别是 2 3 和 5 解解 设 第 3 页 共 4 页 湖北师范学院数学与统计学院 初等整数论 课程建设 余红宴 2011 4 版 53230 19zyx 则 15x 10y 6z 19 依次解方程 5t 6z 19 15x 10y 5t 得到 uz ut 54 61 u Z 16 vty vtx 3 2 v Z 17 从式 16 与式 17 中消去 t 得到 uz vuy vux 54 361 261 u v Z 取 u 0 v 0 得到 x 1 y 1 z 4 因此 5 4 3 1 2 1 30 19 例例 6 甲物每斤 5 元 乙物每斤 3 元 丙物每三斤 1 元 现在用 100 元买这三样东西共 100 斤 问 各买几斤 解解 设买甲物 x 斤 乙物 y 斤 丙物 z 斤 则 5x 3y 3 1 z 100 x y z 100 消去 z 得到 7x 4y 100 18 显然 x 0 y 25 是方程 18 的解 因此 方程 18 的一般解是