《高等代数(二次型与线性空间部分)》.doc

数学系05级高等代数（二次型与线性空间部分）试题及答案（2006年3月27日，满分：120分）命题人：胡付高一、判断题（在括号里打“”或“”，每小题2分，共20分）若向量组与向量组都线性无关，则,也线性无关； （）2维线性空间中任何个线性无关的向量都是的一组基； （）3对维线性空间中任何非零向量，在中一定存在个向量，使得作成的一组基；（）4三个子空间的和为直和的充要条件是； （）5把复数域看成实数域上的线性空间，它与是同构的； （）6线性空间的两组基到的过渡矩阵是可逆的； （） 7的任意两个子空间的交与并都是的子空间； （） 8集合作成的子空间； （）9实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负；（）10设元实二次型的正负惯性指数分别为，则必有 （）二、填空题（每小题2分，共20分）1如果，则 2两个有限维线性空间、同构的充分必要条件是3两个复对称矩阵合同的充分必要条件是 它们的秩相等 4设实二次型的秩为，负惯性指数为，符号差为，则、的关系是5级实对称矩阵的所有可能的规范型是：.6设基到基的过渡矩阵是，而基到基的过渡矩阵是，则到的过渡矩阵是7已知为线性空间的三个线性无关的向量，则子空间的维数为 3 8若，则9设三维线性空间的基到的过渡矩阵为，向量在基下的坐标为，在在基下的坐标为 10元实二次型正定的充分必要条件是常数满足三、简述下列定义（共12分）1级矩阵、合同：如果存在可逆矩阵，使得2子空间的和3生成子空间4子空间的直和：中每个向量的分解式（）是唯一的四、（10分）设可由线性表出，但不能由线性表出，证明： 证明 只需证明向量组与等价：易知可由与线性表示，另一方面，由于可由线性表出，故有，且，（否则可线性表出，矛盾），于是，因而可由线性表出，故向量组与等价，最后不难得到结论五、（1）讨论：取什么值时，二次型是正定的（2）证明当时，上述二次型是半正定的（共14分）解 （1）二次型可化为，它对应的矩阵是由二次型是正定的它的矩阵的所有顺序主子式全大于零，可得到，它等价于，即二次型是正定的（2）当时，二次型可化为，故二次型是半正定的注 对（2）还可以用求二次型标准型的方法得到结论，求得它的正惯性指数为2，负正惯性指数为0六、设、是两个固定的级矩阵，证明：（1）是的一个子空间；（2）当是主对角元两两互异的对角矩阵时，是什么样的子空间，并求的维数及一组基（可以只写结果，不必说明理由）（共14分）解 （1）因为，故，对，即，得，于是，设，又由，得到，因此的一个子空间；（2）是所有级对角矩阵作成的子空间，它的一组基可取为，七、设，（1）分别写出生成子空间与的基和维数；（2）求的一组基和维数；（3）求的维数（共15分）解 （1）为的一组基，为的一组基，它们的维数都为2；（2）由，的一组基可取为，故它的维数为3；（3）注意到，由维数公式即得的维数八、补充题（共15分，本题得分可以计入总分）设表示数域上次数小于的多项式及零多项式作成的线性空间，（1）验证是的一个子空间；（2）求的一组基及维数；（3）记，则也是数域上的一个子空间，试证明：证明 （1）因为，所以，设，则，且，因此，故，即是的一个子空间；（2）对，一定可以表成形式 （）若，则，即得，注意到都属于，且线性无关，它们构成了的一组基，；（3）是一个一维子空间，1为它的一组基，由（）式即得，故，