数学(理)第一轮总复习第13章 第67讲 两个计数原理与.ppt

第十三章 计数的原理 两个计数原理与排列 组合 第67讲 1 下列问题 从1到10十个自然数中任取两个不同的数组成点的坐标 可以得到多少个不同点的坐标 从学号为1到10的十名同学中任选两名去开座谈会 有多少种不同的选法 平面上有5个点 其中任意三点不共线 则这5个点最多可确定多少条直线 平面上有5个点 其中任意三点不共线 则这5个点最多可确定多少条射线 属于排列问题的序号为 选出你认为正确的序号 解析 根据排列的定义 有顺序的问题是排列问题 点的坐标和射线都是有顺序的 所以答案为 2 甲 乙 丙3位同学选修课程 从4门课程中 甲选修2门 乙 丙各选修3门 则不同的选修方案共有 种 解析 甲选修2门 有6种选法 乙选修3门 有4种选法 丙选修3门 有4种选法 所以不同的选修方案共有6 4 4 96 种 96 17 2 4 用数字0 1 2 3 4 5可以组成没有重复数字 且比20000大的五位偶数共有 个 解析 分两类 首位是2或4 有4A 96个 首位是3或5 有6A 144个 故符合条件的五位数有96 144 240个 240 5 从班委会5名成员中选出3名分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙两人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 36 两个计数原理的应用 解析 1 每人选报一个项目 都有三种选法 当每个人的项目选定后 这件事才算完成 故由分步计数原理 知共有3 3 3 3 81种不同的报名方法 2 若以学生获得冠军的可能性考虑 第一位学生获得冠军有4种可能性 没有得冠军 跑步得冠军 跳高得冠军 跳远得冠军 但考虑第二位学生时 并不是有4种可能 他受到第一位学生得冠军的可能性的影响 因为第二位学生要获得冠军 要除去与第一位学生获得冠军的相同的情况 考虑第三位 第四位获得冠军 相同的情况就会变得越来越复杂 显然 以学生获得冠军的可能性来分步 会使解决问题更加困难 若以每个项目冠军产生的可能性考虑 问题的思路就清晰多了 完成三个项目都产生了冠军 事情才算完成 每个项目的冠军只有一个 4个人都有可能获得某个项目的冠军 所以每个项目的冠军都有4种可能的结果 由分步计数原理 知共有可能的结果为4 4 4 64种 点评 应用分步计数原理时 也要明确分步的标准 分步必须满足 完成一件事的各个步骤是相互依存的 各个步骤完成了 这件事才算完成 本题中第 1 问 是以人来分步的 每人选报一个项目 都有三种选法 4个人都选定了项目 这件事就完成了 第 2 问是以项目分步的 每个项目的冠军都有4种可能的结果 三个项目的冠军确定了 这件事就完成了 排列问题 点评 排列问题中的难点就是定位排列 捆绑和插入是两种重要的解题思想方法 元素相邻 先将其捆绑并看成一个 大 的元素与其他元素进行排列 再对捆绑的元素进行排列 这就是 捆绑法 元素不相邻 先把其他元素进行排列 再把不相邻元素插入先排好的元素 包括两端的空隙 之间 这就是 插空法 变式练习2 求用数字1 2 3 4 5组成的无重复数字的四位偶数的个数 组合问题 例3 从7名男同学和5名女同学中 选出5人 分别求符合下列条件的选法总数为多少 1 A B必须当选 2 A B都不当选 3 A B不全当选 4 至少有2名女同学当选 5 选出3名男同学和2名女同学 分别担任体育委员 文娱委员等五种不同的工作 但体育委员必须由男同学担任 文娱委员必须由女同学担任 解析 1 只要从其余的10人中再选3人即可 有 120种 2 5个人全部从另外10人中选 总的选法有 252种 3 直接法 分两类 A B一人当选 有 420种 A B都不当选 有 252种 所以总的选法有420 252 672种 间接法 从12人中选5人的选法总数中减去从不含A B的10人中选3人的选法总数 得到总的选法有 672种 4 直接法 分四步 选2名女生 有 10 35 350种 选3名女生 有 210种 选4名女生 有 35种 选5名女生 有 1种 所以总的选法有350 210 35 1 596种 间接法 从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和 即总选法有 596种 5 分三步 先选1男1女分别担任体育委员 文娱委员的方法有 35种 再选出2男1女 补足5人的方法有 60种 最后为第二步选出的3人分派工作 有 6种方法 所以总的选法有35 60 6 12600种 点评 组合应用题是计数问题中的核心问题 题目呈现方式通常由关键词表现出来 如 至多 至少 平均分摊 等 解决的方法一般有分组法 排除法 间接法 要注意掌握几何问题 分配问题 分组问题的处理方法 排列与组合的综合应用 解析 分三步 先确定一个空盒 有 4种方法 选出2个小球捆绑 有 6种方法 将捆绑的小球与其余2个小球看成3个小球 再放入3个盒中 有 6种方法 于是共有 4 6 6 144种方法 点评 恰有一个空盒 说明必定有一个盒子内放2个球 这样问题就分解为三个子问题 即哪一个盒子不放球 哪两个球放在同一个盒子里 将球放入盒子里有没有顺序 这三个问题是相互依存的 故要用分步计数原理 本题在将空盒留下后 问题就转化为 4个不同的小球放入3个不同的盒子里 且每个盒子里至少放一个球 点评 可以这样分析 先每个盒子中放一个球 有 24种放法 再将第4个球放入3个盒子的任何一个 有 3放法 于是放法总数为 288种 这一结果与上述结论不吻合 原因出在将第4个球放入盒子中时 使盒子中的两个球无意识地加入了顺序 当两个球无顺序时 即为288 144 变式练习4 有6本不同的书 1 甲 乙 丙三人每人2本 有多少种不同的分法 2 分成3堆 每堆2本 有多少种不同的分堆方法 3 分成3堆 一堆一本 一堆2本 一堆3本 有多少种不同的分堆方法 4 分给甲 乙 丙3人 一人一本 一人2本 一人3本 有多少种不同的分法 5 分成3堆 有2堆各一本 另一堆4本 有多少种不同的分堆方法 6 摆在3层书架上 每层2本 有多少种不同的摆法 解析 1 在6本书中 先取2本给甲 从剩下的4本中取2本给乙 最后2本给丙 有 90种分法 2 6本书平均分成3堆 共有 15种分堆方法 3 从6本书中先取1本作一堆 在剩下的5本中 取2本作一堆 最后的3本作一堆 共有 60种分堆方法 解析 4 在 3 中 甲 乙 丙3人任取一堆 共有 360种分堆方法 5 平均分堆要除以堆数的全排列 不平均分堆则不除 共有 15种分堆方法 6 与6本书放在6个位置上同意义 共有 720种不同的摆法 解析 先填数字1 有3种方法 其次任选一个数字填入符合条件的方格中 有3种方法 最后两个数字唯一选择 故不同的填法有3 3 1 9种 1 将数字1 2 3 4填在标号为1 2 3 4的方格里 每格填一个数字 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 种 9 2 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛 其中至少有一名女生入选的组队方案数为 110 5 7名师生站成一排 其中老师1人 男生4人 女生2人 在下列情况下 各有不同站法多少种 1 两名女生相邻 2 4名男生不相邻 3 老师不站中间 女生不站两端 解析 1 2名女生站在一起有种站法 她们与其余5人全排列 有种方法 故有 1440种站法 2 老师和女生先站好 有种方法 再将4名男生插入其中 插法有种 故有 144种站法 1 两个计数原理的应用方法在处理具体的应用问题时 必须先分清是分类还是分步 具体来讲 要根据元素的不同性质进行 分类 根据事件发生的过程进行 分步 两种计数方法 都必须弄清按什么标准进行 分类 或 分步 在分类中 类 与 类 之间是确定的和并列的 在分步中 步 与 步 之间是相依的和连续的 2 排列与组合综合理解组合问题与排列问题的共同点都是 从n个不同的元素中选出m个元素 区别在于 组合是取出的元素集中成一组 没有顺序 而排列是取出的元素要按顺序排成一列 解排列 组合问题时注意以下几点 1 审题分析是排列问题 还是组合问题 按元素的性质分类 按事件发生的过