一个典型问题的探究过程.doc

一些典型问题的探究过程 江苏省淮北中学 程坚探究一：一个开放性问题的探究过程及其反思（数学通讯201103学生）。探究方法 师生共同探究探究过程 从感性到理性。引题（2009浙江理7）设向量a,b满足：|a|=3,|b|=4,ab=0.以a,b,a-b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为(A).3(B).4(C).5(D).6分析：当圆与三角形的两边相交时,有4个交点,本题新构造的三角形是三边为的直角三角形,其内切圆半径恰好为1. 故它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为4个,选B.此题讲评后,我意犹未尽,于是提出了下面的问题: 直角三角形的三边为,半径为的圆与三边有6个交点,则的取值范围是 . （根据问题情境提出恰当问题很重要）由于圆的圆心不定,半径不断变化,而且又要与三角形的三边相交,因此难度较大.经过几分钟的思考、交流、讨论后,课堂逐渐热闹起来.经过梳理,我把学生的思维过程概括为如下的两个阶段:一、 感性阶段,思维螺旋上升学生一 答案是.理由:当圆心是三角形的内切圆圆心时,对应的是1；当圆心是三角形的外接圆圆心时,对应的是,结合题意.此答案有一定的合理性,一部分学生表示认同.我对学生一的答案不予评价.继续提问:还有其它答案吗?过了两分钟.学生二 答案是.理由:当圆心是三角形的内切圆圆心时,对应的；当圆心是三角形的外接圆圆心时,对应的.结合题意.该答案很快被其他学生否定.学生三 答案是.他给出了如下的图形: 当圆心是三角形的内切圆圆心时,对应的是1；当圆心是点时,对应的是3.结合题意这个答案出现后,大部分学生表示赞同.我对学生的答案仍不予评价.继续提问:还有其它答案吗?注 在提出这个问题时,我认为的答案是,解答过程和学生三相同. 继续提问,一方面是为了让学生充分暴露思维过程;另一方面,教学经验告诉我,自己提出的问题,难免会考虑不周,这一次又是如此.又过了几分钟.学生四 答案是.他给出了如下的图形:作的垂直平分线交矩形的边与点,由得.当圆心是三角形的内切圆圆心时,对应的是1；当圆心是点时,对应的是.结合题意继续提问:还有其它答案吗?此时的学生很激动,也很困惑.总结提问:根据学生一,圆的圆心可以在线段上，；根据学生三,圆的圆心可以在线段上，；根据学生四,圆的圆心可以在线段上，,圆的圆心到底在什么范围内?圆的半径还可以继续增大吗?注 这个问题是给学生的,也是给自己的.二 、理性阶段,思维渐趋严谨学生五 圆的圆心一定在矩形在内.理由如下：如果圆和线段有两个交点,则圆心必在两条平行线所夹的区域内；如果圆和线段有两个交点,则圆心必在两条平行线所夹的区域内；如果圆和线段有两个交点,则圆心必在过且和直线垂直的两条平行线所夹的区域内,这三个区域的公共部分即为矩形内.我对学生五的回答给予肯定.因为该学生已经在理性地思考圆心所在的区域,为问题的根本解决做了铺垫.同时继续提问:圆心所在的区域能否进一步缩小呢?又过了几分钟.学生六 如图所示,弧线是以为焦点,以为准线的抛物线,弧线是以为焦点,以为准线的抛物线,弧线是以为焦点,以为准线的抛物线.圆的圆心一定在三条线段和三条抛物线弧围成的封闭区域内.结合图形,由抛物线的定义可知,点在的垂直平分线上,根据学生四的求解, 点为圆心时对应的半径是,故此时,再也没有人怀疑答案的正确性,问题终于得到了圆满的解答.为了巩固这种方法,我灵机一动,又提出了如下的问题:正 的边长为,半径为的圆与三边有6个交点,则的取值范围是 .此时学生轻车熟路,很快画出圆心所在的区域是由三条抛物线弧围成的平面区域,如图所示,根据图形可得.接着我又提出了如下的问题:通过此题的探究,你有哪些收获?下课的铃声响了,我们终止了讨论.我无法了解学生会有怎样精彩的回答,真的很可惜.教学反思本节课在引题的基础上,通过提出问题,组织讨论,让学生完整地经历了问题的探究过程,体验了成功的快乐,感受了数学的美.本节课如果满堂灌,把错误的答案教给学生,教学效果可想而知.在上课时,不可满堂灌,要让学生充分暴露自己的思维过程, 不断修正和完善自己的思维过程,让学生体验成功和失败的感受,经历完整的教学过程.学生六的解法使我真正地认识到学生的智慧是无穷的,学生的智慧是教师成长的重要源泉.他让我又一次深刻领悟了“教学相长”这个道理.我喜欢变题.对于教师来说,变题可以让教师不断挑战自己,永葆青春活力.对于一部分学生来说,教材中准备的教学内容已经掌握,教学时,要在恰当的时机提出恰当的具有挑战性的问题,激发学生的学习兴趣,让学生开动脑筋,积极参与,让课堂动起来,这样才能真正提高课堂效率.这种做法学生很喜欢,它使我在教学上获得了成功.在刚开始的时候,这种做法经常使我“挂黑板”,如今随着教学经验的不断增多,教学机智的不断增强,往往能化险为夷,并达到天衣无缝的妙境.探究二：对一道高考试题的探究（中学数学教学参考下旬刊2011.1-2）探究方法 从特殊到一般2010高考四川卷第20题是一道有关直线与圆锥曲线位置关系的解析几何题：已知定点定直线.不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的2倍.设点的轨迹为,过点的直线交与两点,直线分别交与点.（1） 求的方程; （2） 试判断以线段为直径的圆是否过点,并说明理由.此题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考查解决解析几何题目的思想方法及推理运算能力.同时第（2）小题还是一道值得探究的好题.探究1 将问题一般化,设双曲线E的方程为,点是它的左右顶点,直线是右准线,点是右焦点,过点的直线交与两点,直线分别交与点,以线段为直径的圆是否过点呢？探究如下：设,直线的方程为,将它代人双曲线的方程并整理得.由题意知,. 所以.又直线的方程为,故点M的坐标为,由对称轮换可得点N的坐标为,又,故.所以以线段为直径的圆过点F.于是有如下的结论:结论1.1设双曲线E的方程为,点是它的左右顶点,直线是右准线,点是右焦点,过焦点的直线交与两点,直线分别交与点,则以线段为直径的圆过点.探究2 当直线垂直于轴时,易知以线段为直径的圆于直线相切于点,当直线是任意直线时,该结论是否成立呢?探究如下:接上面，因为.设线段的中点为,则,由切线的判定定理可得直线与切与点F.于是我们又有:结论1.2设双曲线E的方程为,点是它的左右顶点,直线是右准线,点是右焦点,过焦点的直线交与两点,直线分别交与点,则以线段为直径的圆与直线相切与点.探究3 如图, 对于右顶点,是否有类似的结论呢?利用对称轮换,将前面讨论过程中的换为,同样可得下面的结论:结论1.3 设双曲线E的方程为,点是它的左右顶点,直线是右准线,点是右焦点,过焦点的直线交与两点,直线分别交与点,则以为直径的圆与直线相切与右焦点.因为过点F和直线BC垂直的直线与准线的交点是唯一的,所以由结论1.2和结论1.3可知,以为直径的圆和以为直径的圆是同一个圆. 于是我们还有:结论1.4 设双曲线E的方程为,点是它的左右顶点,直线是右准线,点是右焦点,过焦点的直线交与两点,直线相交于点M, 直线相交于点N,则点M,N都在准线上.探究4 类比到椭圆，是否有相似的结论呢?探究如下：如图，设,直线的方程为,将它代人椭圆的方程并整理得.显然, . 所以 .又直线的方程为,故点M的坐标为,由对称轮换可得点N的坐标为,所以 ,.故以为直径的圆过点F.又因为.设线段的中点为,则所以,由切线的判定定理可得直线与切与点F.于是我们又有结论：结论2 设椭圆E的方程为,点是它的左右顶点,直线是右准线,点是右焦点,过焦点的直线交与两点, 直线分别交与点,则以线段为直径的圆与直线相切与点.对于结论1.3、结论1.4,椭圆有完全类似的结论.双曲线和椭圆都是有心曲线,是中心对称图形.对于抛物线这个无心曲线，我们也有下面类似的结论：结论3 设抛物线E的方程为，原点为E的顶点，过焦点的直线交与两点, 直线分别交其准线与点,则以为直径的圆与直线相切与点.证明：设,直线的方程为,将它代人抛物线的方程并整理得.显然, . 所以 .又直线的方程为,故点M的坐标为,同理可得点N的坐标为,所以 .故以为直径的圆过点F. 设线段的中点为,则, ,所以,以线段为直径的圆与直线相切与点.事实上，对于圆锥曲线,我们还有下面更一般的的结论:结论4 设曲线E的极坐标方程为,极点O是E的一个焦点,其对应的准线为,过焦点O的直线交与两点, 点是上的任意一点,直线分别交与点,则以线段为直径的圆过点.证明：设（注1），则过两点的直线的极坐标方程为，将它和直线联立，并将，代人得，整理得，即点M极角的正切为，又直线过极点，故可设（注2），则点的极角的正切为，所以，即，以为直径的圆过焦点【评注】：1、若曲