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文档简介

2 一 重点与难点 重点 难点 1 复积分的基本定理 2 柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算 3 二 内容提要 有向曲线 复积分 积分存在的条件及计算 积分的性质 柯西积分定理 原函数的定义 复合闭路定理 柯西积分公式 高阶导数公式 调和函数和共轭调和函数 4 设C为平面上给定的一条光滑 或按段光滑 曲线 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向 或正向 那末我们就把C理解为带有方向的曲线 称为有向曲线 如果A到B作为曲线C的正向 那么B到A就是曲线C的负向 1 有向曲线 5 2 积分的定义 6 7 3 积分存在的条件及计算 1 化成线积分 2 用参数方程将积分化成定积分 8 4 积分的性质 9 10 11 6 原函数的定义 牛顿 莱布尼兹公式 12 7 闭路变形原理 一个解析函数沿闭曲线的积分 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值 那末 13 14 8 柯西积分公式 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 15 9 高阶导数公式 16 10 调和函数和共轭调和函数 任何在D内解析的函数 它的实部和虚部都是D内的调和函数 17 定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数 共轭调和函数 18 三 典型例题 例1计算的值 其中C为1 沿从到的线段 2 沿从到的线段 与从到的线段所接成的折线 解 19 说明同一函数沿不同路径所得积分值不同 20 因此 证 例2设C为圆周证明下列不等式 21 解 例3计算 当时 22 解 23 解法一利用柯西 古萨基本定理及重要公式 由柯西 古萨基本定理有 24 25 解法二利用柯西积分公式 26 因此由柯西积分公式得 27 28 解 分以下四种情况讨论 29 30 31 32 33 解 34 解法一不定积分法 利用柯西 黎曼方程 35 因而得到解析函数 36 解法二线积分法 37 因而得到解析函数 38 解
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