第4章 机械振动.ppt

赵存虎 编制 1 第4章机械振动 4 1简谐振动的动力学特征4 2简谐振动的运动学4 3简谐运动的能量4 4简谐运动的合成4 5阻尼振动受迫振动共振 教学目的 1 掌握简谐振动和描述简谐振动的物理量 2 掌握用旋转矢量描述简谐振动 3 理解单摆周期的计算 4 掌握简谐运动的能量公式及能量曲线 5 掌握同频率同方向谐振动的合成 6 了解实际振动 阻尼振动 受迫振动 共振及在实践中的应用 教学重点 简谐振动的动力学特征和运动学特征 描述简谐振动的物理量 旋转矢量法的应用 教学难点 旋转矢量求解简谐振动的问题 2 4 1简谐振动的动力学特征 4 1 1简谐振动的动力学特征 以质量为m 劲度系数为k的弹簧振子为例 演示 条件 不计弹簧质量 忽略摩擦阻力 3 令 称为振动系统的固有圆频率 决定于系统的内在性质 4 则 凡质点离开平衡位置的位移 线位移或角位移 满足此微分方程的运动 均称为简谐振动 简谐振动的基本特征 2 等振幅振动 3 运动具有时间周期性 1 存在弹性恢复力或准弹性恢复力 单位 rad s 1 4 1 2微振动的简谐近似 单摆 5 不计绳子质量和伸缩量 忽略摩擦阻力及空气阻力 由转动定律可知 当时 其中圆频率 演示 周期 故 4 2 2描述简谐振动特点的物理量 1 振幅A 反映振动强弱 周期T 反映振动快慢 频率 振动的最大位移 反映振动快慢 完成一次全振动所用时间 单位时间内完成全振动的次数 6 4 2简谐振动的运动学 4 2 1简谐振动的运动学方程 2 周期 频率 圆频率 圆频率 2 秒内完成全振动的次数 或单位时间内转动的角度 反映振动快慢 注 周期 频率 圆频率决定于振动系统的力学性质 相位 t 通常初相位 的取值范围是 初相位 t 0时刻的相位 确定任意时刻系统振动状态的物理量 3 相位和初相位 7 速度 加速度 8 4 振动的速度 加速度 注意 v和a的正负仅表明振动物体的运动方向与X轴正方向相同还是相反 可见 振动物体的速度和加速度也按简谐振动规律变化 初相 0 9 初相位 确定 通常取 角所在象限由sin v0 A 和cos x0 A决定 5 由初始条件确定振幅A和初相位 由初始条件t 0 x x0 v v0可得 4 2 3简谐振动的旋转矢量图示法 以平衡位置O点为圆心 振幅A为半径 角速度为 作逆时针方向匀速率圆周运动的质点 在X轴上投影点的运动是简谐振动 演示 10 投影点的运动方程 称为旋转矢量 或振幅矢量 相位 t 是与X轴正半轴的夹角 相位差 相位差 t 2 t 1 2 1 实为初相位之差 两个同频率简谐振动在同一时刻的相位之差 同相和反相 11 同相 当 2k k 0 1 2 则每一时刻两个振动的状态完全相同 称为同相 反相 当 2k 1 k 0 1 2 则每一时刻两个振动的状态完全相反 称为反相 12 初相位在0 2 或 内 若 2 1 0 则称x2超前于x1 即x2比x1提前达到正最大值 也可称x1比x2落后 相位的超前和落后 常针对两同频率振动 例 落后于 13 运用旋转矢量确定简谐振动的初相位并求解简谐振动的其它问题最为简捷 直观 注 同一简谐振动的位移 速度 加速度之间也可以比较相位 求从t 0时刻起到质点位置在x 2cm处 且向X轴正方向运动的最短时间间隔 例题 一质点沿X轴作简谐振动 振动方程为 解 用旋转矢量法 由振动表达式可知 14 当t 0时 质点在x0 2cm处 质点对应于圆周运动的M0点 v0 0 质点沿X轴负方向运动 质点到达x 2cm处 且v 0时 质点对应于圆周运动的M点 圆频率 2 rad s 1 初相位 3 由M0点到M点 旋转矢量旋转了 rad 所用时间为 s 15 弹性势能 机械能 简谐振动系统机械能守恒 动能和弹性势能相互转换 二者相位差 2 16 动能 4 3简谐振动的能量 性回复力是保守力 作简谐运动的系统机械能守恒 4 4简谐振动的合成 4 4 1两个同方向同频率简谐振动的合成 一个质点同时参与两个 或多个 振动方向相同 频率相同的振动 1 分振动 x1 A1cos t 1 2 合振动 x2 A2cos t 2 x x1 x2 用旋转矢量法合成 演示 17 合振动表达式 合振幅矢量 结论1 合振动也是同频率简谐振动 x Acos t 结论2 合振动振幅与分振动相位差有关 初相位 满足 合振幅 18 讨论 1 若两分振动同相 相位相同或相位差是 的偶数倍 2 若两分振动反相 相位相反或相位差是 的奇数倍 则A A1 A2 两分振动相互加强 合振幅最大 则A A1 A2 两分振动相互减弱 合振幅最小 即 2 1 2k k 0 1 2 即 2 1 2k 1 k 0 1 2 3 若A1 A2 A0 合振动强度 19 则同相时合振幅A 2A0 反相时合振幅A 0 由旋转矢量图可见 合振动的初相位为 例题 同一质点参与两个简谐振动 振动曲线如图所示 若这两个简谐振动用余弦函数表达 且合振动也用余弦函数表达 则其初相位为多少 解 用振幅矢量图示法最简单 由振动曲线可见两振动初相位 1 2 0 20 二 同方向不同频率的简谐振动的合成 频率相近的两个简谐振动的迭加 合振幅时而加强 时而减弱 形成所谓拍现象 拍频 单位时间内强弱变化的次数 为 2 1 21 4 5阻尼振动受迫振动共振 4 5 1阻尼振动 由于阻尼的作用 使振幅随时间而减小的振动 称为阻尼振动 4 5 2受迫振动 在周期性外力 策动力 的持续作用下的振动 称为受迫振动 4 5 3共振 当策动力的频率与振动系统的固有频率相同时 策动力在整个周期内对物体作正功 使物体能量达到最大 此现象称为共振 此时速度振幅vm A 也达到最大 阻尼较小 阻尼较大 22 本章学习指导 一 简谐振动的基本特征和运动规律 运动学特