高等代数 2008.doc

线性代数 高等代数 2008适用专业：数学，系统分析与集成。本试卷共有八大题。1（20分）：设，其中为阶矩阵，而且，求。解：因为（8分），所以（2分），而（9分），这样有：（1分）2（20分）： 设是n阶可逆方阵, . (1):计算 (是整数)（10分）. (2).假设,为6阶方阵,而且 ,求（10分）。解:(1)因为是n阶可逆方阵,所以 ， 所以对任意整数有（10分）。 (2)由知道, （5分），而且,（5分）3（20分）：设为阶矩阵，如果的伴随矩阵不为零矩阵，而且。1）求线性方程组（其中为维未知列向量）的通解（12分）。2）进一步如果为3阶对称矩阵，而且每行只有两个非零元素，求（8分）。解：因为，所以至少有一个阶子式不为0（4分），由于，所以（4分）。这样我们知道的基础解系指含一个非零元素，则有1）通解为（4分）。2）由于每行只有两个非零元素，而且，所以这两个非零元素应该为形式（4分），再由为3阶对称矩阵知道：（4分）。4（20分）设，其中为互不相同的整数，求证：存在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数，使得。证明：如果，结论显然成立，不妨设结论对次数小于的这样多项式成立。对于，如果不可约，则可设，结论成立（5分）。现在设可约，则存在两个整系数非常数多项式使（3分），则有，所以，由于为互不相同的整数，所以有，则，这样为偶数，而且的首项系数为1（6分）。因为，所以，由此知道至少有个使得或者等于-1，不妨设为1，则可设，这样有：（4分）由归纳知道存在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数，使得，所以有。结论得证。（2分）5（30分）：设为阶实对称矩阵，而且正定。（1）求证存在正定矩阵使得，而且唯一（15分）。（2）如果，求的特征值和特征向量，由此求（1）中正定矩阵使得（15分）。解：1）：设为的个特征值，则存在正交矩阵使得：因为正定，所以所有特征值皆大于0，这样如果设，则有，而且显然正定（5分）。下面证明唯一。如果，其中正定，则有，设。 正定，所以可以设，其中正定，则有，所以与有相同特征值，而为实对称矩阵，所以知道知道特征值皆为实数，但是是反对称矩阵，所以的特征值为0或者纯虚数，这样特征值皆为0（反对称矩阵特征值皆为0，则其为零矩阵。这个结论对对称矩阵也成立，但对一般矩阵不成立），所以，则，而正定，所以可逆，则。得证（10分）。2）：，所以的特征值为1，1，16（5分）。当特征值为1时有两个线性无关的特征向量：（5分），当特征值为16时有一个特征向量为（3分）。此时设，则有：，所以有，而且（2分）。6（15分）：设是维空间的子空间，而且，则而且，或者而且（表示线性空间的维数）。证明：因为：（2分），所以有:。又因为（3分），如果：，则矛盾（4分）。所以有或者(2分)。当时，我们有而且，则有而且（2分）。当时，我们有而且，则有而且（2分）。由此的结论。7（15分）设为维欧氏空间，是上线性变换，若，有，则称为反对称变换。1）求证：为反对称变换充要条件是在任意一组标准正交基下矩阵为反对称矩阵（10分）。2）若是反对称变换的不变子空间，求证：也是的不变子空间（5分）。证明：1）设为的标准正交基， 在这组基下矩阵是，则由，有（其中）。2）若是反对称变换的不变子空间，则，因为，所以，这样，由 的任意性知道，则也是的不变子空间。8（10分）设是 线性空间，上线性变换称为幂等变换