多元函数微分学练习题及解答.doc

高等数学（B）多元函数微分学复习题1、 二元函数在点处的两个偏导数存在是在点处连续的条件（填：充分、必要、充要或无关）解：无关条件，2、 如果函数的两个混合偏导数在区域D内 ，则这两个混合偏导数相等解：连续。3、设则 解：。4、函数 的定义域是 解：。5、求 的极值 解：由曲面图形知：此曲面为顶点在原点，开口向上的圆锥，故其在取得极小值 。6、函数在点（）处可导（偏导数存在）是函数在该点全微分的存在的条件（填：充分、必要、充要或无关）解：必要条件。 7、 解：因为， ，由无穷小性质：无穷小乘以有界函数仍 为无穷小，故有。8、 解：函数在点连续，故。教材页习题9-1第6大题求极限。9、讨论函数在处连续性、可导性与可微性？ 解：1）当点沿直线趋于点时，有随值的不同而改变，所以由极限定义知不存在，从而函数在处不连续； 2）由连续与全微分关系知：函数在该点全微分不存在； 3） 故函数在该点偏导数存在。 10、设，求 解： 。11、设，求 解：1） ； 2）； 3）； 4）； 5）； 6）。12、设求。解： 。 13、设，求。解1：由多元复合函数的求导公式知： ；解2：将代入方程中，则函数化为一元复合函数， 利用一元复合函数的求导公式知。14、设而，求。解：由多元函数的求导公式：，。 ， 同理。 15、求 解：设则 ； ，由多元隐函数的求导公式： ； 。16、设，其中是可微函数，求。 解：为方便起见记 由多元复合函数求导公式我们有： 故。17、：设具有一阶连续偏导数，求。解：， 。18、已知函数 ， 求 . 解：； 。 19、设具有二阶连续偏导，且，求 解：设，为方便起见记 ，因为具有二阶连续偏导，故。 1） ； 2） ； 3） 。 20、设具有连续导数，证明 证明： 。21、设具有连续偏导，方程确定是的函数，求 解：设，为方便起见记令 由上式知； ；由隐函数求导公式可得 ； 。22、设函数具有连续偏导数，验证方程所确定的函数满足 证明：设，记，则有，； ；由隐函数求导公式 ；，则有 ，。 23、求曲线在处切线与法平面方程 解：1）先求切点坐标：； 2）再求切向量 切线在该点的切向量为 ； 3）曲线在该点的切线方程：； 曲线在该点的法平面方程： 。24、在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ）A）只有一条； B）只有两条； C）至少有三条； D）不存在。解：已知切线方向向量与平面法向量垂直，于是，所以只有两条切线。应选B。25、求曲面上平行与平面的切平面方程 解：1）先求切点坐标：令曲面方程为， 则曲面上点处切平面的法向量为：，由题设向量与已知平面的法向量平行，即，因为在曲面上，故满足曲面方程切点坐标为或2）切平面方程为：。26、求在处的切平面与面夹角的余弦 解：设夹角为1）先求切平面的法向量：令，则，曲面在该点的法向量为： ；2）平面的法向量为：；3）由定义。27、证明曲面任意处的切平面在各坐标轴上的截距之和为 证明：设 曲面在任意点处的切平面方程为： 其在三坐标轴上截距分别为 曲面任意处的切平面在各坐标轴上的截距之和为。28、求的极值 解：1） 2），故函数在点取得极小值。 ，故不是极值。 ，故不是极值。 ，故函数在点取得极大值。 29、求的极值 解：此为顶点在，开口朝下的旋转抛物面，由其图形特征知其在处取得极大值9。30、在平面 上求一点，使它与两定点 P（1，0，1）和Q（2，0，1） 的距离平方和为最小。 解：设平面上点为，由题意问题化为求 在条件下的最小值。利用拉格郎日乘数 法：作拉格郎日函数1）；2）可能极值点唯一，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值一定在这唯一 可能的极值点处取到。3）曲面上的点与两定点 P（1，0，1）和Q（2，0，1）的距离平方和为最小。 31、椭球面的第一卦限内部分曲面上的切平面与三坐标面围成一四面体，试求这种四面体体积的最小值。解：1）设点是椭球面 的第一卦限内部分曲面上的一点。 又记，则向量 是曲面在点处的一个法向量，从而该点处曲面的切 平面方程为又点在曲面上， 故切平面方程可以化简为。其在三坐标轴上的截距为， ，从而切平面与三坐标面围成的四面体体积为。2）当 最大时，体积就最小，又由于点是椭球面的第一卦限内部分曲面上任取一点，所以问题就化为求函数在条件之下的最大值，为此作拉格朗日函数得唯一可能的极值点3）因为由问题本身可知最大值一定存在，故最大值就一定在这唯一可能的极值点处取得。于是知椭球面在点处切平面与三坐标面围成的四面体体积最小，其最小值为。 32、求函数在点处方向导数的最大值及相应方向 解：由方向导数与梯度关系：取得最大方向导数的方向即为梯度方向，最大的方向导数即为梯度的模 1） 函数在点处方向导数的最大值 2）相应的方向就是方向，即向量的方向。 33、求函数在曲线上点处沿曲线在该点的切线正方向（对应 增大的方向）的方向导数 解：对应于， 1）先