定位的数学模型-3载波相位相对定位.pdf

同济大学 陈义 沈云中 GPS载波相位相对定位的数学模型 同济大学测量系 陈义沈云中 同济大学 陈义 沈云中 提要 相对定位的数学模型 同济大学 陈义 沈云中 相对定位的数学模型 2 1 载波相位基本观测方程 为简明起见 省略电离层和对流层改正 则两点上 的相位方程为 1 1 1 1 22 2 22 22 2 22 11 1 11 11 1 11 tfNttft tfNttft tfNttft tfNttft l i l i l ii l k i k i k ii k l i l i l ii l k i k i k ii k 同济大学 陈义 沈云中 2 1 相位差分 单差 SD 单差为 若令 1 1 222 2 22 111 1 11 ttfNNtttt ttfNNtttt kl i k i l i k i l i k i l kl i k i l i k i l i k i l ttt ttt ttt NNN i k i l i kl i k i l i kl klkl i k i l i kl i k l 同济大学 陈义 沈云中 2 1 相位差分 SD 则卫星 i 的单差观测方程为 同理 卫星 j 的单差观测方程为 1 1 22 2 2 11 1 1 tfNtt tfNtt kl i kl i kl i kl kl i kl i kl i kl 1 1 22 2 2 11 1 1 tfNtt tfNtt kl j kl j kl j kl kl j kl j kl j kl 同济大学 陈义 沈云中 2 1 相位差分 双差DD 则 由卫星i j 和测站k l构成的双差观测方程为 1 1 22 2 22 11 1 11 i kl j kl i kl j kl i kl j kl i kl j kl i kl j kl i kl j kl NNtttt NNtttt i j kl 同济大学 陈义 沈云中 2 1 相位差分 DD 或表示为 式中 引入算子 则 ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl Ntt Ntt 2 2 2 1 1 1 1 1 i k j k i l j l i kl j kl ij kl i k j k i l j l ij kl i k j k i l j l ij kl i k j k i l j l ij kl NNNNN ttttt ttttt 同济大学 陈义 沈云中 2 1 相位差分 三差TD 在t1和t2时刻的双差观测方程 ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl Ntt Ntt Ntt Ntt 22 2 22 12 1 21 21 2 12 11 1 11 1 1 1 1 同济大学 陈义 沈云中 2 1 相位差分 TD 再对时间t1和t2时刻的观测值差分 得三差观测方程 1 1 12 2 1222 12 1 1121 tttt tttt ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl ij kl 1 1 12 2 122 12 1 121 tt tt ij kl ij kl ij kl ij kl 也可表示为 同济大学 陈义 沈云中 2 2 相位差分的相关性 SD 原始相位观测值在数学上可以认为是不相关的 即假 设 则两个测站对两颗星的单差观测值为 或表示为 则单差的方差 协方差阵为 I 2 cov ttt ttt j k j l j kl i k i l i kl CSD t t SD j kl i kl 1100 0011 C t t t t j l j k i l i k TTT CCICCCCSD 22 cov cov ICC T 2 10 01 2 ISD 2 2 cov 同济大学 陈义 沈云中 2 2 相位差分的相关性 DD 对于双差 有 矩阵形式 则双差的方差 协方差阵为 相应的权阵为 ttt ttt i lm k lm ik lm i lm j lm ij lm SDCDD t t DD ik lm ij lm 101 011 C t t t SD k lm j lm i lm 21 12 22 cov cov 22 TT CCCSDCDD 21 12 3 1 2 1 cov 2 1 DDtP 同济大学 陈义 沈云中 2 2 相位差分的相关性 DD 一般情况下 双差的相关阵为 例 4个双差的权矩阵 对于连续的观测 双差的权矩阵可表示为 DD DD DD DD DD n n n n n tP 111 1 11 1 11 1 11 1 1 2 1 2 4111 1411 1141 1114 5 1 2 1 2 tP 321 tPtPtPdiagtP 10001 01001 00101 00011 C 2111 1211 1121 1112 T CC 同济大学 陈义 沈云中 2 2 相位差分的相关性 TD 三差的相关性 三差观测值如下 其中 112212 ttttt j AB k AB j AB k AB jk AB 112212 ttttt j AB l AB j AB l AB jl AB SDCTD 12 12 t t TD jl AB jk AB 101101 011011 C 2 2 2 1 1 1 t t t t t t SD l AB k AB j AB l AB k AB j AB TT CCCSDCTD 2 2 cov cov 42 24 2 cov 2 TD 同济大学 陈义 沈云中 2 2 相位差分的相关性 5 常见的几种三差组合的相关性如下 1 4 1 0 11 0 10 0 0TDjl t23 4 10 0 0 1 1 01 1 0TDjk t12 2 4 1 1 01 1 00 0 0TDjk t23 4 20 0 0 1 1 01 1 0TDjk t12 2 40 0 0 1 0 11 0 1TDjl t12 4 20 0 01 1 01 1 0TDjk t12 CCTj k lj k lj k l卫星 t3t2t1历元 同济大学 陈义 沈云中 2 3 静态相对定位 两个站同时观测相同的卫星 可组成单差 双差 三 差观测值 相应的观测历元数和卫星数为 nt nj 对 于单差方程有 1 tfNtt AB jj AB j AB j AB 1 3 tjtj nnnn 1 2 j j t n n n 同济大学 陈义 沈云中 2 3 静态相对定位 2 对于双差方程有 对于三差方程有 jk AB jk AB jk AB Ntt 1 1 3 1 jtj nnn 1 2 j j t n n n 1 1212 tt jk AB jk AB 3 1 1 tj nn 1 2 j j t n n n 同济大学 陈义 沈云中 2 3 静态相对定位 3 相对定位的数学模型 相对定位一般选用相位观测值 即选 相位的双差观测值 jk AB jk AB jk AB Ntt ttttt j A k A j B k B jk AB A j A j A A j A j A A j A j Aj A A k A k A A k A k A A k A k A k A B j B j B B j B j B B j B j Bj B B k B k B B k B k B B k B k B k B jk AB Z t tZZ Y t tYY X t tXX t Z t tZZ Y t tYY X t tXX t Z t tZZ Y t tYY X t tXX t Z t tZZ Y t tYY X t tXX tt 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 同济大学 陈义 沈云中 2 3 静态相对定位 4 则线性化后的观测方程为 jk ABB jk ZB jk YB jk X A jk ZA jk YA jk X jk AB NZtaYtaXta ZtaYtaXtatl BBB AAA 其中 0000 ttttttl j A k A j B k B jk AB jk AB 0 0 0 0 t tXX t tXX ta j A j A k A k A jk XA 0 0 0 0 t tYY t tYY ta j A j A k A k A jk YA 0 0 0 0 t tZZ t tZZ ta j A j A k A k A jk ZA 0 0 0 0 t tXX t tXX ta j B j B k B k B jk XB 0 0 0 0 t tYY t tYY ta j B j B k B k B jk YB 0 0 0 0 t tZZ t tZZ ta j B j B k B k Bjk ZB 同济大学 陈义 沈云中 2 3 静态相对定位 4 通常有一点为已知点 如A 则 0 AAA ZYX 00 ttttttl j A k A j B k B jk AB jk AB jk ABB jk ZB jk YB jk X jk AB NZtaYtaXtatl BBB 则观测方程可简化为 同济大学 陈义 沈云中 2 3 静态相对定位 5 对于四颗卫星j k l m 两个历元t1 t2 可得 2 2 2 1 1 1 tl tl tl tl tl tl l jm AB jl AB jk AB jm AB jl AB jk AB jm AB jl AB jk AB B B B N N N Z Y X x 00 00 00 00 00 00 222 222 222 111 111 111 tatata tatata tatata tatata tatata tatata A jm Z jm Y jm X jl Z jl Y jl X jk Z jk Y jk X jm Z jm Y jm X jl Z jl Y jl X jk Z jk Y jk X BBB BBB BBB BBB BBB BBB 同济大学 陈义 沈云中 三 双频观测数据的线性组合 1 Ionosphere Free Linear Combination L3 2 Geometry Free Linear Combination L4 i k I f ff PPP 2 2 2 1 2 2 214 i k i k i k nnI f ff LLL 2211 2 2 2 2 2 1 214 21 3 2 2 2 1 2211 2 2 21 2 1 2 2 2 1 3 2 2 21 2 1 2 2 2 1 3 1 1 ff c ff nfnf cccLfLf ff L ccPfPf ff P i k i k i k i k i k i k i k i k 同济大学 陈义 沈云中 三 双频观测数据的线性组合 2 3 Wide Lane Linear Combination L5 4 Melbourne W bbena Linear Combination L6 21 5 215 2 1 21 2211 5 2 1 21 2211 5 ff c nnccI f f ff LfLf L ccI f f ff PfPf P i k i k i k i k i k i k i k i k i k i k 1 1 2211 21 2211 21 6 PfPf ff LfLf ff L 同济大学 陈义 沈云中 四 载波相位线性组合的因子和误差 设载波相位的线性组合可用下列一般式子表示为 其中 则相位组合的噪声为 21 LLLLC 21 nn LC 1 n 2 n 1 1 L112 2 1 1 2 2LLL f f 2 2 2 2 1 2 1 f f LLLC 同济大学 陈义 沈云中 四 载波相位线性组合的因子和误差 2 则在Ionosphere Free Linear Combination L3 中 在Geometry Free Linear Combination L4中 在Wide Lane Linear Combination L5中 2 2 2 1 2 1 ff f 2 2 2 1 2 2 ff f 1 1 21 1 ff f 21 2 ff f 同济大学 陈义 沈云中 四 载波相位线性组合的因子和误差 3 0 00 786cmM WL6 1 35 786cm宽巷L5 0 61 4 窄巷L4 0 03 011cm消除电离层L3 1 61 024cm原始观测值L2 1 01 019cm原始观测值L1 电离层影响噪声波长描述线性组合 同济大学 陈义 沈云中 2 4 动态相对定位 一台仪器安置在已知点 固定不动 另外 一台仪器安置在未知点 同样可组成单差 双 差等观测值 考虑点B到卫星j得几何距离 静态 动态 222 B j B j B jj B YtYYtYXtXt 22