量子力学chapter five-1.ppt

第五章微扰理论 返回 一 近似方法的重要性 前几章介绍了量子力学的基本理论 使用这些理论解决了一些简单问题 如 1 一维无限深势阱问题 2 线性谐振子问题 3 势垒贯穿问题 4 氢原子问题 这些问题都给出了问题的精确解析解 然而 对于大量的实际物理问题 Schrodinger方程能有精确解的情况很少 通常体系的Hamilton量是比较复杂的 往往不能精确求解 因此 在处理复杂的实际问题时 量子力学求问题近似解的方法 简称近似方法 就显得特别重要 1引言 返回 二 近似方法的出发点 近似方法通常是从简单问题的精确解 解析解 出发 来求较复杂问题的近似 解析 解 三 近似解问题分为两类 1 体系Hamilton量不是时间的显函数 定态问题 1 定态微扰论 2 变分法 2 体系Hamilton量显含时间 状态之间的跃迁问题 1 与时间t有关的微扰理论 2 常微扰 2非简并定态微扰理论 返回 微扰法不是量子力学所特有的方法 在处理天体运行的天体物理学中 计算行星运行轨道时 就是使用微扰方法 计算中需要考虑其他行星影响的二级效应 例如 地球受万有引力作用绕太阳转动 可是由于其它行星的影响 其轨道需要予以修正 在这种情况下 计算所使用的方法是 首先把太阳和地球作为二体系统 求出其轨道 然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化 可精确求解的体系叫做未微扰体系 待求解的体系叫做微扰体系 假设体系Hamilton量不显含时间 而且可分为两部分 一 微扰体系方程 H 0 所描写的体系是可以精确求解的 其本征值En 0 本征矢 n 0 满足如下本征方程 另一部分H 是很小的 很小的物理意义将在下面讨论 可以看作加于H 0 上的微小扰动 现在的问题是如何求解微扰后Hamilton量H的本征值和本征矢 即如何求解整个体系的Schrodinger方程 当H 0时 n n 0 En En 0 当H 0时 引入微扰 使体系能级发生移动 由En 0 En 状态由 n 0 n 为了明显表示出微扰的微小程度 将其写为 其中 是很小的实数 表征微扰程度的参量 因为En n 都与微扰有关 可以把它们看成是 的函数而将其展开成 的幂级数 其中En 0 En 1 2En 2 分别是能量的0级近似 能量的一级修正和二级修正等 而 n 0 n 1 2 n 2 分别是状态矢量0级近似 一级修正和二级修正等 代入Schrodinger方程得 乘开得 根据等式两边 同幂次的系数应该相等 可得到如下一系列方程式 整理后得 上面的第一式就是H 0 的本征方程 第二 三式分别是 n 1 和 n 2 所满足的方程 由此可解得能量和态矢的第一 二级修正 现在我们借助于未微扰体系的态矢 n 0 和本征能量En 0 来导出扰动后的态矢 n 和能量En的表达式 1 能量一级修正 En 1 根据力学量本征矢的完备性假定 H 0 的本征矢 n 0 是完备的 任何态矢量都可按其展开 n 1 也不例外 因此我们可以将态矢的一级修正展开为 akn 1 代回前面的第二式并计及第一式得 左乘 m 0 二 态矢和能量的一级修正 考虑到本征基矢的正交归一性 考虑两种情况 1 m n 2 m n 准确到一阶微扰的体系能量 其中能量的一级修正等于微扰Hamilton量在0级态矢中的平均值 2 态矢的一级修正 n 1 为了求出体系态矢的一级修正 我们先利用扰动态矢 n 的归一化条件证明上式展开系数中ann 1 0 可以取为0 基于 n 的归一化条件并考虑上面的展开式 证 由于归一 所以 ann 1 的实部为0 ann 1 是一个纯虚数 故可令ann 1 i 为实 三 能量的二阶修正 上式结果表明 展开式中 ann 1 n 0 项的存在只不过是使整个态矢量 n 增加了一个相因子 这是无关紧要的 所以我们可取 0 即ann 1 0 这样一来 与求态矢的一阶修正一样 将 n 2 按 n 0 展开 与 n 1 展开式一起代入关于 2的第三式 左乘态矢 m 0 1 当m n时 在推导中使用了微扰矩阵的厄密性 正交归一性 2 当m n时 能量的二级修正 在计及二阶修正后 扰动体系能量本征值由下式给出 总结上述 在非简并情况下 受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出 欲使二式有意义 则要求二级数收敛 由于不知道级数的一般项 无法判断级数的收敛性 我们只能要求级数已知项中 后项远小于前项 由此我们得到微扰理论适用条件是 这就是本节开始时提到的关于H 很小的明确表示式 当这一条件被满足时 由上式计算得到的一级修正通常可给出相当精确的结果 四 微扰理论适用条件 微扰适用条件表明 2 En 0 Ek 0 要大 即能级间距要宽 例如 在库仑场中 体系能量 能级 与量子数n2成反比 即En Z2e2 2 2n2 n 1 2 3 由上式可见 当n大时 能级间距变小 因此微扰理论不适用于计算高能级 n大 的修正 而只适用于计算低能级 n小 的修正 1 H kn 要小 即微扰矩阵元要小 表明扰动态矢 n 可以看成是未扰动态矢 k 0 的线性叠加 2 展开系数H kn En 0 Ek 0 表明第k个未扰动态矢 k 0 对第n个扰动态矢 n 的贡献有多大 展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔 所以能量最接近的态 k 0 混合的也越强 因此态矢一阶修正无须计算无限多项 3 由En En 0 Hnn可知 扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En 0 加上微扰Hamilton量H 在未微扰态 n 0 中的平均值组成 该值可能是正或负 引起原来能级上移或下移 4 对满足适用条件 微扰的问题 通常只求一阶微扰其精度就足够了 如果一级能量修正H nn 0就需要求二级修正 态矢求到一级修正即可 5 在推导微扰理论的过程中 我们引入了小量 令 H H 1 只是为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按 的幂次分出各阶修正态矢所满足的方程 仅此而已 一旦得到了各阶方程后 就可不用再明显写出 把H 1 理解为H 即可 因此在以后讨论中 就不再明确写出这一小量 1 在一阶近似下 五 讨论 例1 一电荷为e的线性谐振子 受恒定弱电场 作用 电场沿x正向 用微扰法求体系的定态能量和波函数 解 1 电谐振子Hamilton量 将Hamilton量分成H0 H 两部分 在弱电场下 上式最后一项很小 可看成微扰 2 写出H0的本征值和本征函数E 0 n 0 3 计算En 1 上式积分等于0是因为被积函数为奇函数所致 六 实例 4 计算能量二级修正 欲计算能量二级修正 首先应计算H kn矩阵元 利用线性谐振子本征函数的递推公式 对谐振子有 En 0 En 1 0 En 0 En 1 0 由此式可知 能级移动与n无关 即与扰动前振子的状态无关 6 讨论 1 电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元 计算二级修正 代入能量二级修正公式 2 电谐振子的精确解 实际上这个问题是可以精确求解的 只要我们将体系Hamilton量作以下整理 其中x x e 2 可见 体系仍是一个线性谐振子 它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低 e2 2 2 2 而平衡点向右移动了 e 2 距离 由于势场不再具有空间反射对称性 所以波函数没有确定的宇称 这一点可以从下式扰动后的波函数 n已变成 n 0 n 1 0 n 1 0 的叠加看出 例2 设Hamilton量的矩阵形式为 1 设c 1 应用微扰论求H本征值到二级近似 2 求H的精确本征值 3 在怎样条件下 上面二结果一致 解 1 c 1 可取0级和微扰Hamilton量分别为 H0是对角矩阵 是HamiltonH0在自身表象中的形式 所以能量的0级近似为 E1 0 1E2 0 3E3 0 2 由非简并微扰公式 得能量一级修正 能量二级修正为 准确到二级近似的能量本征值为 设H的本征值是E 由久期方程可解得 解得 3 将准确解按c 1 展开 比较 1 和 2 之解 可知 微扰论二级近似结果与精确解展开式不计c4及以后高阶项的结果相同 2 精确解 一 简并微扰理论 二 实例 三 讨论 3简并微扰理论 返回 假设En 0 是简并的 那末属于H 0 的本征值En 0 有k个归一化本征函数 满足本征方程 于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的0级近似 所以在简并情况下 首先要解决的问题是如何选取0级近似波函数的问题 然后才是求能量和波函数的各级修正 0级近似波函数肯定应从这k个中挑选 而它应满足上节按 幂次分类得到的方程 共轭方程 一 简并微扰理论 根据这个条件 我们选取0级近似波函数 n 0 的最好方法是将其表示成k个 n 的线性组合 因为反正0级近似波函数要在 n 1 2 k 中挑选 n 0 已是正交归一化 系数c 由 一次幂方程定出 左乘 n 得 得 上式是以展开系数c 为未知数的齐次线性方程组 它有不含为零解的条件是系数行列式为零 即 解此久期方程可得能量的一级修正En 1 的k个根 En 1 1 2 k 因为En En 0 E 1 n 所以 若这k个根都不相等 那末一级微扰就可以将k度简并完全消除 若En 1 有几个重根 则表明简并只是部分消除 必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来 为了确定能量En 所对应的0级近似波函数 可以把E 1 n 之值代入线性方程组从而解得一组c 1 2 k 系数 将该组系数代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数 为了能表示出c 是对应与第 个能量一级修正En 1 的一组系数 我们在其上加上角标 而改写成c 这样一来 线性方程组就改写成 例1 氢原子一级Stark效应 1 Stark效应 氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为Stark效应 我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用 造成第n个能级有n2度简并 但是当加入外电场后 由于势场对称性受到破坏 能级发生分裂 简并部分被消除 Stark效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释 2 外电场下氢原子Hamilton量 取外电场沿z正向 通常外电场强度比原子内部电场强度小得多 例如 强电场 107伏 米 而原子内部电场 1011伏 米 二者相差4个量级 所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理 二 实例 3 H0的本征值和本征函数 下面我们只讨论n 2的情况 这时简并度n2 4 属于该能级的4个简并态是 4 求H 在各态中的矩阵元 由简并微扰理论知 求解久期方程 须先计算出微扰Hamilton量H 在以上各态的矩阵元 我们碰到角积分需要利用如下公式 于是 欲使上式不为0 由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件 仅当 1 m 0时 H 的矩阵元才不为0 因此矩阵元中只有H 12 H 21不等于0 因为 所以 5 能量一级修正 将H 的矩阵元代入久期方程 解得4个根 由此可见 在外场作用下 原来4度简并的能级E2 0 在一级修正下 被分裂成3条能级 简并部分消除 当跃迁发生时 原来的一条谱线就变成了3条谱线 其频率一条与原来相同 另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率 6 求0级近似波函数 分别将E2 1 的4个值代入方程组 得四元一次线性方程组 E2 1 E21 1 3e a0代入上面方程 得 所以相应于能级E2 0 3e a0的0级近似波函数是 E2 1 E22 1 3e a0代入上面方程 得 所以相应于能级E 0 2 3e a0的0级近似波函数是 E2 1 E23 1 E24 1 0 代入上面方程 得 因此相应与E2 0 的0级近似波函数可以按如下方式构成 我们不妨仍取原来的0级波函数 即令 7 讨论 上述结果表明 若氢原子处于0级近似态 1 0 2 0 3 0 4 0 那末 氢原子就好象具有了大小为3ea0的永久电偶极矩一般 对于处在 1 0 2 0 态的氢原子 其电矩取向分别与电场方向平行和反平行 而对于处在 3 0 4 0 态的氢原子