量子力学chapter3.ppt

第3章力学量用算符表示 3 1算符的运算规则 3 2厄米算符的本征值与本征函数 3 3共同本征函数 3 4连续谱本征函数的 归一化 一 算符定义 二 算符的一般特性 1算符的运算规则 代表对波函数进行某种运算或变换的符号 u v表示 把函数u变成v 就是这种变换的算符 1 du dx v d dx就是算符 其作用是对函数u微商 故称为微商算符 2 xu v x也是算符 它对u作用是使u变成v 由于算符只是一种运算符号 所以它单独存在是没有意义的 仅当它作用于波函数上 对波函数做相应的运算才有意义 例如 一 算符定义 6 逆算符 7 算符函数 8 转置算符 9 复共轭算符与厄米共轭算符 10 厄米算符 1 线性算符 2 算符之和 3 算符之积 4 对易关系 5 对易括号 二 算符的一般特性 1 线性算符 c1 1 c2 2 c1 1 c2 2其中c1 c2是任意复常数 1 1是任意两个波函数 满足如下运算规律的算符 称为线性算符 例如 开方算符 取复共轭就不是线性算符 注意 描写可观测量的力学量算符都是线性算符 这是态叠加原理的反映 2 算符之和 若两个算符 对体系的任何波函数 有 则 称为算符之和 显然 算符求和满足交换率和结合率 例如 体系Hamilton算符 注意 算符运算没有相减 因为减可用加来代替 很易证明线性算符之和仍为线性算符 3 算符之积 若 则 其中 是任意波函数 一般来说算符之积不满足交换律 即 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处 4 对易关系 若 则称 与 不对易 显然二者结果不相等 所以 对易关系 量子力学中最基本的对易关系 若算符满足 则称 和 反对易 写成通式 但是坐标算符与其非共轭动量对易 各动量之间相互对易 注意 当 与 对易 与 对易 不能推知 与 对易与否 例如 5 对易括号 为了表述简洁 运算便利和研究量子力学与经典力学的关系 人们定义了对易括号 这样一来 坐标和动量的对易关系可改写成如下形式 不难证明对易括号满足如下对易关系 1 2 3 4 0上面的第四式称为Jacobi恒等式 角动量算符的形式 I 直角坐标系 经典力学中 若动量为p 相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是 量子力学角动量算符为 由于角动量平方算符中含有关于x y z偏导数的交叉项 所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量 难于求解 为此我们采用球坐标较为方便 角动量平方算符 直角坐标与球坐标之间的变换关系 这表明 r r x y z x x r II 球坐标 将 1 式两边分别对xyz求偏导数得 对于任意函数f r 其中 r 都是x y z的函数 则有 将 2 式两边分别对xyz求偏导数得 将 3 式两边分别对xyz求偏导数得 将上面结果代回原式得 则角动量算符在球坐标中的表达式为 6 逆算符 定义 设 能够唯一的解出 则可定义算符 之逆 1为 1 并不是所有算符都存在逆算符 例如投影算符就不存在逆 2 性质I 若算符 之逆 1存在 则 1 1 I 1 0证 1 1 1 因为 是任意函数 所以 1 I成立 同理 1 I亦成立 3 性质II 若 均存在逆算符 则 1 1 1 例如 设给定一函数F x 其各阶导数均存在 其幂级数展开收敛 则可定义算符 的函数F 为 7 算符函数 利用波函数标准条件 当 x 时 0 由于 是任意波函数 所以 同理可证 8 转置算符 9 复共轭算符与厄米共轭算符 算符 之厄米共轭算符 定义 算符 的复共轭算符 就是把 表达式中的所有量换成复共轭 例如 坐标表象中 注意 算符的表达式与表象有关 由此可得 转置算符的定义 厄米共轭算符亦可写成 可以证明 10 厄米算符 1 定义 满足下列关系的算符称为厄米算符 2 性质 性质I 两个厄米算符之和仍是厄米算符 即若 则 性质II 两个厄米算符之积一般不是厄米算符 除非二算符对易 因为 仅当 0成立时 才成立 定理I 体系任何状态 下 其厄密算符的平均值必为实数 证 逆定理 在任何状态下 平均值均为实数的算符必为厄密算符 根据假定在任意态下有 证 取 1 c 2 其中 1 2也是任意态的波函数 c是任意常数 因为对任意波函数 左式 右式 所以左右两边头两项相等相消 有 令c 1 得 令c i 得 二式相加得 二式相减得 所得二式正是厄密算符的定义式 故逆定理成立 实验上的可观测量当然要求在任何状态下平均值都是实数 因此相应的算符必须是厄密算符 1 涨落 厄密算符平方的平均值一定大于等于零 于是有 可把常数记为Fn 把状态记为 n 于是得 证明 3 2厄米算符的本征值与本征函数 若体系处于一种特殊状态 在此状态下测量F所得结果是唯一确定的 即 则称这种状态为力学量F的本征态 2 力学量的本征方程 定理I 厄密算符的本征值必为实 当体系处于F的本征态 n时 则每次测量结果都是Fn 由本征方程可以看出 在 n 设已归一 态下 证 定理II 厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 证 设 取复共轭 并注意到Fm为实 两边右乘 n后积分 二式相减得 若Fm Fn 则必有 证毕 简并情况 上面证明厄密算符本征函数的正交性时 曾假设这些本征函数属于不同本征值 即非简并情况 如果F的本征值Fn是f度简并的 则对应Fn有f个本征函数 n1 n2 nf 满足本征方程 一般说来 这些函数并不一定正交 证明 证明分如下两步进行 1 nj是本征值Fn的本征函数 2 满足正交归一条件的f个新函数 nj可以组成 3 3共同本征函数 3 3 1不确定度关系的严格推导3 3 2 l2 lz 的共同本征态球谐函数 3 3 1不确定度关系的严格推导 1 引 由上节讨论表明 两力学量算符对易则同时有确定值 若不对易 一般来说 不存在共同本征函数 不同时具有确定值 问题 两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度 即不确定度是多少 不确定度 测量值Fn与平均值的偏差的大小 2 测不准关系的严格推导 为方便 引入厄米算符 两个不对易算符均方偏差关系式 不确定度关系 不妨取 有 3 3 2 l2 lz 的共同本征态 球谐函数 由于角动量的三个分量不对易 一般无共同本征态 但由于 可以找出与任何一个分量的共同本征态 的本征函数可以同时也取为的本征态 L2的本征值方程可写为 为使Y 在 变化的整个区域 0 内都是有限的 则必须满足 1 其中 0 1 2 其中Y 是L2属于本征值 2的本征函数 此方程就是大家熟悉的球谐函数方程 其结论是 共同本征函数表示为 称为球谐函数 其正交归一条件为 由于量子数 表征了角动量的大小 所以称为角量子数 m称为磁量子数 可知 对应一个 值 m取值为0 1 2 3 共 2 1 个值 因此当 确定后 尚有 2 1 个量子状态不确定 换言之 对应一个 值有 2 1 个量子状态 这种现象称为简并 的简并度是 2 1 度 满足 3 4连续谱本征函数的 归一化 3 4 1连续谱本征函数是不能 归一化 的 一维粒子的本征值为p的本征函数 平面波 为 即是不能归一化的 3 4 2 函数 函数定义为 或等价表示为 对于在领域连续的任何函数f x 3 4 5 6 7 若取动量本征态为 函数也可表为 对于分段连续函数f x 利用 函数的性质 可以看出是坐标的本征态 记作 用 函数来表述 归一化 利用 函数的性质 3 4 3箱归一化 据上所述 具有连续谱的本征函数如 动量的本征函数是不能归一化为一的 而只能归一化为 函数 但是 如果我们加上适当的边界条件 则可以用以前的归一化方法来归一 这种方法称为箱归一化 思路 先让粒子局限于有限空间中运动 最后让 此时为保证动量算符为厄米算符 要求波函数满足周期性边界条件 在箱子边界的对应点A A 上加上其波函数相等的条件 此边界条件称为周期性边界条件 这表明 px只能取分立值 换言之 加上周期性边界条件后 连续谱变成了分立谱 这时归一化系数c可由归一化条件来确定 相空间一个体积元有一个量子态 而 函数可如下构成 讨论 1 箱归一化实际上相当于如图所示情况 2 由px 2nx L py 2ny L pz 2nz L 可以看出 相邻两本征值的间隔 p 2 L与L成反比 当L选的足够大时 本征值间隔可任意小 当L 时 本征值变成为连续谱 3 从这里可以看出 只有分立谱才能归一化为一 连续谱归一化为 函数 4 p r exp iEt 就是自由粒子波函数 在它所描写的状态中 粒子动量有确定值 该确定值就是动量算符在这个态中的本征值 5 周期性边界条件是动量算符厄米性的要求 但是还有两点问题没有搞清楚 1 测得每个本征值 n的几率是多少 也就是说 哪些本征值能够测到 对应几率是多少 哪些测不到 几率为零 2 是否会出现各次测量都得到同一个本征值 即有确定值 要解决上述问题 我们还得从讨论本征函数的另一重要性质入手 1 力学量算符本征函数组成完备系 1 函数的完备性 例如 动量本征函数组成完备系 3 4 4力学量完全集 2 力学量算符的本征函数组成完备系 I 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成完备系 则任意函数 x 可按 n x 展开 II 除上面提到的动量本征函数外 人们已经证明了一些力学量算符的本征函数也构成完备系 如下表所示 但是对于任何一个力学量算符 它的本征函数是否一定完备并无一般证明 这将涉及到一个颇为复杂的数学问题 不管怎样 由上述两点分析 量子力学认为 一切力学量算符的本征函数都组成完备系 2 力学量的可能值和相应几率 现在我们再来讨论在一般状态 x 中测量力学量F 将会得到哪些值 即测量的可能值及其每一可能值对应的几率 根据量子力学基本假定III 测力学量F得到的可能值必是力学量算符F的本征值 nn 1 2 之一 该本征值由本征方程确定 而每一本征值 n各以一定几率出现 那末这些几率究竟是多少呢 下面我们讨论这个问题 由于 n x 组成完备系 所以体系任一状态 x 可按其展开 展开系数cn与x无关 讨论 与波函数 x 按动量本征函数展开式比较二者完全相同 我们知道 x 是坐标空间的波函数 c p 是动量空间的波函数 则 cn 则是F空间的波函数 三者完全等价 证明 当 x 已归一时 c p 也是归一的 同样cn也是归一的 证 所以 cn 2具有几率的意义 cn称为几率振幅 我们知道 x 2表示在x点找到粒子的几率密度 c p 2表示粒子具有动量p的几率 那末同样 cn 2则表示F取 n的几率 量子力学基本假定IV 综上所述 量子力学作如下假定 任何力学量算符F的本征函数 n x 组成正交归一完备系 在任意已归一态 x 中测量力学量F得到本征值 n的几率等于 x 按 n x 展开式 中对应本征函数 n x 前的系数cn的绝对值平方 3 力学量有确定值的条件 推论 当体系处于 x 态时 测量力学量F具有确定值的充要条件是 x 必须是算符F的一个本征态 证 1 必要性 若F具有确定值 则 x 必为F的本征态 确定值的意思就是每次测量都为 根据基本假定III 测量值必为本征值之一 令 m是F的一个本征值 满足本征方程 又根据基本假定IV n x 组成完备系 且测得可能值是 1 2 m 相应几率是 c1 2 c2 2 cm 2 现在只测得 m 所以 cm 2 1 c1 2 c2 2 0 除 cm 2外 于是得 x m x 即 x 是算符F的一个本征态 2 充分性 若 x 是F的一个本征态 即 x m x 则F具有确定值 根据基本假定IV 力学量算符F的本征函数组成完备系 所以 测得 n的几率是 cn 2 因为 表明 测量F得 m的几率为1 因而有确定值 量子力学的力学量用相应的线性厄米算符来表达 其含义包括下列几个方面 一 实验上观测A的可能取值 必为算符的某一本征值 二 在量子态之下 力学量A的平均值由下式确定 三 力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反映出来 由角动量对易关系 代入平均值公式 同理 例 证明在LZ本征态Ylm下 0 角动量的测不准关系 例1 利用测不准关系证明 在Lz本征态Ylm下 Lx Ly 0 证 由于在Lz本征态Ylm中 测量力学量Lz有确定值 所以Lz均方偏差必为