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走进数学思维 2009 4于丹阳 引入 关于教学研究的几点建议 建议 1 加强问题意识 问题应当被看成教师教学研究的直接出发点 问题从何而来 立足教学实践 例一 三角形稳定性 的教学 仲海峰 出发点 教学中所遇到的问题 1 老师 我发现有的三角形没有稳定性 2 这个四边形车架是铁的 所以它也有稳定性 一个普遍的模式 问题 分析 学习 思考 结论 新的实践 例二 认识角 的课后反思 徐青松 出发点 教学研究中的不同观点 1 对角的直观认识到底应该如何把握 观点1 要大大加强触觉 摸 的认识 充分感受到边是平的 滑的 顶点处是尖尖的 刺刺的等 观点2 开门见山的谈谈 摸摸角 简洁 明了 2 抽象角与生活角的差别是否需要让学生想象 体验 观点1 作为二年级的学生 以形象思维为主 让他们想象角 超出了学生的认知水平 观点2 作为二年级的学生 抽象思维正在迅猛发展 以想象来体验角的两边无限长 可以接受 建议 2 努力做到 小中见大 既应切实立足于教学实践 同时又应指明问题的普遍意义 例一 三角形稳定性 的教学 应当如何去认识 数学的生活化 问题 生活数学 与 学校数学 之间存在着本质的区别 因此 数学教学的方向不应是 生活化 由数学向生活的简单化归 而应是 形式化 借助生活 实现由生活向数学的有效过渡 例二 认识角 的课后反思 动手实践与教师的必要引导 问题指向性要明确 在新课程理念下很多教师为了不限制学生的思维 创设探索的情境 但设置的问题往往很大很散 这样反而矫枉过正 问题指向明确显得组织严密 引导就富有成效 学习内容有多大价值与课堂用时绝对成正比 这是很朴素的道理 相关的提法 言之有物 言之有理 虚实并重 小中见大 建议 3 保持对于热点问题的必要关注 增强读者意识 插入 一段评论 新课程实施以来 广大一线教师在实践中不断遇到新问题 如 算法多样化 创设情境 小组合作 等 随着课程改革的深入 老师们对这些问题的认识逐步趋于清晰并付诸实践 而近两年来 解决问题 的教学成了教师们最为关注的话题 小学数学教育 编辑部 2008年第七期 进入主题 走进数学思维 数学思维 一个持续的热点与难点 现状与问题 数学思想方法 想说爱你不容易 湖南教育 2008 第十一期 第一 普遍的思想障碍 由于小学数学的内容较为简单 因此就不可能很好体现数学思维 一些相关的看法 小学数学不必提什么数学思想吧 那有什么意思呀 真的搞不懂 你们的学生个个是天才吗 对学生没有必要说这个事吧 数学思想是很抽象的 小学生没有一定的数学知识怎么能体验和理解那个东西 数学思想方法 呀 对小学生谈数学思想是有点虚的感觉呀 和小学生谈什么所谓的数学思想有一点拨苗助长的味道 第二 实践中的问题 教学内容贫乏 我们还可经常看到 简单移植 随意拔高 等不恰当的作法 相应的分析 一谈到具体的教学案例 老师们往往首先想到的是圆 包括平行四边形 梯形等平面图形 的面积公式的推导 课程改革以来 不同版本的 解决问题的策略 数学广角 等内容因为显性地体现数学思想方法 又成为各种公开课 赛课的热点题材 除此以外 似乎其它内容再无思想方法可言 应有的认识 数学思维并非高不可攀 而是普遍地渗透于小学数学的具体知识内容之中 这也就是说 即使是一些十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质 我们并应用思维方法的分析带动具体数学知识内容的教学 当务之急 应当针对小学数学的实际情况 包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作 特别是 第一 更为清楚地去界定与小学数学教学直接相关的各个数学思维形式与特殊性质 第二 很好去处理具体数学知识内容 包括知识与技能 的教学与数学思维的教学之间的关系 一 从数学抽象谈起 父 如果你有一个橘子 我再给你两个 你数数看一共有几个橘子 子 不知道 在学校里 我们都是用苹果数数的 从而不用橘子 译林 文摘版 数学最基本的特性 抽象性 甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征 第一是它的抽象性 抽象性在简单的计算中就已经表现出来 我们运用抽象的数字 却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来 我们在学校中学的是抽象的乘法表 总是数字的乘法表 而不是男孩的数目乘上苹果的数目 或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等 亚历山大洛夫 数学与现实 第一 数学抽象源于现实生活 包括具体的事物与现象 以及人们的运作 第二 数学抽象又高于现实 并是一种建构的活动 即包含了与现实世界在一定程度上的分离 分析与思考 数学 对学生来说 就是利用自己的生活经验对数学现象的一种 解读 转引自衡锋 错题 演绎的精彩 小学数学教学 2007年第十期 对照 学习主要是一个 顺应 的过程 也即如何对主体已有的认知框架作出必要的调整或重建 例三 这个学生缺的究竟是什么 楼文胜 问题到底出在哪儿 任课教师要求学生求解这样一个问题 52型拖拉机 一天耕地150亩 问12天耕地多少亩 一位学生是这样解题的 52 150 12 接下来的对话 告诉我 你为什么这么列式 老师 我错了 好的 告诉我 你认为正确的该怎么列式 除 怎么除 大的除以小的 为什么是除呢 老师 我又错了 你说 对的该是怎样呢 应该把它们加起来 启而不发 我们换一个题目 比如你每天吃两个大饼 5天吃几个大饼 老师 我早上不吃大饼的 那你吃什么 我经常吃粽子 好 那你每天吃两个粽子 5天吃几个粽子 老师 我一天根本吃不了两个粽子 那你能吃几个粽子 吃半个就可以了 好 那你每天吃半个 小数乘法没学 粽子 5天吃几个粽子 两个半 怎么算出来的 两天一个 5天两个半 结论之一 学会数学思维的首要涵义 学会数学抽象 模式化 数学 模式的科学 这就是指 数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征 而是一类事物或现象在量的方面的共同性质 例四 这能否算一堂真正的数学课 这是关于 问题解决 的一个教学实例 教师要求一群三年级的学生求解以下的问题 某女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子 问共有多少种不同的搭配方法 教师鼓励学生们用 实验 的方法去解决问题 学生拿出了笔和纸 开始在纸上实际地画出各种可能的搭配 结果表明 在大多数情况下学生都可凭借自身的努力 单独地或合作地 得出正确的解答 事后的思考 学生通过这一教学活动究竟学到了什么 特别是 这些学生能否被认为已经掌握了相应的数学知识 更多的问题 某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带 问共有多少种不同的搭配方法 有两个军官和三个士兵 现由一个军官和一个士兵组成巡逻队 问共有多少种不同的组成方式 某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子 问共有多少种不同的搭配方法 有三个军官和四个士兵 现由一个军官和一个士兵组成巡逻队 问共有多少种不同的组成方式 结论之二 帮助学生学会数学抽象的关键 应当超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式 去情境化 相关的论述 数学教学必定包括 去情景化 去个人化和去时间化 问题 如何才能帮助学生学会 去情境化 例五 找规律 黄爱华 胡爱民 师 在中国少年先锋队鼓号队的鼓号曲里 我们把第一个音唱做 咚 第二个音唱做 哒 第三个音唱做 啦 所以这个乐句就变成 咚哒啦 咚哒啦 咚哒啦 请想一想 第16个音符是什么 为了能让别人看得一清二白 请你在草稿本上用一种合适的方式表示出来 可以写一写 画一画 算一算 方法一 用图形表示 方法二 用数字表示 123 123 123 123 123 1 结论之三 模式化的重要手段之一 引入适当的图形或符号 从而实现与具体情境在一定程度上的分离 二 数学中的分类 课改以来的一个新增内容 相应的思考 究竟什么是数学中的分类 这与一般的分类又有什么不同 显然 这也直接关系到了究竟什么是数学课所应当具有的 数学味 例四 几何模块的分类 常见的组织方式 分析与思考 问题 我们是否应当同样地去肯定学生所提出的各种分类方法 包括按形状 颜色和材料等进行分类 有益的对照 自然数的认识 进一步的问题 数学中究竟又为什么要进行分类 例六 100以内加减法练习 34 42 76 37 17 54 69 15 54 59 17 76 91 15 76 83 29 54 师 刚才全体小朋友认认真真地做好了六道100以内的加减计算题 并且做得很对 现在我们再来仔细观察这六道题 如果我们把它们分成两类 你有什么好办法 为什么可以这样分 方法一 按照得数相同来分 方法二 按加法和减法来分 方法三 按不进位加法和不退位减法 以及进位加法和退位减法来分 方法四 把37 17 59 17分成一组 把34 42 69 15 91 15 83 29分成一组 因为前两者中都包括了17 方法五 把34 42 76分成一组 剩下的为一组 因为前者所涉及的都是偶数 教师的总结 教学中教师有意识地引导学生从不同的角度来分析问题 进行合理的分类 让学生通过相互的交流 从中感受到分类结果在不同标准下的多样性 感受到不同标准的分类有着不同的意义和作用 就能使学生的思维得到发散 使学生的不同思想方法得到充分有效的交流 但是 我们究竟为什么要进行分类 结论之四 分类应当具有明确的目的性 第一 归类 数学抽象的直接基础 第二 不同类别的区分 由简到繁 由特殊到一般地去开展研究 分类问题也需要优化 用数学家的眼光去看待世界 分析问题 解决问题 一个练习 制作正方体及长方体的折纸图样 展开图 问题 如何去判别一个六联方是不是正方体的展开图 正方体又一共有多少种不同的六联方展开图 冯振业 通过 数学化教学 进行教材研发及教师培训 小学数学 2008年第五期 例七 三角形的分类 究竟什么应是这一堂课的教学重点 是角的度量 还是分类的必要性与合理性 一个重要的思想 分类活动的科学性 一个相关的研究 数学家与初学者 学生 的比较 问题的不同分类 按问题的 表层结构 事实性内容与表述方式 与 深层结构 内在的数学结构 解题方法 学会数学地思维的又一重要内涵 由 表层结构 逐步深入到 深层结构 例八 水池问题 祝中录 学生在解决水池问题时 往往会认为水池一边开进水管 一边开出水管 不论经过多长时间都不会注满水池 在教学时教师可以不急于讲解 而是引导学生寻找生活中类似的实例 1 追及问题 客车每小时行40千米 小汽车每小时行50千米 现在客车在小汽车前25千米的地方 同时沿笔直的公路行驶 多长时间小汽车能追上客车 2 储蓄问题 爸爸每月工资420元 妈妈每月工资300元 每月平均支出450元 余下的钱存在银行 几个月后能买一台价格1350元的电视机 通过这些实例学生就容易弄明白只要进水量大于出水量 经过一段时间水池就一定能注满水 结论之五 学会数学思维的又一重要内涵 思维的必要优化 三 数学中的类比 数学思维的合理发展 由归类 到分类 到类比 联想 问题 究竟什么是类比 联想 在小学数学中我们又应如何去进行类比 联想 的教学 一个常见的说法 我们观察到两个或两类事物在许多属性上都相等 便推出它们在其它属性上也相同 这就是类比法 例九 必要的思考 一些实例 一元一次方程 一元二次方程与一元三次方程的比较 线段的度量与的角的度量 结论之六 什么是真正的类比 类比在数学中重要作用 就是通过两个不同对象的比较由已经获得的知识去引出新的猜测 成功应用类比联想的关键 求同存异 为了应用类比 我们不需要相关对象在所有方面都完全一样 而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的 这就是 求同 也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的 类似之处 存异 则是指新的猜测的产生并不是简单的重复 模仿 而是一种创造性的工作 特别是 在由已知事实去引出新的猜测时 我们必须注意分析两者之间所存在的差异 也即必须依据对象的具体情况作出适当的 调正 结论之七 相对于归类与分类而言 类比联想是一种更为高级的思维形式 教学中的关键 如何能够针对学生的认知发展水平去有针对性地去进行教学 例十 角的度量 教学中的常态 没有问题的 轻松课 新的思考 如何渗透一定的数学思维 我们又如何能够以思维方法来带动这一具体内容的教学 从类比的角度看 角的度量 类比的对象 线段的度量 关键 求同存异 一些共同点 由大小的比较到度量问题 度量单位的确定 度量工具的制造与使用 不同点 不同的度量对象 不同的度量单位 不同的度量方法 四 问题解决与数学思维 从 植树问题 谈开去 教学研究的一个持续热点 众所周知 植树问题 是一个经典的问题 长期备受众多专家 特级老师的青睐 曾经无数次被搬上 舞台 演绎出许多经典课例 郦丹 植树问题 与培养学生的数学思维 在本课的教学设计中 解题不是主要的教学目的 主要的任务是向学生渗透一种思想 吴荔丹 植树问题 教学设计与评析 小学数学教师 2008年No 1 设计上的一个重要思考是向学生渗透一种思想 一种在数学上和研究问题方面都很重要的思想 张锡忠 植树问题 课堂实录 小学数学 2008年No 2 另外一些共同点 任课教师通常特别重视关于 植树问题 的三种不同类型的区分 也即所谓的 两端都种 只种一端 与 两端都不种 就上述三个类型的区分而言 设计者又往往归结为 规律的发现 并普遍地采取了 学生独立探究 或分组探究 反馈交流 教师总结 这样的教学方法 第三 就相关的数学思想而言 有不少教师突出地强调了所谓的 化归思想 分析与思考 1 归类 与 分类 植树问题 事实上涉及到了两种不同的数学活动 1 以 植树问题 为原型引出普遍性的数学模式 然后再利用这一模式去解决各种新的问题 如路灯问题 锯树问题 爬楼问题等 2 对于所提到的每一个问题我们又都可以区分出三种不同的情况 这也就是所谓的 两端都种 只种一端 与 两端都不种 关键 究竟何者应当被看成这一教学活动的重点 什么又是这一教学活动的真正难点 分析与结论 如果学生未能清楚地认识到路灯问题 锯树问题 爬楼问题等都与植树问题有着相同的数学结构 也即可以被归结为同一个数学模式 对他们来说 这究竟属于 植树问题 中的哪个类型啊 这样的问题就是完全没有意义的 从而 模式的建构 就比 三种情况的区分 有着更大的重要性 在教学上我们也应对此予以更大的关注 教学中的相关现象 有些学生虽然会解决这一问题 但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接 这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律 张锡忠 植树问题 课堂实录 进一步的思考 如何能够超出 植树问题 并引出相应的普遍性模式 由 植树问题 过渡到 分隔问题 图形与符号符号的适当应用 一些实例 叶婉红 植树问题 教学实录与评析 小学数学教育 2008No 7 张锡忠 植树问题 课堂实录 小学数学 2008No 2 分析与思考 2 规律的 机械应用 与思维的灵活性 问题 我们在教学中是否应当对于 两端都种 只种一端 与 两端都不种 这样三种情况的区分予以特别的重视 并要求学生牢牢地记住相应的计算法则 加一 不加不减 减一 以致在面对新的类似问题时就能不假思索地直接加以应用 相关的思考 就 植树问题 而言 在现实中是否真的就只有 两端都种 只种一端 两端都不种 这样三种情况 进而 对于其它一些可能的情况我们又是否也应要求学生总结出相关类型 并牢牢地去记住相应的 规律 加二 减二 乘二 除二 分析与结论 将 三种情况 的区分以及相应的计算法则看成是一种 规律 并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用恐怕不很恰当 毋宁说 在此真正重要的应是 一一对应 这样一个数学思想 就 植树问题 进行分析 这也就是指 在此真正重要的是在 间隔 与 树 之间所存在的一一对应关系进而 所谓的 加一 减一 等法则又只是针对具体情况作出的适当变化 从而 在此真正需要的就不是 规律的应用 而是思维的灵活性 也即如何能够依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况 总结 对于 植树问题 的教学应当区分出这样两个不同的教学要求或教学环节 1 突出 分隔问题 即是如何能以 植树问题 为背景帮助学生建构相应的数学模式 2 明确引出 间隔数 与 所种树的棵数 这两者的关系 突出 一一对应 的思想 并以此为基础求解各种变化了的情况 对于 两端都种 等三种情况的区分不应过于强调 更不应将相应的计算法则看成重要的规律乃至要求学生牢牢记住从而就能不假思索地加以应用 五 数学思维的学习与教学 努力加强数学思维 数学方法论 的学习 两条主要的线索 1 问题解决 与 问题提出 2 概念的生成 分析与组织 数学思维学习的关键 不应求全 而应求用 也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习 学以致用 长期的努力方向 理论指导下的自觉实践 相关的思想 基础知识 不应求全 而应求联 基本技能 不应求全 而应求变 数学思维 不应求全 而应求用 一个练习 红花映绿叶 春 叶绿映花红 要求想出 红 花 映 绿 叶 分别代表什么数字 请尝试着以数学启发法为指导去求解这一问题 相应的解答为 21978 4 87912 当前应当特别注意的一个问题 防止简单的移植 集合与分类 函数与变化 极限与无限 例十一 除非它们都能站起来 这是发生在20世纪60年代的一个真实故事 当时 新数运动 作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中 其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造 由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置 因此 下述情况的出现就无足为奇了 在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲 我们今天学了 集合 父亲 老师是怎么教的 女儿 女教师首先让班上所有的男孩子站起来 然后告诉大家这就是男孩子的集合 其次 她又让所有的女孩子站起来 并说这是女孩子的集合 接下来 又是白人孩子的集合 黑人孩子的集合 最后 教师问全班 大家是否都懂了 她得到了肯定的答复 父 那么 我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合 迟疑了一会 女儿最终作出了这样的回答 不行 除非它们都能站起来 结论 应当更为清楚地去界定 就小学数学的各个学习阶段而言什么是相关的数学思维 应当积极从事数学思维的教学 这主要地又并非是指于专门性的思维教学 而应更加强调数学思想的渗透 也即用数学思想的分析指导 带动具体知识内容的教学 结论之八 用思维分析带动具体知识内容的教学的关键 方法论的重建 从而实现化神奇为平凡 化难为易 意义之一 使数学教学真正 讲活 讲懂 讲深 意义之二 使数学思维真正成为可以理解的 可以学到手的 和可以加以推广应用的 讲活 教师应当通过自己的教学活动向学生展现 活生生的 数学研究工作 而不是死的数学知识 讲懂 教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容 而不是囫囵吞枣 死记硬背 讲深 教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识 而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法 一些有益的实践与体会 显 与 隐 强调数学思想的渗透 并非是指在教学中我们只需重视具体的知识内容而完全不用去顾及数学思维 从而使后者始终处于 深藏不露 的局面 而是指我们不应用数学思维的分析去完全取代知识内容的教学 或是使两者处于完全割裂的状态 数学思想方法该露脸时就露脸 根据需要 对数学思想方法进行提炼 归纳和概括 蒋巧君 小学数学思想方法教学新探 小学数学教育 2007No 9 所谓不应 求全 也并非是指在 帮助学生学会数学地思维 这一方面根本不用设定任何具体的目标 而可 自由行事 便宜处置 恰恰相反 我们在这一方面也应有明确的目标与切实的落实措施 特别是 考虑到数学思维的学习必然是一个长期的过程 小学数学教学又存在低段 中段 高段的划分 这就需要全体教师都能意识到数学思想方法的重要性 保证数学骨干教师在课务安排上相对稳定 使小学思想方法教学具有系统性和持久性 同前 平国强 解决问题 教学的关注点 人民教育 2008No 12 从教师的角度看 胸中有全局 了解并熟悉小学数学各个学习阶段 解决问题 的教学内容 教学目标及学习过程中的思维关注点 是十分重要的 可能的概括 第一学段 学会数学化 第二学段 领悟到解决问题的完整思维过程 第三学段 开始学习解题策略 朱德江 让策略运用成为一种思维习惯 小学数学 2008No 2 一些常用的策略 画图策略 列表策略 动手操作策略 猜想与验证策略 关键 要引导学生回顾解决问题的过程 要引导学生回顾与梳理解决问题的策略 应当掌握适当的 度 为了增强学生在数学思维方法这一方面的自觉性 在解决问题以后教师应当有意识 引导学生表述解决问题的思路 但不一定要高度抽象概括 以避免程式化 同样地 我们也应十分 重视引导学生交流与反思 促进学生将解决问题的方法策略内化为个人的数学素养 但是 在小学阶段 引导学生开展评价 反思的要求不宜过高 关键是促进学生形成反思的习惯 提高学生反思的意识和水平 朱德江 新课程下 解决问题 的教学与指导策略构建 小学教学 2007No 8 10 结束语 至道无难 唯嫌拣择 愿我们都能在这一方面作出自己的贡献 引深 又一应当思考的问题 我们是否应当要求每个学生都学会数学地思维 更高的努力方向 由 数学地思维 到 通过数学学会思维 参考文献 1 郑毓信 开放的小学数学教学 郑毓信数学教育论丛之一 江苏教育出版社 2008 2 郑毓信 数学思维与小学数学 郑毓信数学教育论丛之二 江苏教育出版社 2008 3 郑毓信 数学教育哲学 四川教育出版社 1995 欢迎批评与指正谢谢 yuxin 附 数学中的特殊化与一般化 两个十分自然的问题 究竟什么是数学中的特殊化与一般化 小学数学中是否也有特殊化与一般化 一个新的尝试 由 随意的介绍 走向 系统的论述 介绍一门新的学科 数学方法论 这是研究数学的思维方法以及数学发明创造的启发性法则的一门专门学科 基本的分析思路 突出数学活动的基本形式 1 概念的生成 分析与组织 概念的学习 2 问题解决 1 从概念学习的角度看 数学抽象就是一个一般化的过程 如何为抽象的数学概念给出具体的例子则就是特殊化的过程 插入 数学教师的一个基本功 适当的举例 插入 举例与 变式理论 变式理论 中国数学教育传统的一个重要成分 具体问题 如何能以 变式理论 为指导来改进教学中的举例 两个普遍的意义 1 传统的继承与发扬 2 由 经验型教学 转向 理论指导下的自觉实践 变式理论的核心思想之一 标准变式 与 非标准变式 背景 一些常见的错误观念 角必定有一条水平射线 直角必定是指向右边的角 三角形和四边形的底边都应处于水平位置 三角形的高必须处于垂直的位置 并必定于三角形的底边相交 分析与思考 学生之所以会形成这些错误观念往往就与我们在教学中所使用的往往只是 标准变式 有着直接的关系