概率论课本作业第一章.doc

第一章1、一般事件（复合事件）：由不止一个样本点做成的事件。以下哪些试验是随机试验。（1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上；（2）记录某电话传呼台在一分钟内接到的呼叫次数；（3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命；（4）观察一桶汽油遇到明火时的情形；（5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置。：（1）（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验。2、写出下列随机试验的样本空间。（1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数；（2）抛掷二次硬币，观察出现的结果；（3）记录某汽车站在5分钟内到达的乘客数；（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；（5）记录一门炮向其目标射击的弹落点；（6）观察一次地震的震源； ：（1）1,2,3,4,5；（2）（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；（3） 0,1,2,3,4.（4）,其中x表示灯泡的寿命；（5）,其中x、y分别表示弹着点的横坐标、纵坐标；（6）,其中x、y、z分别表示震源的经度、纬度、离地面的深度。3、抛掷一个骰子，观察出现的点数。用A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数大于4”，C表示“出现的点数为3”,D表示“出现的点数大于6”，E表示“出现的点数不为负数”，（1）写出实验的样本空间；（2）用样本点表示事件A、B、C、D、E；（3）指出事件A、B、C、D、E何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。:（1）1,2,3,4；（2）1，3，5，5，6，3，1，2，3，4，5，6；（3）C为基本事件，E为必然事件，D为不可能事件。1先抛掷一枚硬币，若出现正面（记为Z）,则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，请写出样本空间。1答案：210个产品，其中2个次品，现从中任取3个产品，用A表示“取到的3个中恰有一个次品”，B表示“取到的3个中没有次品”，C表示“取到的3个都是次品”， D表示“取到的3个中次品数小于3”。（1）写出样本空间；（2）用样本点表示事件；（3）指出事件A、B、C、D何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。2答案：（1）其中：0表示正品，1表示次品；（2），；（3）B为基本事件，D为必然事件，C为不可能事件。：设、为三个事件，用、的运算式表示下列事件：（1）发生而、都不发生；（2）与发生而不发生；（3）、三事件都发生；（4）这三个事件恰好发生一个；（5）这三个事件至少发生一个；（6）这三个事件至多有一个不发生。：（1）或或；（2）或或；（3）；（4）；（5）或；（6）。：试证：（1）；（2）； （3）；：（1）右边=左边；同理可证(2)，(3)。一、判断题1“ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生。（B）A 正确 B 错误 2从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示“抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示“抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。（B）A 正确 B 错误 二、单项选择题设A、B为二事件，事件可化简为。（D）A A B B C A-B D B-A ：抛掷二次硬币，求结果都是反面的概率。：设事件=“二次抛掷均出现反面在上”，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） ，因样本空间有限，且每种结果发生的可能性相同，故是古典概型；=（反，反），此时，故。一、计算题1抛掷三枚硬币，求至少出现一个正面的概率。1答案：7/82任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。答案：1/23抛两个骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点。答案：（1）5/36（2）5/12（3）11/36：把七个不同的球扔进四个有号码的盒子，每个球落在任何一个盒子的机会是相等的，那么第一个盒子恰好有两个球的概率是多少？：由盒子模型问题（2）知，所求概率为：袋中有只黑球，只白球，从中依次不放回地模三次，每次摸一个球，求下列事件的概率：（1）A=“仅第二次摸得黑球”；（2）B=“三次中恰有一次摸得黑球”；（3）C=“至少有一次摸得黑球”。：（1）关心的事件与顺序有关，仿抽签问题做法，应该算排列，得；（2）关心的事件与顺序无关，仿超几何概率问题做法，应该算组合，得；（3）利用概率的可加性，不考虑顺序，得或。一、填空题1.一袋中有编号为0，1，2，9的球共10只，某人从中任取3只球，则（1）取到的球最小号码为5的概率为；（2）取到的球最大号码为5的概率为。2.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；0.1（2）“第一卷出现在旁边”的概率为。0.4二、单项选择题1袋中装有1，2，N号球各一只，现从中不放回的摸球，则第k次摸球时首次摸到1号球的概率为（A）。A B C D 2. 从6双不同的手套中任取4只，则取出的4只中恰有一双配对的概率为（B）。A B C D 1：在圆内取一直径EF，然后在EF上随机的取一点为中心作弦，可得其概率为。2：设弦AB的一端固定在圆上，另一端在圆上随机的取一点作弦，可得其概率为。3：在半径为的同心圆内任取一点，以它为中心作弦，可得其概率为。：两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟既可离去，试求这两个人能会面的概率。 ：以，分别表示两人到达的时刻，有“两人能会面”“”。将，作图（如上）。这是一个几何概率问题=5/9：如图,设“任投一针与平行线相交”。又设表示针的中点与最近一条平行线的距离，表示针与最近一条平行线的交角。显然，。一、计算题1在长度为的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。1解：设分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为，则，又设=“三条线段能构成一个三角形”=,的面积为，则。窗体底端窗体底端2在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这个区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R的概率。2解：设表示弦与垂直于弦的直径的交点到圆点O的距离，则，又设=“弦长大于R”=故：抛掷一枚均匀的硬币，样本空间为：其中=（正面），=（反面），。：（德.梅尔问题）一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两件事中哪一件有更多机会遇到？：设“一颗骰子投4次至少得到一个六点”，则“一颗骰子投4次都没有出现六点”。因而 ；又设“两颗骰子投24次至少得到一个双六”，有于是我们知道，前者机会大于后者的机会。 ：已知事件A、B、AB分别为0.4，0.3，0.6，求。：。1一口袋中装有只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第次摸球时摸到黑球的概率是多少？1解：设“第次摸球摸到黑球”，“第次摸球摸到白球”=“前1次摸到为黑球，第次摸到为白球”，故 故。1 若A、B为二事件，则0.7一、单项选择题1.，（A）。A B C D 2.设，则必有（A）。A B C D 1 设则r-q2.在某城市中，共发行三种报纸A、B、C。在这城市的居民中，订阅A报的占45%,订阅B报的占35%,订阅C报的占30%,同时订阅A报及B报的占10%,同时订阅A报及C报的占8%,同时订阅B报及C报的占5%,同时订阅A、B、C三种报纸的占3%，则（1）“只订A报及B报的”概率为0.07；（2）“只订A报的”概率为0.3：设有100件产品中有5件是不合格品，用下列2种方法抽取2件，求2件都是合格品的概率。1不放回顺序抽取；2放回顺序抽取。：设“第次抽出为合格品”。（1）；（2）。：（波利亚plya罐模型）罐中 只黑球及 只红球，随机取出一只，把原球放回，并加进与抽出球同色的球 只，再摸第二次，这样下去共摸了 次，问前面的 次出现黑球，后面的 次出现红球的概率是多少？：设“第次取出为黑球”， =1，2，所求概率为：1 设一口袋中有a只白球,b只黑球,从中取出三只球(不放回),则三只球依次为黑白黑的概率为2 设随机事件A的概率为P(A)=0.5, 随机事件B的概率为P(B)=0.4，条件概率，则=0.8二、计算题1甲、乙两市都位于长江的下游，根据上百年来的气象记录知，一年中甲市雨天的概率为0.2，乙市雨天的概率为0.14，两地同时下雨的概率为0.12，已知甲市下雨的情况下，求乙市下雨的概率。1解：设A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”2假设某地区位于甲、乙两河流交处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率。2解：设A:表示“甲河泛滥”，B:表示“乙河泛滥”，（1）（2）一、计算题1炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,求目标被击毁的概率。1解：设A表示“目标被击中”，表示“炮弹距目标250米射出”，表示“炮弹距目标200米射出”，表示“炮弹距目标150米射出”，：在数字通讯中，由于存在着随机干扰，因此接到的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常要计算各种概率。现发报机以0.7和0.3的概率发出信号0和1，由于受到随机干扰的影响，发出信号0时收到信号为0和1的概率分别为0.8和0.2，同样，发出信号1时，收到信号为1和0的概率分别为0.9和0.1，求当收到信号0时，原发信号也是0的概率。：设“发出0”，“收到0”，由贝叶斯公式：假定用血清甲胎球蛋白法诊断肝癌。用表示“被检验者患有肝癌”，表示“血清甲胎球蛋白检验为阳性”。已知，又设在自然人群中，现若有一人在此检验中检查结果为阳性，求此人真正患有肝癌的概率。=0.0038性质1：若事件、独立，且，则证明：由条件概率定义得：性质2：若事件与独立，则下列各对事件也相互独立。：由故与独立。同理可得另外两对。：设A、B为两个随机事件，且，证明：若，则A与B相互独立。：由定义知，A与B相互独立。：设甲、乙两射手独立地同时射击一目标，他们击中目标的概率分别为0.9，0.8 ，求在一次射击中目标被击中的概率。：设=“目标被击中”，=“甲击中目标”，=“乙击中目标”则；由题意与相互独立，故有0.90.80.9 0.8 0.98。另解：二、多个事件的独立性 ：（三个事件的独立性）：设有三个事件，若（2）成立，则称三事件相互独立。事实上，定义中的（1）、（2）不能相互代替。一般地有：（个事件的独立性）：设有个事件 ，若对于所有的组合，都有成立，则称事件相互独立。在解决实际问题中，常常可以根据实际情况判断事件的独立性，然后利用定义去计算这些事件乘积的概率。：假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。：设=“第个人的血清中含有肝炎病毒”，。由题意知若相互独立，所求概率为一、单项选择题1对事件A、B，下列说法正确的是（D）。A 若A与B互不相容，则与也互不相容 B 若A与B相容，则与也相容 C 若A与B互不相容，则A与B相互独立 D A与B相互独立，则与也相互独立 2设事件、的概率均大于零，且与互为逆事件（或对立事件），则有（B）。A 与相互独立 B 与互不相容 C 与相等 D 包含或包含 二、判断题1设A、B、C为三事件，若它们两两独立，则它们必相互独立。（B）A 正确 B 错误 2设，若 A与B互不相容，则A与B必不相互独立。（A）A 正确 B 错误 三、证明题1.设A、B、C三事件相互独立，证明：（1）与C相互独立；（2）与C相互独立。1证明:（1）由定义知与C相互独立。（2）由定义知与C相互独立。：若在件产品中有件废品，现进行次有放回的抽样检查，问共抽得件废品的概率是多少？：由于抽样是有放回的。因而每次是否抽得废品与其它各次是否抽得废品无关。若将每一次抽取看成一次试验，则次有放回的抽取可看成次重复独立试验，且抽到为废品的概率均为，因而是贝努里概型。于是所求概率为，。：设有8门大炮独立地同时向一目标各发一弹，若有不少于2发炮弹击中目