三角形与四边形(数学奥林匹克).pdf

目 录 三角形的基本概念和性质 0 三角形的面积 边角间关系定理 1 全等三角形 0 1 相似三角形 三角形中与比例线段有关的几个定理 的外角平分线与 的延长线交 于5 已知 3 或 3 则 3 或 3 若记 3 8 8 3 8 3 9 9 3 9 3 3 3 的 各项同除以 整理 各项倒过来 便得 正弦定理 在 中 角 所对的边长分别为 则 3 3 3 3 3 从而便得 余弦定理 在 中 角 所对的边长分别为 则 三角形与四边形 特别地 当 3 8 3 3 3 3 8 3 两边同除以 8即得 注 张角定理的逆定理为 设 8 依次是 平面内从一点 所引三条射线 8 上的 点 8在 之间 8 3 8 3 3 则三点 8 在一条直线上 事实上 由 8 8 3 3 3 1 3 1 3 0 3 0 3 3 3 3 3 3 3 3 故 3 0 1 3 3 3 3 0 1 3 于是 3 3 在 1中 由余弦定理 并注意到1 3 1 3 槡 槡 1 3 同理 在 1中 有 1 槡 1 3 9时 是什么三角形 试证明你的结论 年全国联赛题 在 中 试证 自 的顶点 引两条射线交 于A B 使 A B 求 证 A B A B 年上海市竞赛题 设点 在 的边 上 且与顶点不重合 求证 年捷克竞赛题 已知 0为四边形 两组对边延长后得交点1 2 对角线 0 1 2 的延长线交1 2于3 求证 1 3 3 2 年全国高中竞赛题 在 中 0是 边上的点 已知 0 0 那么0 等于多少 第 届 祖冲之 杯邀请赛题 67 三角形与四边形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 其中互相重合的顶点叫做 对应顶点 互相重合的边叫做对应边 互相重合的角叫做对应角 实现重合离不开运动 完全重合是运动的结果 至于运动的过程 则有不 同的方式 因此 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式 平移全等型 如图 图 对称全等型 如图 图 旋转全等型 如图 图 全等三角形 以上类型的复合型 如图 图 全等三角形的对应边相等 对应角相等 三角形中各种对应线段也相等 寻找对应边和对应角 常用到以下方法 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对 应边 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对 应角 有公共边的 公共边常是对应边 有公共角的 公共角常是对应角 有对顶角的 对顶角常是对应角 两个全等的不等边三角形中一对最长边 或最大角 是对应边 或对 应角 一对最短边 或最小角 是对应边 或对应角 要想正确表示两个三角形全等 找出对应元素是关键 边角边定理 有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等 角边角定理 有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等 推论 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边定理 三边对应相等的两个三角形全等 注 三角形的三边确定了 那么它的形状 大小就确定了 三角形的这个 性质 就叫做三角形的稳定性 由于直角三角形的特殊性 直角三角形全等的判定具有特殊的方法 从 理论上讲 不论是 边角边 角边角 边边边 还是 角角边 都适用于直 角三角形全等的判定 但直角三角形有如下特殊的判定定理 斜边 直角边定理 斜边和直角边对应相等的两个直角三角形 全等 由上可知 如果两个直角三角形中有两条边 不论是两条直角边还是斜 边和一条直角边 对应相等 就足以判定它们全等 所以 对于直角三角形的 全等的判定 边边边 是没有使用价值的 因此 在两个直角三角形中 如果 三角形与四边形 图 除了直角之外 还有两个元素 不都是角 对应相等 那么 这两个直角三角形全等 例 设8为等腰直角三角形 的斜边 上任意一点 8 1垂直 于点1 8 2垂直 于点 2 8 3垂直1 2于点3 延长3 8并在延长线上取一 点0 使得8 0 8 试证 0 且 0 年全国联赛题 证明 如图 因 1 8 3 1 2 8 8 2 则 0 8 8 3 1 8 3 8 2 8 2 8 2 8 又8 8 0 8 为公共边 则 8 0 8 从而 0 且 8 0 8 因此 0 故 0 例 已知 0 1是 的高 点8在 0的延长线上 8 点9在 1上 9 求证 8 9 8 9 年 河南省竞赛题 图 证明 如图 设 1交 0于2 由 0 1 知 1 2 0 2 而 2 1 2 0 故 8 9 由已知 有 9 8 从而 8 9 即有 8 9 由 可得 9 8 而 9 9 1 9 1 9 1 全等三角形 8 8 9 9 1 从而可得 8 9 即 8 9 例 在正 内部有一点 已知 若 一个三角形的边长等于 试求 这个三角形的各角度数 第 届莫斯科奥林匹克题 图 解 如图 以 为一边作等边 0 连 0 由 0 0 则有 0 所以0 0 又 0 则 0 的三边的长分别等于 而 0 0 0 0 0 0 故所求三角形内角分别为 例 如图 在 中 0是底边 上一点 1是线 段 0上一点 且 1 0 1 0 求证 0 0 年 全国联赛题 图 证明 作 1 0的平分线交 于2 又过 作 1 2交 1于3 交 于 则知 1 3 0 1 2 1 2 3 1 从而 3 1 1 又 3 1 1 0 1 0 则 3 1 由 1 1 1 0 1 1 有 3 1 三角形与四边形 注意到 故有 3 1 从而 3 1 3 1 于是 3 3 1 又由 1 2 有 2 3 1 2 且 1 2 0 2 0 而 1 0 2 1 0 从而 0 2 0 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 0 2 0 即 0 0 2 0 2 2 0 2 2 0 0 故 0 0 例 在 中 0为三角形内一点 且 0 0 求 0的度数 图 解 如图 延长 0交 于1 则 1 1 1 在 上截取 2 连 2 则 2为等边三角形 在 上截取 3 连 3 0 3 1 2 2 3 由边角边定理 知等腰 2 3 等腰 1 在 1 2中 因 1 2 1 2 则 1 2 易得 2 13 0 1 由角边角定理 知 2 13 0 1 于是1 3 0 1 注意到 1 1 故1 1 又由边角边定理 知 1 0 1 3 从而 0 1 3 在 3中 因 3 3 则 3 从而 1 3 故 0 例 在 中 0是 的平分线 过 作 0 的垂线交直线 于点4 若 4 试求 和 的 度数 年北京市竞赛题 全等三角形 图 解 由于点4在直线 上 因而应分两种情况 讨论计算 如图 过 作 0的垂线交 延长线 于点4 延长 到 使 4 4 由题设 0平分 知 4 4 注意到 4为公共边 则由角边角定理得 4 4 于是 有 又由 4 知 4 从而 4 4 在 4中 4 4 因此 图 如图 过 作 0的垂线交 延长 线于点4 延长 到 使 4 4 由题设 0平分 知 4 4 注意到 4为公共边 则 4 4 即有 4 4且 又由 4 知 4 从而 4 4 于是 在 4 中 4 4 即有 4 即 例 求证 如果两个三角形有两条边和第三条边上的中线对应相等 那 么这两个三角形全等 已知 如图 在 和 中 0 0 分别是边 三角形与四边形 图 上的中线 0 0 求证 证明 分别延长 0 0 至1 1 使0 1 0 0 1 0 连结 1 1 则 1 0 1 0 因为 0 0 所以 1 1 在 0 和 1 0 中 由 0 0 1 0 1 0 0 0 知 0 1 0 从而 1 1 0 同理 0 1 0 有 1 1 0 因为 所以 1 1 在 1和 1 中 由 1 1 1 1 所 以 有 1 1 从而 1 1 1 1 所以 0 1 1 0 所以 在 和 中 由 故 例 在 中 0为 的中点 分别延长 到点1 2 使 图 0 1 0 2 过1 2分别作直线 的垂线 相交于点8 设线段8 8 的中点分别为4 5 求证 0 14 2 05 8 1 8 2 年全国联赛题 证明 如图 根据题设可知 0 4 5 0 5 4 所以 40 8 50 因为4 5分别是直角三角形 1 8 2 8的斜边的中点 所以 1 4 4 0 5 2 5 5 0 4 又已知0 1 0 2 从而 0 14 2 05 由 可知 1 40 2 50 则由 40 0 5 可得 数学奥林匹克小丛书 数学奥林匹克小丛书 以专家讲座的形式展开以专家讲座的形式展开 由浅入深 夹叙夹议 讲练结合由浅入深 夹叙夹议 讲练结合 在知识学习中实现能力培养在知识学习中实现能力培养 薄薄的小册子助你透析每一个专题薄薄的小册子助你透析每一个专题 从奥委会委员到国家队教练从奥委会委员到国家队教练 从大学教授到金牌教练员从大学教授到金牌教练员 聚集了国内最顶尖的奥数辅导专家聚集了国内最顶尖的奥数辅导专家 为你打造了一套最经典奥数专题辅导丛书为你打造了一套最经典奥数专题辅导丛书 数学奥林匹克小丛书 第二版 初中卷数学奥林匹克小丛书 第二版 初中卷 初中卷 1单墫 著因式分解技巧 初中卷 2葛军 编著方程与方程组 初中卷 3一次函数与二次函数 李惟峰 编著 初中卷 4三角形与四边形 沈文选 编著 初中卷 5柯新立 编著圆 初中卷 6冯志刚 著整除 同余与不定方程 初中卷 7周建新 编著组合趣题 初中卷 8冯志刚 顾滨 主编初中数学竞赛中的解题方法与策略 数学奥林匹克小丛书 第二版 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 高中卷1刘诗雄 编著集合 高中卷2熊斌 朱臻 苏勇 编著函数与函数方程 高中卷3曹瑞彬 周益忠 编著三角函数 高中卷4李胜宏 边红平 编著平均值不等式与柯西不等式 高中卷5苏勇 熊斌 编著不等式的解题方法与技巧 高中卷6冯志刚 著数列与数学归纳法 高中卷7范端喜 邓博文 编著平面几何 高中卷8张思汇 编著复数与向量 高中卷9冷岗松 著几何不等式 高中卷10余红兵 著数论 高中卷11张垚 编著组合数学 高中卷12熊斌 郑仲义 编著图论 高中卷13冯跃峰 编著组合极值 高中卷14熊斌 何忆捷 编著高中数学竞赛中的解题方法与策略 学奥数 这里总有一本适合你学奥数 这里总有一本适合你 自从 2000 年 奥数教程 中首次在图书中使用 奥数 一词以来 华东师范 大学出版社已陆续出版近 200 种 奥数 图书 形成多品种 多册层次全系列 奥数 入门篇 从课本到奥数 1 9 年级 B版 奥数 智优篇 优等生数学 1 9 年级 奥数 辅导篇