第二章 测度论的知识要点与复习自测.doc

第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue外测度的知识要点： 熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性）； 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：中至多可数集，区间，Cantor（三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）； 特别注意零测集的含义和性质【如中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。自测题：1、叙述中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：（1）设为有理点集，计算；（2）设为至多可数集，计算；（3）设，则。2、据理说明下面的结论是否成立：设，（1）若为有界集，则；（2）若，则为有界集；（3）若，则为无界集；（4）若为无界集，则。3、设为区间，证明：，其中表示的体积（注意分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：（1）设为三分Cantor集，则；（注意三分Cantor集的构造）（2）设为定义在上的黎曼可积函数，在的图像，则；（注意黎曼可积的充要条件的使用）（3）设有内点，则；（4）（外侧度的介值性）设为有界集，则对任意，存在，使得，；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式）设，则对任意，存在，使得，。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue可测集的知识要点： 熟练掌握Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的和，总有），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）； 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性； 记，则，其中为连续基数； 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用； 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是中的可测集）（1）设，为互不相交的可测集，则（有限可加性）；设，为可测集（注意没有互不相交的要求），则（次有限可加性）。（2）设，为互不相交的可测集，则（可数可加性）；设，为可测集列（注意没有互不相交的要求），则（次可数可加性）。（3）差集测度的关系（注意思考：条件“”的作用）设和都是可测集，且，则 ；当时，。设和都是可测集，则 ；当时，。（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）设为单调递增的可测集列，则；设为单调递减的可测集列，且存在，使得，则。（5）一般可测集列测度的极限性设为可测集列，则（关于测度的Fatou定理【入不敷出】）；若存在k0，使得，则；若存在，且存在k0，使得，则存在，且。（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设为可测集，为可测集，则为上的可测集，且。自测题：1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“”的作用）设（1）若和都是可测集，且，则 ； 当时，。（2）若和都是可测集，则 ； 当时，。（3）若和不是可测集，则 ； 当时，。2、利用1和可测集的性质证明：（1）设都是可测集，则；【注意：】（2）利用（1）和等侧包定理证明：设（不必为可测集），则。3、试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明：（1）设为三分Cantor集，则；【注意：三分Cantor集的构造），其中（）为Cantor集的构造过程中第n步去掉的长度均为的开区间】（2）对于任意给定正数，不改变Cantor集的构造思想，只是将在Cantor集的构造过程中每一步去掉的开区间分别换为长度分别为的开区间（比如第n步换为去掉个长度都为的互不相交的开区间），并记这样得到的集为（称为类Cantor集或一般Cantor集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：。4、证明一般可测集列测度的极限性：设为可测集列，则（关于测度的Fatou定理【入不敷出】）；若存在k0，使得，则；若存在，且存在k0，使得，则存在，且。 若，则和都是零测集。三、可测集的结构的知识要点： 中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集，型集，型集，Borel集。 熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）：（1）对任意，与型集的关系（等测包定理）；（2）可测集与开集的关系，可测集与型集的关系；（3）可测集与闭集的关系，可测集与型集的关系。自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题：（1）如何将一个型集表示成一列单调递减的开集的交集？（2）设，则存在一列单调递减的开集列，使得，对每一个，且；（3）设有界，则存在一列单调递减的有界开集列，使得，对每一个，且。注：（2）和（3）为等测包定理的更为细致的形式。2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明：设（）为一列单调递增的集列，每个不必为可测集，则（1）存在一列单调递增的型集（），使得，对每一个，且；（2）（单调递增集列的外侧度的极限性质）。3、试证明可测集与开集和闭集的下面的关系（可测集与开集和闭集的更细致的关系）：设是可测集，则（1）对任意的，存在开集，使得，且；（2）存在一列单调递减的开集（），使得，对每一个，且；（3）存存在一列单调递增的闭集（），使得，对每一个，且。4、试利用可测集的结构和开集的结构证明“可测集的直积的可测性及测度的计算公式”，即，设为可测集，为可测集，则为上的可测集，且。5*、定义1：设，其中为可测集，记，则称为非负实函数在上的下方图形（相当于数学分析中定义在上的一元非负函数所构成的曲边梯形）；定义2：设为可测集，且，其中（）都是中的可测集，且互不相交（称为可测集的一个有限不交的可测分解），现定义如下：，其中（）都为常数，为为全集时的示性（特征）函数，则称在可测集上的一个非负简单函数。试利用4“可测集的直积的可测性及测度的计算公式”解决下面的问题：设是按定义2定义的可测集上的非负简单函数，的含义如定义1，则（1），其中（）互不相交；（2）是上的可测