三角形的边长不等关系.doc

3-3 三角形的邊角關係 班級： 座號： 姓名： P.4、三角形的邊長不等關係：從A點要走到B點的路線有許多條，其中以直線距離為最短。所以當然或對三角形而言：，經過移項之後，故，故，故結論： 的邊長不等關係：任意兩邊長的和大於第三邊，任意 兩邊長的差小於第三邊。 若、為三角形的三邊長，則的範圍為 。例1：下列何者不可能為三角形的三邊長？（A）4、4、4（B） 6、6、11（C）2、3、4（D）1、2、3 。例2：若4、7為三角形的三邊長，則的範圍為何？例3：若為整數，且3、8、為三角形的三邊長，則符合條件的有哪些？例4：（1）若、7、為等腰三角形的三邊長，則 。 （2）若3、6、為等腰三角形的三邊長，則 。例5：已知，且、9、為三角形的三邊長，則的範圍為何？例6：（1）若、5為三角形的三邊長，則的範圍為何？ （2）若、8、為三角形的三邊長，則的範圍為何？例7：如右圖所示，試求的範 圍？ 3. 的周長與最大邊長的關係：最大邊長小於周長的半。 說明：若、為三角形的三邊長，且為最大邊長， 則，兩邊同加， ，故。例：若三角形的三邊長皆為整數，且周長為11，則適合此條件且形狀相異的三角形共有 4 個。 解：設、為三角形的三邊長，為最大邊長，且 ，又由已知得，故滿足條件的三角形有下列4種。 周長11551115421153311443例8：若三角形的三邊長皆為整數，且周長為12，則適合此條件且形狀相異的三角形共有多少個？例9：若三角形的三邊長皆為整數，且周長為15，則適合此條件且形狀相異的三角形共有多少個？二、的邊角關係：1.的等邊對等角：已知：求證：證明： 等腰直角的三個內角各為 。 三邊等長的正三個內角皆為 。2. 的等角對等邊： 已知：求證：證明： 有一角為的等腰必為正。3. 等腰三角形的頂角平分線必垂直平分底邊 。 等腰三角形的頂角平分線，也是底邊的中垂線、中線及底邊上的高。若平分，則且 的中線：任一頂點與對邊中點的連線段。4. 的大邊對大角，小邊對小角。已知ABC中，如下圖將摺到，使點和點重合，此時是摺痕。 pf：（1）ABD和AED是否會全等呢？（2）在ECD中，是其外角，比較的角度大小。（3）比較的角度大小。例10. 在ABC中，若，試比較的大小關係。例11. 如右圖，在ABC中，若，且，求的範圍。 例12. 如右圖，在ABC中，若，且，求的範圍。5. 的大角對大邊，小角對小邊。已知ABC中，如下圖將紙對摺，使點和點重合，此時是摺痕。 pf：（1）DBE與DCE是否全等？（2）比較的長度大小？（3）求出的度數？（4）在ACD中，比較的長度和與長度的大小。（5）比較的長度大小。 請說明直角的斜邊是最長的邊？例13. 在ABC中，若的外角的外角的外角， 試比較、與的大小。例14. 在ABC中，若，且 ，試求 的範圍。例15. 在ABC中，若，且，試求 的範圍。結論： 的邊角不等關係：一個中，若有兩角不相等，則大角對大邊，小角對小邊；若有兩邊不相等，則大邊對大角，小邊對小角。結論：若，分別為ABC中、上 的高，且A的外角B的外角C的外角，則： （1）A，B，C的大小關係為ABC 。 （2），的大小關係為 （3），的大小關係為6. 的角與角的不等關係：（1）的外角一定大於任意一個內對角。（2）一個角大於它部分的角。7. 兩個不同的三角形其邊角不等關係：（1）樞紐性質：在兩個三角形中，若兩邊對應相等時，則夾角愈大者，其第三邊愈大。 在ABC與DEF中，若，且，則：（2）逆樞紐性質：在兩個三角形中，若兩邊對應相等時，則第三邊愈大者，其夾角愈大。在ABC與DEF中，若，且，則：例16. 在ABC中，若，且，試比較下列的大小關係。（1）與（2）與8. 特殊三角形邊長的比例關係（1）直角三對邊的比為 ： ：2 在ABC中，若， ，求證： 1：2 （2）的等腰直角三對邊的比為 1