环形磁铁空间磁场的解析计算与仿真1.pdf

环形磁铁空间磁场的解析计算与仿真 王瑞凯 左洪福 吕萌 南京航空航天大学 民航学院 江苏 南京 210016 摘要 从永磁体的磁荷模型出发 运用标量磁位法 广义二项式定理 矢量叠加原理等建立了环 形磁铁在磁体外部空间磁场分布的解析表达式 并在 MATLAB 仿真软件中进行了计算 利用三 维数字式特斯拉计实际测量了两种规格的永磁体的磁场分布 利用 Ansoft Maxwell 电磁场分析软 件建立了两种永磁体在磁体外部空间的磁场分布 通过对比解析计算结果 实际测量结果和 An soft Maxwell 仿真结果发现解析表达式很好地反映了永磁环空间磁场的分布规律 误差不超过 7 从而验证了解析表达式的正确性 关键词 永磁环 标量磁位法 磁感应强度 广义二项式定理 中图分类号 O242文献标识码 A 文章编号 1671 654X 2011 05 0019 05 Analytical Calculation and Simulation for Magnetic Field Distribution of Ring Magnet WANG Rui kai ZUO Hong fu LV Meng College of Civil Aviation Nanjing University of Aeronautics and Astronautics Nanjing 210016 China Abstract Starting from the magnetic charge model of permanent magnets using scalar magnetic potential method generalized binomial theorem and vector superposition theorem this thesis builds an analytical expression of magnet rings about magnetic field distribution in the external space of permanent magnets The analytical expression was implemented in the MATLAB simulation software Meanwhile actual mag netic field distributions of two different permanent magnets were measured using three dimensional digital teslameter Other magnetic field distributions of these magnet was built in Ansoft Maxwell simulation soft ware Through checking the analytical calculation result against actual magnetic field distributions and Ansoft Maxwell simulation result it is found that the analytical expression describes the magnetic field e volution accurately and the calculation error of the magnet induction is less than 7 The results show that the calculation formula is correct Key words magnet ring scalar magnetic potential method magnetic induction generalized binomial theo rem 引言 在航空机械设备的状态监测和维修保障中 磁场 有着广泛的应用 以滑油中的磨粒监测为例 早期的 监测设备以离线为主 如磁堵 1 OLF 4 铁谱仪 2 等 都是通过定期采集流经磁场时吸附下来的磁性颗粒来 监测设备的运行状态 随着监测技术的发展 一批具 有代表性在线全流量监测传感器应运而生 其中应用 最广泛的当属加拿大 GOSTOP 公司生产的 MetalSCAN 油液磨损金属监测传感器 它直接安装在油路中 通过 连接电缆与控制单元连接 左右两个线圈产生磁场 中 间的线圈感知金属颗粒通过时造成的磁场扰动 能够 全液流在线监测大颗粒 同时可统计出各个尺寸范围 内的颗粒数量 3 随着稀土永磁材料性能和加工制造水平的提升 通过合理设计极靴等措施稀土永磁体可以产生各种强 度和分布的磁场 并且具有无能耗 体积小 成本低 控 制方便 工作可靠等优点 尤其是矩形磁铁和环形磁铁 即永磁环 因其便于在油路中安装 易于在整个油 路中产生均匀分布的磁场 在滑油磨粒监测方面具有 广泛的应用前景 而永磁体应用的关键是对永磁体磁 场分布的把握 在这方面 云南师范大学李景天 兰州 收稿日期 2011 07 28修订日期 2011 09 02 基金项目 国家自然科学基金与中国民航联合资助基金重点项目资助 60939003 作者简介 王瑞凯 1987 男 山东泰安人 硕士研究生 主要研究方向为载运工具运用工程 第 41 卷第 5 期航 空 计 算 技 术Vol 41 No 5 2011 年 9 月 Aeronautical Computing TechniqueSep 2011 大学苟晓凡等分别运用磁荷模型 分子电流模型给出 了矩形永磁铁空间磁场分布的解析表达式 4 5 北京 工业大学李晓阳等则实际测量了矩形磁体空间的磁场 分布 6 中南大学李群明等应用矢量磁位法建立了环 形磁铁基于完全椭圆积分的空间磁场分布表达式 7 通过对国内外学者研究成果 8 的分析 不难发现 国内外对矩形磁体磁场分布的研究比较全面 涵盖了 从解析表达式的求解到实际测量系统的建立等所有内 容 但是对环形磁铁的研究较少 简便易用的解析计算 公式就更少了 严重制约了环形磁铁磁场的设计和分 析 阻碍了其在航空领域的使用和推广 在借鉴国内 外学者研究成果的基础上 本文建立了一种基于广义 二项式定理的永磁环磁场分布的解析表达式 并对永 磁环的磁场特性进行了分析和比较 从而验证了解析 表达式的正确性 1实心永磁环磁场的解析计算 关于永磁体 有两种完全等效的物理模型 磁荷模 型和电流模型 磁荷模型的实质是将磁路中磁体的作 用看作是由密度为 m的分布磁铁产生的 而电流模型 的实质是将磁体的作用看作是由密度为 Jm的分布圆 电流产生的 9 与之对应 在工程实践中 计算永磁体 外部空间磁场的方法主要分为标量磁位法和矢量磁位 法 这两种方法都是从麦克斯韦方程组出发 通过引 入磁标量势和磁矢量势 导出有关磁标量势和磁矢量 势的微分方程组 进而采用有限元法或者边界法进行 数值求解 由于矢量计算比较复杂 本文采用标量磁位 法求解表达式 根据磁荷模型 永磁体外部空间任一点 P 的磁标 量位 m的计算表达式为 10 m 1 4 S M n R dS 1 4 M R d 1 式中 M 是永磁体的磁化强度 S 是围住永磁体的曲 面 R 是从源点到场点的距离 n 是磁铁外表面法向单 位矢量 是散度因子 束缚磁荷面密度 sm和束缚磁 荷体密度 m定义为 sm M n m M 2 将 2 式代入 1 式得 m 1 4 S sm R dS 1 4 m R d 3 通过计算得到 m 然后再对 m求散度即可得到 磁场强度 H H m 4 考虑如图 1 所示轴向均匀磁化的实心永磁环 由 于是均匀磁化 M Br 0为常矢量 0 4 10 7H m 是真空中的磁导率 由式 2 可得 m 0 即永磁体 在宏观上表现为只有上下表面的面磁荷 无体磁荷存 在 故式 3 简化为 m 1 4 S sm R dS 5 将式 5 代入式 4 得 H S sm 4 1 R dS S sm 4 R R3 dS 6 图 1轴向磁化实心永磁环示意图 由式 6 即可求出实心永磁环磁场的分布 根据 永磁环的对称性 对于空间任一点 P h 采用柱 坐标系 建立如图 2 所示的坐标系 此时 0 且有 sm M 当在圆柱上表面上积分时 0 当在圆柱侧表面上积分时 M 当在圆柱下表面上积分时 7 将式 7 代入式 6 整理得 H h M 4 S x i yj h z k x 2 y2 h z 槡 2 3dS M 4 S x i yj h z k x 2 y2 h z 槡 2 3dS 8 将式 8 对磁荷面 S 和 S 的积分沿场坐标轴的 分量记为 Hp Hp H H Hh Hh 通过计算这 6 个变量 即可求出 P 点的总场强 在此 以对 S 面的 积分为例 计算如下 a 对 H 的求解 Hp HX M 4 S x x 2 y2 h H 槡 2 3dS M 2 2 0 Rcos 2 R2 h H 2 2 Rcos 槡 d M 2 2 0 Rcos 2 R2 h H 2 2 Rcos 槡 d 9 令 k2 2 R 2 R2 h H 2 10 则 k2 1 将式 10 代入式 9 并运用广义二项式定 理 11 对式 9 求解得 02 航 空 计 算 技 术第 41 卷第 5 期 H MR 2 R2 h H 槡 2 2 0 i 0 1 2 2i 1 k2 2i 1 cos 2i 2 d MR 2 2 R2 h H 槡 2 i 0 1 2 2i 1 k2 2i 1 2i 2 2i 1 i 1 2 11 式中 n i n n 1 n 2 n i 1 i 12 b 对 H 的求解 H HY M 4 S y x 2 y2 h z 槡 2 3dS 13 由对称性可知 H HY 0 14 c 对 Hh 的求解 Hh HZ M 4 S h H x 2 y2 h H 槡 2 3dS 15 首先对 X 积分 而后运用三角变换 广义二项式 定理以及式 10 和式 12 进行变换 得 Hh HZ MR h H 2 R2 h H 2 2 R2 h H 槡 2 t 0 i 0 k 2t k2 2i 2t 2i 2 2t i 1 t i 1 2 R 1 2 2 i k2 1 2 2i 1 16 式中 k 2 R2 R2 h H 2 1 17 同理 对于 S 面的积分结果如下 H MR 2 2 R2 h 槡 2 i 0 1 2 2i 1 k2 2i 1 2i 2 2i 1 i 1 2 18 H HY 0 19 Hh HZ MRh 2 R2 h2 2 R2 h 槡 2 t 0 i 0 k 2t k2 2i 2t 2i 2 2t i 1 t i 1 2 R 1 2 2 i k2 1 2 2i 1 20 式中 k2 2 R 2 R2 h2 21 k 2 R2 R2 h2 22 将式 11 14 16 18 19 和 20 代入式 8 可得 H h H H i H H j Hh Hh k 23 由此可得 轴向均匀磁化实心永磁环在空间任一 点 P 产生的总磁感应强度 B h 为 B h H h 24 式中 为永磁体所在空间磁介质的磁导率 至此 式 11 14 16 18 19 20 23 和 24 构成了实心永磁环空间磁场的解析表达式 2空心永磁环磁场的解析计算 对于空心永磁环 其作用相当于一块大的实心永 磁环在其中间挖去了一块小的同心的实心永磁环 从 磁荷模型的原理出发 根据矢量叠加原理 将大的实心 永磁环计算得到的磁场分量减去小的实心永磁环的磁 场分量得 H h H H R H H r i H H R H H r j Hh Hh R Hh Hh r k 25 式中 R 和 r 表示空心永磁环的外径和内径 当多块不同尺寸永磁环并列放置时 也可先单独 计算每块磁铁在空间一点的磁感应强度大小 然后应 用叠加原理 将计算结果累加即可得到 n 块永磁环在 空间任一点 P 产生的总磁感应强度 3计算结果与实验结果的分析 为了验证建立的永磁环磁场分布解析表达式的正 确性 首先在 MATLAB 12 中利用解析表达式对单个实 心永磁环和空心永磁环的磁场进行了计算 并利用三 维高精度数字式特斯拉计对两者沿 x y 和 z 轴的磁场 分量进行了测量 并利用 Ansoft Maxwell 电磁分析软件 分析了两种永磁铁的磁场分布 13 通过对比理论值 测 量值及 Ansoft 磁场分布规律来验证表达式的正确性 12 2011 年 9 月王瑞凯 等 环形磁铁空间磁场的解析计算与仿真究 3 1实心永磁环磁场的实验分析 实心永磁环的尺寸规格为 直径 24 mm 轴向厚度 7 5 mm 材料牌号为 N35 烧结铷铁硼 NdFeB 轴向 充磁 最大磁能积为 281 1 kJ m2 充磁后剩余磁感应 强度 Br 1 229 T 首先利用解析表达式计算距离永磁环上 或下 表面一定距离处的磁场分布 选取 2 个高度层 h H 2 5mm 进行计算 相应地 在 2 个高度层用三维 特斯拉计对磁感应强度 B 进行多点测试 由于各高 度处 By分量 对应圆柱坐标系中的 B 近似为 0 故 不再讨论 Bx 对应圆柱坐标系中的 B 和 Bz 对应 圆柱坐标系中的 Bh 磁场分量的测量结果和计算结果 分别如图 2 图 3 所示 此外 本文还利用 Ansoft Max well 电磁分析软件对该型磁铁的磁场分布进行了分 析 如图 5 图 6 所示 其中内部的边线是永磁体的边 界 外部的边线是假定的边界 1 Bx理论值 2 Bx测量值 3 Bz理论值 4 Bz测量值 5 B 理论值 6 B 测量值 图 2在上端面上方 2 mm 时实心磁环的磁感应强度分布 1 Bx理论值 2 Bx测量值 3 Bz理论值 4 Bz测量值 5 B 理论值 6 B 测量值 图3在上端面上方 5 mm 时实心永磁环的磁感应强度分布 从图 2 图 3 可以看出 在一定高度上 Bx在轴线 处磁感应强度为零 而后沿半径方向向外逐渐增加 在 端面的边缘达到最大 Bz在整个端面区域略有减小 随着超出端面区域 Bx和 Bz都迅速减小 而总磁感 应强度 B 在整个端面区域逐渐增加 在端面边缘处达 到最大后逐渐减小 与图 4 所示的分析结果沿径向的 分布是一致的 从图 2 图 3 还可以看出 在 XY 平面的同一位置 随着与上端面距离的增加 磁感应强度各分量以及总 磁感应强度逐渐减小 与图 4 所示的分析结果沿轴向 的分布是一致的 此外 在三幅图中磁感应强度 B 的平均误差分别 为 4 71 和 0 2 误差逐渐减小 且最大误差仅发生 在端面的边缘处 图 4实心永磁环磁感应强度的分布 3 2空心永磁环磁场的实验分析 在实心永磁环磁场分析的基础上 本文又对空心永 磁环的磁场进行了分析 空心永磁环的尺寸规格为 外 径24 mm 内径 18 mm 轴向厚度 7 5 mm 材料牌号为 N35 烧结铷铁硼 NdFeB 轴向充磁 最大磁能积为 281 1 kJ m2 充磁后剩余磁感应强度 Br 1 229 T 选 取1 个高度层 即 h H 3 mm 进行计算 采用与 3 1 节相同的实验步骤 实验结果如图5 图7 所示 1 Bx理论值 2 Bx测量值 3 Bz理论值 4 Bz测量值 5 B 理论值 6 B 测量值 图 5在上端面上方 2 mm 处空心永磁环的磁感应强度分布 从图 5 图 6 可以看出 在一定高度上 在磁铁的 内环柱面和外环柱面之间的区域 Bz略有下降 而 Bx 几乎呈线性上升趋势 而合磁感应强度 B 近似在内环 柱面处获得最大值 与图 7 所示的分析结果沿径向的 分布是一致的 22 航 空 计 算 技 术第 41 卷第 5 期 从图 5 图 6 还可以看出 在 XY 平面的同一位置 随着与上端面距离的增加 磁感应强度各分量以及总 磁感应强度逐渐减小 与图 7 所示的分析结果沿轴向 的分布是一致的 1 Bx理论值 2 Bx测量值 3 Bz理论值 4 Bz测量值 5 B 理论值 6 B 测量值 图 6在上端面上方 5 mm 处空心永磁环的磁感应强度分布 图 7空心永磁环磁感应强度的分布 经计算 图 5 图 6 的最大平均误差分别为 6 7 和 0 4 误差逐渐减小 仅在内外环端面的边缘处误 差较大 3 3误差分析 分析3 1 节和3 2 节的误差可知 实心永磁环的最 大平均误差为4 71 空心永磁环的最大平均测量误差 为6 7 误差主要来源于磁环规格的测量误差 磁体边 界磁场分布的不均匀性以及在测量过程中手工测量带 来的读数和位置误差 特斯拉计探头尺寸的影响等 尽管存在以上误差 但最大平均误差也仅有 6 7 这说明所建立的永磁环磁场分布的解析表达式 是正确的 模型具有较高的计算精度 4结论 本文从永磁体的磁荷模型出发 运用标量磁位法 广义二项式定理等建立了实心永磁环磁场分布的解析 表达式 利用矢量叠加原理 应用该表达式可计算 1 块 或多块空心永磁环在磁体外部空间磁场的分布 在此 基础上 在 MATLAB 仿真软件中运用该表达式计算了 实心和空心永磁环磁场的分布 与此同时 利用三维 特斯拉计测量了两种规格永磁环实际的磁场分布 利 用 Ansoft Maxwell 电磁场分析软件建立了两种永磁体 在磁体外部空间的磁场分布 通过对比计算结果 测量 结果和仿真结果 发现所建立的解析表达式很好的反 映了空间磁场的变化规律 具有很高的精度 从而验证 了解析表达式的正确性 参考文献 1 Tauber T A New Chip Detector reliable Versatile and Inex pensive Aircraft Testing Application C Proceedings of the 26th Meeting of the Mechanical Failures Prevention Group Washington Nat Bur Standards 1977 123 132 2 赵方 刘岩 谢友柏 OLF 4 在线铁谱仪的采样数据及其 特征提取的研究 J 机械科学与技术 2000 19 2 310 312 3 Leske S MetalSCAN an Opportunity for the Condition Moni toring of Gears of Wind Power Plants J VGB Powertech 2008 88 6 56 61 4 李景天 宋一得 郑勤红 等 用等效磁荷法计算永磁体磁 场 J 云南师范大学学报 自然科学版 1999 19 2 33 36 5 Gou Xiao Fan Yang Yong Zheng Xiao Jing Analytic Ex pression of Magnetic Field Distribution of Rectangular Per manent Magnets J Applied Mathematics and Mechanics English Edition 2004 25 3 297 306 6 李晓阳 徐金伟 刘宏娟 矩形永磁体三维磁场 J 北京 工业大学学报 2008 34 1 1 6 7 李群明 万梁 段吉安 一种永磁轴承的设计和磁场分布 的解析计算 J 中南大学学报 自然科学版 2006 37 5 970 975 8