2009第6届中国东南数学奥林匹克试题及答案.doc

第六届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2009年7月28日上午8：0012：00）江西南昌1. 试求满足方程的所有整数对。2. 在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE、BC=EA、，且B、C、D、E四点共圆。证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD。3. 设，。求证：。4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。第二天（2009年7月29日上午8：0012：00）江西南昌5. 设1、2、3、9的所有排列的集合为A；，记，；求。(其中表示集合M的元素个数)6. 已知、分别是的外接圆和内切圆。证明：过上的任意一点D，都可以作一个三角形DEF，使得、分别是的外接圆和内切圆。7. 设， 其中 ，且。求的最大值和最小值。8. 在88方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的型五方连块？ 答案1. 设整数对满足方程将其看作关于x的一元二次方程，其判别式 的值应为一完全平方数；若，则；若，则可取，相应的值分别为8036、7536、6036和3536，它们皆不为平方数；因此，仅当时，为完全平方数。若y = 4，方程(1)化为， 解得x=1或x=7；若，方程(1)化为 ，解得或。综上可知，满足原方程的全部整数对为：。2. 必要性：若A、B、C、D共圆，则由AB=DE、BC=EA，得，所以，故得AC=AD。充分性：记BCDE所共的圆为，若AC=AD，则圆心O在CD的中垂线AH上，设点B关于AH的对称点为F，则F在上，且因，即，所以E、F不共点，且，又由AB=DE、BC=EA，知，因此，故由，得AEFD共圆，即点A在上，也即点A在上，从而A、B、C、D共圆。3. 先证不能构成三角形的三边。因为所以 于是 故。4. 设红点集为：，过点的弦有11条，而任一个含顶点的三角形，恰含两条过点的弦，故这11条过点的弦，至少要分布于6个含顶点的三角形中；同理知，过点的弦，也各要分布于6个含顶点的三角形中，这样就需要个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重复计算了三次，因此至少需要个三角形再说明，下界24可以被取到不失一般性，考虑周长为12的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共有条若某弦所对的劣弧长为k，就称该弦的刻度为k；于是红端点的弦只有6种刻度，其中，刻度为1、2、5的弦各12条，刻度为6的弦共6条； 如果刻度为a、b、c ()的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：或者a+b=c；或者a+b+c=12；于是红点三角形边长的刻度组只有如下12种可能：(1, 1, 2)、(2, 2, 4)、(3, 3, 6)、(2, 5, 5)、(1, 2, 3)、(1, 3, 4)、(1, 4, 5)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)、(2, 4, 6)、(3, 4, 5)、(4, 4, 4)；下面是刻度组的一种搭配：取(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型各六个，(4, 4, 4)型四个；这时恰好得到66条弦，且其中含刻度为1、2、5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；今构造如下：先作(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型的三角形各六个，(4, 4, 4)型的三角形三个，再用三个(2, 4, 6)型的三角形来补充(1, 2, 3)型六个：其顶点标号为：2, 3, 5、4, 5, 7、6, 7, 9、8, 9, 11、10 ,11, 1、12, 1, 3；(1, 5, 6)型六个：其顶点标号为：1, 2, 7、3, 4, 9、5, 6, 11、7, 8, 1、9, 10 ,3、11, 12, 5；(2, 3, 5)型六个：其顶点标号为：2, 4, 11、4, 6, 1、6, 8, 3、8, 10, 5、10 ,12, 7、12, 2, 9；(4, 4, 4)型三个：其顶点标号为：1, 5, 9、2, 6, 10、3, 7, 11；(2, 4, 6)型三个：其顶点标号为：4, 6, 12、8, 10, 4、12, 2, 8。(每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得)。这样共得到24个三角形，且满足本题条件，因此，n的最小值为24。5. 我们一般地证明，若，对于前n个正整数1、2、n的所有排列构成的集合A，若，则。下面用数学归纳法证明：当n=4时，由排序不等式知，集合M中的最小元素是，最大元素是。又,所以 共有11=个元素。因此n=4时命题成立。假设命题在()时成立；考虑命题在n时的情况对于1、2、的任一排列，恒取，得到1、2、n的一个排列，则。由归纳假设知，此时取遍区间上所有整数。再令，则再由归纳假设知，取遍区间上的所有整数。因为，所以，取遍区间上的所有整数，即命题对n也成立由数学归纳法知，命题成立。由于，从而，集合的元素个数为特别是，当n=9时，6. 如图，设OI=d，R、r分别是的外接圆和内切圆半径，延长AI交于K，则，延长OI交于M、N；则，即；过D分别作的切线DE、DF，E、F在上，连EF，则DI平分，只要证，EF也与相切；设，则P是的中点，连PE，则，所以由于I在角D的平分在线，因此点I是的内心 (这是由于，而，所以，点I是的内心。)即弦EF与相切7. 先证当且仅当时等号成立。由哥西不等式:因为，从而 当且仅当时等号成立。再证当时等号成立。事实上，故，当时等号成立。【另证】设，若z=0则下设，由(*)式，要证，只要证注意到，于是(1)等价于即 而由柯西不等式，可得即(2)成立，从而，故，当时等号成立。8. 至少要如下图挖去14个小方格如右图，将88棋盘切为五个区域。中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T形的五方块放不进去。二个打叉的位置是不等同的位置，一个是在角落位置，另一个是内部位置，只挖去其中一个无法避免T置入。对于在边界的四个全等的区域，每区域至少要挖去3个小方格才能使T形的五方块放不进去证明：以右