MATLAB在分析物体振动方面的应用.doc

MATLAB语言课程论文MATLAB在分析物体振动方面的应用 姓名：邢 晓 佳 学号：12010245256 专业：通信工程 班级：2010级通信班 指导老师：汤全武 学院：物理电气信息学院 完成日期：2011年12月10日MATLAB在分析物体振动方面的应用（ 邢晓佳 12010245256 2010级通信班）摘要运用MATLAB语言很容易的解决了物理中常见的物体振动方面的题目，通过用MATLAB计算阻尼振动中的单摆，简谐运动，弹簧振子的问题,更加鲜明的显示出了MATLAB的强大功能，实验结果表明这一方法具有操作简单明了!运算速度快，计算误差可控制等优点。形象直观的显示图形和结论，利于研究和学习。关键词 MATLAB 计算 振动 李萨如图 简谐运动一、问题的提出振动是物体的一种很普通的运动形式，所谓机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往返运动。例如，在心脏的跳动、钟摆的摆动、活塞的往复运动、固体原子的振动等等。物体振动这样一个看似简单但又包含着很多计算的运动中，在人为的计算是很难精确的实现，而通过MATLAB可以处理诸多科学中的许多问题，利用它来研究物理学中的机械振动，不仅特别还特别有效。这种运动都是在某一数值附近作往复的周期性运动，而在我们所学过的知识中，我们仅仅能解决的只是一些非常理想的振动无阻尼振动，在处理这些问题时，遇到的问题都是容易解决的，不需要很复杂的变换，以及涉及一些特殊角度问题，以及在绘制振动图形时也会存在着一定的复杂性和难度，这些问题在MATLAB中都可以很容易解决。下面就来简单介绍一下MATLAB在物体振动方面的具体应用。 MATLAB语言是当今国际上科学界(尤其是自动控制领域)最具影响力、也是最有活力的软件。,MATLAB语言是美国Math Works 公司开发的计算机软件，经过多年的发展与完善。现已成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具。它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图像处理等功能于一体，提供了一个方便的、界面友好的用户环境，而且还具有可扩展性特征。Math Works公司针对不同领域的应用，推出了信号处理偏微分方程、图像处理、小波分析、控制系统、神经网络、鲁棒控制、优化设计、统计分析、通信等多个具有专门功能的工具箱，这些工具箱是由该领域内的专家编写的，无需用户自己编写所用的专业基础程序，可直接对工具箱进行运用。实验证明该软件功能强大，语言简洁易学，人机界面友好，工具箱具有丰富的技术支持并集成了该领域专家的智慧，应用简单而效果良好。 针对物体振动学习理论性强、概念抽象等特点，利用Matlab强大的数值计算和图形技术，通过具体实例进行仿真，绘制相应的图形，使其形象化，便于对其的理解和掌握。将Matlab引入物理学中，利用其可视化功能对物体振动实验现象进行计算机模拟，可以提高学习效率于学习积极性，使学习效果明显。通过Matlab软件工具，对计算阻尼振动中的单摆，简谐运动，弹簧振子的问题等问题分别给出了直观形象的的仿真图和数值分析，形实现了可视化学习，丰富了学习内容，提高了对物体振动理论知识的兴趣。二、物体振动问题的探究MATLAB软件是目前广泛使用的工程计算和数据分析软件，在大学物理教学中用MATLAB辅助实验，使教学内容更加形象直观。它易学、易用、简捷、直观，能提高教学效率，激发学生学习兴趣，培养学生的创新能力。应用MATLAB的特点，可以更好的理解简谐振动运动规律。简谐振动是指物体相对于平衡点的位置随时间按余弦(或正弦)规律变化的运动，其数学表达式为：简谐振动的方程式速度的表达式为： V=加速度的表达式为：a=若已知振动方程，利用MATLAB，则能既形象又精确地绘制三条曲线 ,即振动曲线和速度、加速度曲线。应用MATLAB把三条曲线都绘制出来，方便快捷的绘制出图像，获得直观印象，从而更好的理解物理意义。如果把在演示时把坐标轴加以标注，把坐标轴刻度加以修饰，图像的色彩及线条的粗细都表示出来，效果会更好。且在最后如果结合图像把简谐运动分析一下，会更好。在实际系统中多少总是具有阻尼的，而且阻尼力的性质是很复杂的，它可能是位移，速度以及其它因素的函数。工程结构中常常采用粘性阻尼的假设。这类阻尼力与速度成正比，方向相反。即,其中C是常数，称为粘性阻尼系数。下面就看MATLAB是如何解决物理中关于有阻尼运动的计算的？问题一：有一单摆在空气（室温为20）中来回摆动，其摆线长s=1.0m，摆锤是一半径的铅球，求：（1）摆动周期；（2）振幅减小10%所需的时间；（已知铅球密度为，20时空气的粘滞阻力）解题步骤如下：（1） 单摆固有叫频率 （1）空气作用下在铅球上的粘滞阻力，根据斯托克斯公式为得 （2）此处 （3）阻尼系数= （4）可见，于是，因而有阻尼时摆的周期 （5）(2) 有阻尼的情况下，单摆的振幅： （6）设振幅减小10%所需的时间为，则有 （7） （8） MATLAB程序如下： clear all %清除 g=input（9.8）; %g为重力加速度其值l= input（1.0）; %l为摆线长p= input（2.65*10-3）; %p为铅球密度n= input（1.78*10-5）; %20时空气的粘滞阻力r= input（5.0*10-3）; %r为小球的半径W0=sqrt(g/l); %求角速度C=6*pi*r*n; %由粘滞阻力Fr=-6 rnv=-Crm=4/3*pi*r3*p; %求小球的质量k=C/2/m; %求阻尼系数T=2*pi/W; %求单摆周期T1=log(1/0.9)/k; %振幅减小10%所需的时间TT1 运算结果T = 1.0394e-006iT1 = 1.7429e-00振动的形式是多种多用的，情况大多比较复杂，简谐运动是最简单、最基本的振动。我们可以运用MATLAB来解决简谐运动中的速度，周期，加速度以及能量的问题，请看下面MATLAB是如何解决这些问题的？问题二：已知振动方程,求t=8秒时，位移、速度及加速度各位多少？并绘制振动曲线和速度、加速度曲线。编写MATLAB程序如下t=8; %赋值y=2*cos(3*t+pi/5); %确定y、t的涵数关系v=-2*3*sin(3*t+pi/5); %确定v、t的涵数关系a=-2*3*3*cos(3*t+pi/5) %确定a、t的涵数关系敲回车键，得到结果如下a = -15.7582通过MATLAB绘制绘制振动曲线编写MATLAB程序如下clc;%清除指令窗t=0:0.001:10;%确定时间变量的变化范围及步长y=2*cos(3*t+pi/5);%确定y、t的涵数关系v=-2*3*sin(3*t+pi/5);%确定v、t的涵数关系，pi表示圆周率a=-2*3*3*cos(3*t+pi/5);%确定a、t的涵数关系plot(t,y,-,t,v,-.,t,a,:)%绘制图形敲回车键，得到如图1图1 振动曲线和速度、加速度曲线图问题三：质量为0.10kg的物体，以振幅1.010-2m作简谐运动，其最大加速度为4.0m/s.求：（1）振动的周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等；解题思路：（1） 最大加速度 （9）由此可得振动周期 （10）（2） 物体通过平衡位置时的总动量 （11）（3） 设物体坐标为x时，其动能与势能相等，即 （12）（4） 当时，物体的势能为 （13）物体的动能 （14）MATLAB程序如下clear all %清除 m=0.01; %m为物体的质量amax=4.0; %amax为最大加速度A=1.0*10-2; %A为振幅W=sqrt(amax/A); %求角速度T=2*pi/W; %求周期Ekmax=1/2*m*W*W*A*A; %求最大动能E=Ekmax; %求总能量Ep=1/2*E; %求势能x=sqrt(2*Ep/m/W/W); %求动能和势能相等时的位移T,Ekmax,E,X运算结果T = 0.3142Ekmax = 2.0000e-004E = 2.0000e-004x = 0.0071 在简谐运动方程x=Acos(wt+o)中，物体在一个周期中的位移在+A和-A之间， 在一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用T表示，所以我们可以根据余弦函数绘出的物体振动的图形，得出物体振动的周期、振幅、位移等，下面请看MATLAB是如何绘出简谐振动函数图形的？ 问题四： 在简谐振动合成中的应用李萨如图一个质点沿X 轴和Y 轴的分运动都是简谐运动, 分运动的表达式分别为: （15）如果二者的频率有简单的整数比, 则相互垂直的简谐运动合成的运动将具有封闭的稳定的运动轨迹, 这种图称为李萨如图。李萨如图可用示波器进行演示, 通过Matlab 编程来实现, 具体MATLAB程序如下clear all %清除 beta=pi/5;w1=1;A1=1;t=1:.01:50;x=A1*cos(w1*t+beta); %函数命令w2=2 3 4/5 1/2 1/3 5/4;for j=0:0.5:7; for i=1:6;y=A1*cos(w2(i)*t+(beta+j)*pi/4); %清除 subplot(2,3,i); %选择23的个区中的i区 plot(x,y);pause(0.05); %设置坐标 title(wy:wx= ,num2str(w2(i); %图形名称 end;end运行结果见图2.图2 李萨如图通过MATLAB绘制出上题中质点在平面上的运动轨迹.matlab程序如下clear all %清除t=0:0.01:20; %时间t从0至20秒A1=3;A2=2;wx=5*pi;wy=4*pi; %对振幅、圆频率赋值phi1=pi/4;phi2=pi/6; %对初相位赋值x1=A1*sin(wx*t+phi1); %x方向上的简谐振动y1=A2*sin(wy*t+phi2); %y方向上的简谐振动comet(x1,y1); %画质点轨迹图程序动态地绘制了质点的运动，绘制结束后质点留下的轨迹如图3图3 动态李萨如图截图问题四：用Matlab来研究机械波的相干叠加与驻波的形成. 考察分别沿x轴正向和负向传播的两列相干横波，它们的方程为： （16） （17）设时间从t=0开始到t=10结束，考察区间为0,4，令k=，则，在考察区间上恰好能观察到两个完整波形。令v=1，A1=-0.4，A2=0.4，则方程为： （18） （19）现在就可以编程演示机械波的叠加和驻波的形成了，编写MATLAB程序如下：clear all %清除 t=0:0.1:10;x=0:1/15:4; %时间数组和位置坐标数组for i=1:100 %设置循环%由右向左传播的行波x1=x(x=(4-t(i);%挑出坐标位置大于4-t(i)的质元，将其位置坐标赋给新的变量x1y11=0.4*sin(pi*(x1+t(i);%这些位置上的质元在t(i)时刻的位移，赋给变量y11x2=x(x(4-t(i);%挑出坐标位置小于4-t(i)的质元，将其位置坐标赋给新的变量x2y12=x2-x2;%这些位置上的质元在t(i)时刻的位移，赋给变量y12y1=y12 y11;37%将所有质元的位移组合到同一个列矢量y1中%由左向右传播的行波x3=x(xt(i);y22=x4-x4;y2=y21 y22;y3=y1+y2; %质元同时参加两个振动，实现了行波的合成y=y1;y2;y3; %将t(i)时刻向左、向右以及合成的波的质%元位移存放在矢量y中，以便作图%分区作图for j=1:3subplot(3,1,j) %分区作图stem(x,y(j,:),b:.); %火柴杆图axis(0,4,-1,1); %指定坐标轴范围grid on %开启网格线endpause(0); %暂停的技巧，否则屏幕由于刷新%过快而导致不显示任何图象End运行结果ans = 37某时刻的行波及驻波的波形如图4图4 某时刻行波及驻波的波形整个程序放在一个大的循环结构中，循环变量是时间t，每一次循环对应一个时刻，绘出当前时刻的波形；当进入下一次循环时屏幕自动刷新，绘制下一时刻的波形，由此实现了动画效果. 图2是绘出的某时刻的波形图.可以很清楚地看到系统中物体的振动情况.三、结论通过运用MATLAB可以很轻松的计算出一些方程（组）的解，绘制图形，以及更多的如对物理上的应用等。只要在经过合理的编排后运用MATLAB软件运行即可得出结果，如果所得结果并非自己想要的，还可以随时修改，直到得出想要结果，如本文的最后的一个例题，输入程序后，经过检查及修改无误后，再运行程序既可在瞬间的到准确的图形，使用起来也非常方便快捷。通过学习MATLAB语言为我们在解决了许多数学中复杂的计算，在今后的学习中我一定要好好学习这门课，争取为以后的学习中提供更大的方便。四、课程体会通过在本次写论文的过程中，我真的是受益匪浅。以前也写过不少的论文，但也没有注意论文正规的写作格式，所以在写本篇论文的过程中，甚至出现了许多可笑的错误，比如word软件中许多特殊用法，我真的感觉到惭愧极了。通过向老师请教学习，我才勉强的完成了本篇论文。在我选择MATLAB论文的题目的过程中，我通过查找大量的资料，才发现MATLAB涉及的范围非常的大，例如在高等数学中的应用，我才感受到MATLAB对我们是如此的实用。其次，在刚学习的MATLAB的时候，我就觉得它和我们大一第一学期学的C语言有很多相似之处，所以在老师讲的过程中，我就争取好好的听每一节课，每次在实验课上我也认真的做好每一个实验的题目，在程序结果运行出来的时候，我真的特别的兴奋，此时我感觉到了MATLAB功能的强大性。就如本篇论文例举的