力学与对称性思想浅谈.doc

力学与对称性思想浅谈王珂阳土木工程与力学学院理论与应用力学基地班2011级 摘要：对称性是现代物理学中的一个核心概念，它泛指规范对称性，局域对称性和整体对称性。对称性思想已成为人类研究现代自然科学的一条切实可用的方法论原理。 关键词：力学，对称美，对称性思想，对称操作，不变量，变换，守恒 1、 引言对称性思想是在研究中通过对对称美的追求来揭示事物的本质特征和规律性的思考方法。关于对称美和对称性的思想，几乎与人类文明有着同样的悠久的历史。但在近代以前，对称性思想和人们对美的追求，主要是应用在艺术创作和技术创造领域中。而在近代以来，牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅克比、哈密顿、开尔文、劳斯、黎曼、诺特、庞加莱、爱因斯坦、薛定谔、嘉当、狄拉克等人应用对称性思想对力学理论的建立，逐渐的把美学中的对称性应用在自然科学方面，从他们那个年代起，对称性美和力学就是一对亲密的伙伴。爱因斯坦说过：“我想知道上帝是如何创造这个世界的。对这个或那个现象这个或那个元素我并不感兴趣。我想知道的是他的思想，其他的都只是细节问题。”他深信，美是探求理论物理学中重要结果的一个指导原则，上帝一定会以美的方程来设计这个宇宙，如果有两个可以描述自然的方程，正确的一定是那个能激起我们审美感受的那一个。其实审美已成为当代物理学的驱动力，科学家们已经发现了某些奇妙的东西：大自然在最基础的水平上是按美来设计的，而对称美却是一种极其重要的美，因而我们应该以对称美的思想去思考世界。2、 对称美与对称性思想 何为对称性？按照韦氏字典中的注释是“均衡比例”或“由这种均衡比例产生的形状美”。 人类在长期的保存个体、繁衍种族这种极为低下的生产水平和生活水平的斗争中不断发展；随着生产水平和生活水平不断提高，逐渐发展起对美和美感的追求，并逐惭开始去思考美和探索美。对称性就是人类对美的思考和探索之一。 人类对对称性的兴趣其实可以追朔到远古时期，从古希腊文明到现在的日常生活，从美丽的雪花、达芬奇的油画、各种漂亮的装饰图案、植物的花、叶，到令人惊叹的建筑物如鸟巢、水立方等，人们无时无刻不在感受着对称性带来的美感。那么“为什么对称性是重要的？”这是毛泽东主席问著名的物理学家、诺贝尔奖获得者李政道院士的问题，可见对称性在物理学中乃至其他科学的指导性作用。当我们认识到对称性的重要时，我们便产生了一种新的思考方法-即对称性思想，总体来说，对称性思想是我们探究大自然时所运用的思维方法。 力学是研究粒子、刚体、连续介质(流体、等离子体和弹性材料）的动力学以及诸如电磁和引力学的场论。这门科学在量子力学、控制理论以及物理学的其他领域、工程学，甚至化学和生物学中都起到了至关重要的作用，力学是一门基础性的学科，它作为物理学中的一个独立出来的分支以及现代理论物理的基础，在其研究开始时，对称性在基本原理和具体应用方面都起到了重要作用，比如对旋转体的稳定性判别，旋转体若是对称的它将比不对称的稳定，系统的对称性越高则它的稳定性也越高。3、 对称性思想下的经典力学体系经典力学在弱引力场中宏观物体的低速运动，而经典力学体系的建立是离不开对称性这一思想的，大自然是美的、和谐的，它在许多方面都是对称的。3.1 例如当库仑研究电荷之间的相互作用的时候，想到了牛顿的万有引力定律：“物体之间都有相互作用的引力，引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。”根据对称性库仑想到，电荷之间的作用力应该与此类似，于是他指出：“两个电荷之间的作用力跟它们电荷量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。”并且库伦还用类似卡文迪许扭秤的方法测出了静电力常量，库仑提出这种设想的时候还纯粹是一种假说，不过很快被后面的实验所证实。当丹麦物理学家奥斯特于1820年发现电流的能产生磁场时，许多物理学家马上想到磁也应该能产生电，这种想法的依据就是对称性，十年后，法拉第通过实验发现了电磁感应现象。3.2 在物理学中存在着两类不同性质的对称性：一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有对称性，属于前者；牛顿定律具有伽利略变换不变性，则属于后者。详细的来说如果一个操作或变换使系统从一个状态变到另一个与之等价的状态，或者说系统的状态在此操作或变换下不变，我们就说该系统具有对称性.这个操作叫做这个系统的对称操作，最常见的对称操作是时空操作，空间操作有平移、转动、镜像反射、空间反演、标度变换等等；时间操作有时间平移、时间反演等等。物理规律的对称性是指经过一定的操作后，物理规律的形式保持不变。在时间反演变换下，力f、加速度a和质量m都是不变的，所以牛顿第二定律f=ma具有时间反演不变性，这便是一种物理规律的对称性。地面上的一个物体所受的重力G=mg所具有的时间反演不变性也是物理规律的对称性。如图中画了一个铅球从正在行驶的帆船桅杆顶部落下的情景。在船上的人看来，铅球垂直落下，但在岸上的人看来，铅球却走的是一条抛物线。对于不同的惯性系，铅球具有不同的水平初速度，在伽利略变换下，铅球运动的轨迹是不变的，这是具体事物的不对称性。但是他却服从的动力学规律（牛顿定律）具有伽利略变换的不变性，这就是物理规律的不变性，即对称性。其实守恒性是对称性思想中占有主导地位的性质，在力学中的对称变换不变量也正是运用了守恒性,经典力学中守恒量就是在操作和变换后不随之变化的量。3.3 力学是研究物质在空间位置中位置变化的科学，因此力学与几何学是密不可分的，几何学中最早的变换是1637年笛卡尔（Rene Descartes，19561650）发表了La Geometrie，奠定了解析几何基础。从而产生了坐标变换的概念， 在引进了坐标和时间的概念后，人们找到了在这些变换下哪些力学量保持不变。动量、角动量和能量 这三个力学量分别在坐标平移、旋转、和时间的平移之下保持不变。这就是力学中著名的动量守恒定律、角动量守恒定律和能量守恒定律。以动量守恒定律为例。先考虑两个相同的质点1和2.任取一个惯性参考系，设质点1和2在任意给定时刻t对此参考系的速度分别为和。取，则再以速度V相对于系运动的K系来说两质点的速度分别为和，即他们等值反向：，因而系统（两质点和他们的速度矢量）相对于连线的中点O具有空间反演对称性。根据对称性原理我们预言，在两质点的相互作用下内速度的增量和具有同样的对称性，他们也是等值反向的：若取的极限，我们可以说两质点在t时刻的瞬时加速度也是等值反向的：，我们继续假定相互作用与速度无关，于是两质点构成的系统对于它们的联线具有轴对称性，此时加速度应沿联线方向。即便将上述推广到一对不同质点上，上述空间对称性基本保持，只是对O点得中心对称性丧失了，速度增量和不再等值。在相互作用与速度无关的条件下，绕两质点联线的轴对称性依旧存在，速度增量仍沿联线。所谓质点是理想物理模型，质点的个性和质点间的差别只能用标量来表征。相互作用引起速度改变的问题上应改写为。这里和是表征此问题中两质点个性和他们之间差别的标量，与他们怎样运动无关。速度的增量不随参考系而改变，所以对任何惯性参考系都成立。4、 对称性思想给我们的启示物理学各个领里有那么多的定理、定律和法则，但它们的地位并不是平等的，而是有层次的。例如，力学中的胡克定律，热力学中的物态方程，电学中的欧姆定律，都是经验性的，仅适用于特定的材料，一定的范围。这些都是较低层次的规律。统帅整个经典力学的是牛顿定律，统帅整个电磁学的是麦克斯韦方程，他们都是物理学中整整一个领域内的大综合，层次高得多。超过了弹性限度胡克定律不成立而牛顿定律仍然有效;对于晶体管，欧姆定律不适用而麦克斯韦方程组仍然有效。是否还有凌驾于这上边更高一层次的法则？是的，有，广义相对论，量子力学理论，还有当今还未完全解决的大统一理论。然而，我们要去寻找这些还未解决的更高层次的法则，我们便可以运用对称性思想去考虑，在分析、推理、剖解问题时，有意识地运用对称性原理，对问题进行对称性地分解、设计及提出解决方案，或在一个尚不明了的案例或不明其正确与否的命题当中，从对称的角度找出问题的规律，发现对称或不对称的条件，进行对称破缺探索，进而从系统整体上掌握间题或命题的结构，得出解决间题的方法。这样我们可以更快、更有效的解决问题。五、结束语 这让人们看到了上帝创造世界所运用的对称之美，和谐之美，简易之美。爱因斯坦曾经说：“如果我是上帝，我会按这种方式设计并创造宇宙吗？”其实我们作为学者去研究世界，也应该以自己是上帝的想法去思考，而对称性思想必定是上帝创造世界时所用最多的思想。自然的基本设计是美的和简单的这一信念已经深入物理学家们的骨髓,他们正高度自觉地运用对称性法则和与之相应的守恒律，去寻求物质结构更深层的奥秘。参