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文档简介

无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 第十二章 无穷级数 常数项级数 幂级数 傅里叶级数 函数项级数 常数项级数的概念和性质 一 常数项级数的概念 二 无穷级数的基本性质 三 级数收敛的必要条件 四 柯西审敛原理 第一节 第十二章 一 常数项级数的概念 引例1 依次作圆内接正 边形 这个和逼近于圆的面积A 设a0表示 即 内接正三角形面积 ak表示边数 增加时增加的面积 则圆内接正 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 引例2 定义 给定一个数列 将各项依 即 级数的前n项和 次相加 简记为 收敛 则称无穷级数 记作 当级数收敛时 称差值 显然 对值 例1 又称几何级数 q称为公比 的敛散性 解 从而 因此级数收敛 从而 则部分和 因此级数发散 其和为 讨论等比级数 1 若 2 若 因此级数发散 因此 n为奇数 n为偶数 从而 综合1 2 可知 对于等比级数 时 等比级数收敛 其和为 时 等比级数发散 则 级数成为 不存在 因此级数发散 解 已知级数为等比级数 例2 公比 原级数发散 2 1 已知级数为等比级数 公比 原级数收敛 例3 解 所以级数 1 发散 技巧 利用 拆项相消 求和 判别下列级数的敛散性 1 2 所以级数 2 收敛 其和为1 3 显然 有 因此所给级 数是发散的 例4 判别级数 的敛散性 解 故原级数收敛 其和为 二 收敛级数的基本性质 性质1 收敛于S 则各项 乘以常数c所得级数 也收敛 证 则 这说明 收敛 其和为cS 说明 即 其和为cS 若级数 令 性质2 则级数 也收敛 其和为 证 则 这说明级数 也收敛 其和为 设有两个收敛级数 令 说明 2 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若二级数都发散 不一定发散 例如 1 性质2表明收敛级数可逐项相加或相减 用反证法可证 性质3 级数的敛散性 证 的前k项去掉 的部分和为 数敛散性相同 当级数收敛时 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 极限状况相同 故新旧两级 所得新级数 将级数 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 证 若按某一规律加括弧 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列 推论 注意 但 发散 因此必有 例如 用反证法可证 例如 设收敛级数 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 三 级数收敛的必要条件 设收敛级数 则必有 证 可见 例如 其一般项为 不趋于0 因此这个级数发散 若级数的一般项不趋于0 则级数必发散 注意 并非级数收敛的充分条件 例如 虽然 但此级数发散 事实上 假设调和级数收敛于S 则 但 矛盾 所以假设不真 调和级数 例5 解 发散 从而原级数发散 判断级数的敛散性 考虑加括号后的级数 例6 解 则 故 从而 这说明级数 1 发散 判断下列级数的敛散性 若收敛求其和 1 令 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 其和为 2 这说明原级数收敛 其和为3
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