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高等几何高等几何习题集及参考解答习题集及参考解答 第一章第一章仿射几何的基本概念仿射几何的基本概念 1 证明线段的中点是仿射不变性 角的平分线不是仿射不变性 证明 设 T 为仿射变换 根据平面仿射几何的基本定理 T 可使等腰 ABC AB AC 与 一般 A B C 相对应 设点 D 为线段 BC 的中点 则 AD BC 且 T D D 图 1 T 保留简比不变 即 BCD B C D 1 D 是 B C 的中点 因此线段中点是仿射不变性 在等腰 ABC 中 设 T T 但一般 A B C 中 过 A 的中线 A D 并不平分 A 即 B 与 一般不等 角平分线不是仿射不变性 在等腰 ABC 中 设 D 是 BC 的中点 则 AD BC 由于 T ABC A B C 一般三角形 D 仍为 B C 的中点 由于在一般三角形中 中线 A D 并不垂直底边 B C 得下题 2 两条直线垂直是不是仿射不变性 答 两直线垂直不是仿射不变性 3 证明三角形的中线和重心是仿射不变性 证明 设仿射变换 T 将 ABC 变为 A B C D E F 分别是 BC CA AB 边的中点 由于仿射变换保留简比不变 所以 D T D E T E F T F 分别是 B C C A A B 的中点 因此 A D B E C F 是 A B C 的三条中线 图 2 设 G 是 ABC 的重心 且 G T G G AD 由结合性得 G A D 又 AGD A G D 即 3 1 ADA D GDG D 33 11 BEB ECFCF GEG EGFG F 同理可得 G 是 A B C 的重心 4 证明梯形在仿射对应下仍为梯形 证明 设在仿射对应下梯形 ABCD AB CD 与四边形 A B C D 相对应 由于仿射对应保持平行性不变 因此 A B C D 所以 A B C D 为梯形 5 证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形 证明 设 T 为仿射变换 A1B1C1D1与 A2B2C2D2为两个全等矩形 其面积分别以 S1 S2 1 图 2图 由于 T 保留平行性 所以 T A1B1C1D1 平行四边形 A 1B 1C 1D 1 面积记为 S 1 T A2B2C2D2 平行四边形 A 2B 2C 2D 2 面积记为 S 2 且 S 1 K S1 S 2 KS2 11 12 22 1 SKS SS SKS A 1B 1C 1D 1与 A 2B 2C 2D 2是等积的平行四边形 6 经过 A 3 2 和 B 6 1 两点的直线被直线 X 3y 6 0 截于 P 点 求简比 ABP 解 设 P 点的坐标为 x0 yo APAP ABP BPPB 分割比 00 362 11 xy 而 且 P 在直线 x 3y 6 0 上 3 62 3 60 11 解得 1 即 P 是 AB 中点 且 ABP 1 7 证明直线 Ax By C 0 将两点 P1 x1 y1 和 P2 x2 y2 的联线段分成 的比是 11 22 AxByC AxByC 证明设分点为 P x0 y0 则分割比 AP PB 1212 00 1 11 xxyy xy P x0 y0 在直线 Ax By C 0 上 1212 0 11 xxyy ABC Ax1 By1 C Ax2 By2 C 0 11 22 AxByC AxByC 8 证明一直线上二线段之比是仿射不变量 证明 若直线 a 上两线段 AB 和 CD 经仿射变换 T 后与直线a 上的两段 A B 和 C D 对应图 3 ABAB BCABBCAB CDBC CDBCC DC D 得证 9 证明图形的对称中心是仿射不变性 图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性 证明 设仿射变换 T 将中心对称图形 F 变为图形 F 点 O 是 F 的对称中心 A B 为图形 F 上关于点 O 对称的任意一对对称点 设 T O O T A A T B B T F F 由结合性 点 A B 在图形 F 上 3 图 由简比不变性 ABO A B O 所以 F 是中心对称图形 从而图形的对称中心是仿射不变性 如果点 A B 关于直线l 平面 对称 则线段 AB 1 AB 但仿射变换不保留角的度量 所以当 T A A T B B T 1 1 T 时 线段 A B 不一定垂直线1 平面 10 在仿射坐标系下 直线方程是一次的 证明 设在笛氏坐标系下直线方程为 Ax By C 0 1 x y 为笛氏坐标 x y 为仿射坐标 笛氏到仿射的变换式为 12 120 120 12 0 2 xxy yxy 设其逆变换为 12 120 120 12 0 3 aa xa xa ya yb xb yb bb 将 3 式代入 1 得 A a1x a2y a0 B B B B b1x b2y b0 C 0 即 Aa1 Bb1 x Aa2 Bb2 y Aa0 Bb0 C 0 记为 0AxByC 是 x y 的一次式 其中A Aa1 Bb1 B Aa2 Bb2 C Aa0 Bb0 C0 且 A B不全为 0 若不然 Aa1 Bb1 0 Aa2 Bb2 0 1212 1212 00 aaaa bbbb 与矛盾 11 利用仿射变换式 试求在仿射变换下 三角形的面积是怎样改变的 从而明确 1 2定理 5 所指常数的意义 解 A1A2A3和 A 1A 2A 3的面积分别以 S S 表示 11 22 33 1 1 1 2 1 xy Sxy xy 11 11211321 122123 1121221321222223 1131231321322323 1 1 1 2 1 a xa yaa xa ya a xa yaa xa ya a xa yaa xa ya 111121 221222 331323 10 1 10 2 11 xyaa xyaa xyaa 1 2 D S S D S 常数 这结果与 1 2 系 2 一致 三角形 从而多边形或曲线形 的面积经仿射变换后乘以 一个常数 k 此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值 仿射变 换式不同 这常数也不同 12 在等腰梯形中 两底中心 两对角线交点 两腰 所在直线 交点 这四点显 然共线 在对称轴上 试用仿射变换于此图形 得出什么推广了的命题 解 设 E F Q P 分别是等腰梯形 ABCD 下底 上底的中点 对角线交点 要腰 所在直线交点 T 为仿射变换 则梯形 ABCD T 梯形 A B C D E T E 为 B C 中点 F T F 为 A D 中点 BDQ B D Q ACQ A C Q BAP B A P CDP C D P 且 E Q F P 共线 由结合性得 E Q F P 四点共线 但直线 P E 已不 是对称轴 图 4 由此得出 任意梯形上 下底中点 对角线交点 两腰所在 直线交点凡四点共线 13 求仿射变换 34 42 xxy yxy 的自对应点和自对应直线 解 求自对应点 设 x x y y 因此得 240 430 xy xy 解得自对应点的坐标为 x 6 y 8 求自对应直线 设任意直线l u v w 在所给的变换下的像1 的方程为 u x v y w 0 u 3x y 4 v 4x 2y w 0 或 3u 4v x u 2v y 4u w 0 若1为自对应直线 则 u u v v w w 因此 340 34 220 1 4 410 uv uvu uvvuv uww uw 因为 u v w 不全为零 所以方程组 1 有非零解 故 340 1200 401 解得 1 2 2 1 3 1 将 1 2 代入方程组 1 得 u 4 v 1 w 16 将 2 1 代入方程组 1 得 u 1 v 1 w 2 将 3 1 代入方程组 1 得 u 0 v 0 w 1 就本章内容而言 1 时 自对应直线不存在 故所求自对应直线为 4x y 16 0 和 x y 2 0 第二章第二章欧氏平面的拓广欧氏平面的拓广 1 证明中心投影一般不保留共线三点的简比 证 设 SAC 为等腰三角形 SA SC SB AC 过 A 作一射线平行于 SC 交 SB 的延长线于 B1 交 SC 于 C 图 5 则 A B1 C 在中心 S 的投影下分别是 A B C 4 图 AS B C 1 B C 的像点 ABC 2 AC BC 而 AB1C 1 1 AC BC ABC AB1C 即中心投影一般不保留共线三点的简比 2 以下面的坐标表示的直线是怎样的直线 1 1 1 1 2 1 1 0 3 0 1 0 解利用点线结合方程 u1x1 u2x2 u3x3 0 1 u1 1 u2 1 u3 1 x1 x2 x3 0 非齐次化为 x y 1 0 2 x1 x2 0 或 x y 0 3 x2 0 或 y 0 是 x 轴的方程 3 求联接点 1 2 1 与二直线 2 1 3 1 1 0 之交点的直线方程 解先求二直线 2 1 3 1 1 0 的交点坐标 x1 x2 x3 133221 3 3 31 1 1 100111 再求两点 1 1 1 1 2 1 的联线的坐标 u1 u2 u3 111 1 11 1 0 1 211 1 12 所求直线方程为 x1 x3 0 或 x 1 0 4 求直线 1 1 2 与二点 3 4 1 5 3 1 之联线的交点坐标 解 先求二点 3 4 1 5 3 1 的联线坐标 u1 u2 u3 411334 1 8 29 311553 再求二直线 1 1 2 1 8 29 的交点坐标 x1 x2 x3 1221 11 45 31 7 829291 18 所求交点坐标为 45 31 27 C 5 方程 u1 u2 2u3 0 代表什么 u12 u22 0 代表什么 解 方程 u1 u2 2u3 0 表点 1 1 2 的方程 或表示以点 1 1 2 为中心的线束方程 u12 u22 u1 u2 u1 u2 0 u1 u2 0 表示点 1 1 0 的方程 u1 u2 0 表示点 1 1 0 的方程 u12 u22 0 表示两点 1 1 0 和 1 1 0 的方程 6 将 2x y 1 表示成 3x y 2 7x y 的线性组合 这种表达的几何依据何在 解 设 2x y 1 3x y 2 7x y 3 7 x v 2 得方程组 372 1 21 11 22 解得 2x y 1 1 2 3x y 2 1 2 7x y 依据是若令它们为零 所得三直线共点 7 将 2 1 1 表成 1 1 1 和 1 0 0 的线性组合 这说明什么几何性质 解 设 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 则 2 1 1 此方程组无解 即找不到 和 满足 1 式 这说明它们表示的三点 线 不共线 点 8 求直线 x 2y 3 0 上的无穷远点的坐标 解 x3 0 是无穷远直线方程 123 3 230 0 xxx x 从而 x1 2x2 0 取 x1 2 得 x2 1 所求无穷远点坐标为 2 1 0 9 下列概念 哪些是仿射的 哪些是欧氏的 非平行线段的相等 不垂直的直线 四边形 梯形 菱形 平行移动 关于点的对称 关于直线的对称 绕点的旋转 面积的相等 答 欧氏 欧氏 仿射 仿射 欧氏 仿射 仿射 欧氏 欧氏 仿射 第三章第三章第三章第三章一一一一维射影几何维射影几何维射影几何维射影几何 C 1 设 A B C D E 为直线上五点 证明 AB CD AB DE AB EC 1 证明 AB CD AB DE AB EC 1 AC BD AD BE AE BC AD BC AE BD AC BE 2 证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点 证明 设 C 为线段 AB 的中点 D 为直线 AB 上的无穷远点 AB CD 1 AC BDAC ADBCBC 3 直线上顺序四点 A B C D 相邻两点距离相等 计算这四点形成的六个交比的值 解 AB CD 2 24 3 13 AC BD AD BC AB DC 13 4AB CD AC BD 1 AB CD 41 1 33 AC DB 1 3 AC BD AD BC 31 1 1 44 AB DC AD CB 1 4 AD BC 4 求四点 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 5 5 顺这次序的交比 解 以 2 1 1 和 1 1 1 为基底 则 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 111 1 211 1 100 2 1 1 2 1 1 1 1 5 5 222 2 2113 1552 所求交比为 1 2 2 3 5 设 P1 P2 P4三点的坐标为 1 1 1 1 1 1 1 0 1 且 P1P2 P3P4 2 求点 P3的坐标 解 以 P1 P2为基底 则 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 222 2 111 1 101 设 1是基底 P1 P2表示 P3的参数 由已知条件 P1P2 P3P4 1 2 2 且 2 1 1 2 因此 P3的坐标为 1 1 1 2 1 1 1 3 1 3 6 设 A B C D 为共线四点 O 为 CD 的中点 且 OC2 OA OB 证明 AB CD 1 证明 OC2 OA OB OCOB OAOC 由合分比得 OCOAOBOC OCOAOBOC 因此 ACCB OAODOBOD OC OD 1 1 ACCBAC BD AB CD DADBAD BC 即 7 设 A B C D 成调和点列 即 AB CD 1 求证 1111 2CDCACB 证明 由假设得 AB CD 1 AC BD AD BC AC BD BC AD 0 1 BD CD CB AD CD CA 代入 1 式得 AC CD CB BC CD CA 0 化简得 AC CD AC CB BC CD BC CA 0 CA CD CA CB CB CD CB CA 0 2CB CA CA CD CB CD 2 以 CA CB CD 除 2 式两边 得 1111 2CDCACB 8 证明在 X 轴上由方程a11x2 2a12x a22 0 和 b11x2 2b12x b22 0 之根所决定的两个点偶 成调和分割的充要条件是a11b22 2a12b12 a22b11 0 证明 必要性 设两方程的根依次是 x1 x2和 x3 x4 则 x1 x2 12 11 2a a x1 x2 22 11 a a x3 x4 12 11 2b b x3 x4 22 11 b b 1 若 x1x2 x3x4 1 即 1324 1423 1 xxxx xxxx 有 x1 x3 x2 x4 x1 x4 x2 x3 0 2 x1x2 x3x4 x1 x2 x3 x4 0 2 将 1 代入 2 得 222212 12 111111 11 224 0 baa b baa b a11b22 a22b11 2a122b12 0 充分性 以 11 11 2 a b 乘a11b22 a22b11 2a12b12 0 的两边 得 22221212 11111111 2222 0 baab baab 将 1 代入上式后按必要性步骤倒推即得 x1x2 x3x4 1 9 试证四直线 2x y 1 0 3x y 2 0 7x y 0 5x 1 0 共点 并顺这次序求其交比 证明 以 2x y 1 0 和 3x y 2 0 为基线表示 7x y 0 5x 1 0 7x y 0 与 2x y 1 1 3x y 2 0 重合 1 111 7101 2311 22 5x 1 0 与 2x y 1 2 3x y 2 0 重合 2 222 501 1 23112 所求交比为 1 2 1 2 由于交比存在 所以四直线共点 10 试证 一角的两边和它的内外分角线成调和线束 证明 设直线c d 是a b 为边的角的内外分角线 以直线1截a b c d 分别于 A B C D AB CD AC BDAC BD AD BCCBAD 1 SA SB SB SA ab cd AB CD 1 11 ABCD 为平行四边形 过 A 引 AE 与对角线 BD 平行 证明A BD CE 1 证明 设 AC BD O AE BD P 图 7 因此 A BD CE BD OP BDO 1 BO DO 12 AB 为圆之直径 C 为直径延长线上一点 从 C 向圆引切线 CT 证明 T 在 AB 上的 垂直射影 D 是 C 对于 A B 的调和共轭点 若 C 在线段 AB 本身上 如何作它的调 和共轭点 证法 1 设 O 是 AB 的中点 OT CT TD AB OT2 OD OC 即 OA2 OD OC 由本章 6 题结论得 AB CD 1 证法 2 ATD ATE DTB BTC TB TA 是 DTC 的内外分角线 图 8 因此 AB CD T AB CD 1 如果 C 在线段 AB 内部 过 C 作 CT AB 交圆于 T 过 T 作圆的切线交 AB 的 延长线于 D 则 A B 调和分割 C D 因为当 C 确定后 T 也确定 所以点 D 唯一确定 13 设两点列同底 求一射影对应使 0 1 分别变为 1 0 8图 6图 7图 解 设第四对对应点为 x x 由于射影对应保留交比不变 所以 01 x 1 0 x 由交比性质得 10 x 0 x 1 即 10 x 0 x 1 展开得 0111 01 10 1 1011 x x xxx 且 14 设点列上以数 x 为笛氏坐标的点叫做 x 试求一射影对应 使点列上的三点 1 2 3 对应于点列上三点 1 4 3 2 2 1 2 3 3 1 2 3 解 设第四对对应点 x x 1 12 3x 43 2x 152 2 2 3 5 10 01 1 1 4 xx xx xx 且 2 12 3x 12 3x x x 为恒等变换 10 10 01 且 3 12 3x 1 2 3x x x 10 10 01 且 15 当射影对应使一点列上的无穷远点对应于另一点列上的无穷远点时 证明两点列的 对应线段成定比 证法 1 三对对应点 A A B B C C 决定射影对应 设 M M 为任一对对应点 则由 AB C M A B C M 得 ABM A B M 即 A MAMA MB MA MB MA B B MBMAMBMAMBMAB 定比 证法 2 射影变换式为 0 abaxb x cdcxd 且 b a x x d c x 或 因为当 x 时 x 所以 c 0 此时射影变换式为 axb x d 或 dx ax b 0 设 x1 x1 x2 x2 为两对对应点 因此 dx1 ax1 b 0 dx2 ax2 b 0 式减 式 得 d x1 x2 a x1 x2 12 12 xxa xxd 定比 16 圆周上的点和其上二定点相联得两个线束 如果把线束交于 圆周上的两线叫做对应直线 证明这样的对应是射影的 证明 设 A A 为圆周上二定点 Mi i 1 2 3 4 为圆周上 任意四点 图 9 9图 A M1M2 M3M4 1324 1423 sinsin sinsin M AMM AM M AMM AM 1324 1423 sinsin sinsin M AMM AM M AMM AM A M1M2 M3M4 A M1M2 M3M4 A M1M2 M3M4 17 从原点向圆 x 2 2 y 2 2 1 作切线 t1 t2 试求 x 轴 y 轴 t1 t2顺这次序的交 比 设 t1是邻近 x 轴的切线 解 设直线 y kx 与圆相切 则 2 22 1 1 k k 两边平方得 2 3830kk 解得 k1 2 47 3 t1邻近 x 轴 t1的斜率为 k1 47 3 t2的斜率为 k2 47 3 因此 t1的方程为 y 47 3 x 0 t2的方程为 y 47 3 x 0 故 xy t1 t2 1 2 k k 47 47 18 设点 A 3 1 2 B 3 1 0 的联线与圆 x2 y2 5x 7y 6 0 相交于两点 C 和 D 求交点 C D 及交比 AB CD 解 圆方程齐次化 x12 x22 5x1x3 7x2x3 6x23 0 设直线 AB 上任一点的齐次坐标是 3 3 1 2 若此点在已知圆上 则 3 3 2 1 2 5 3 3 2 7 1 2 6 22 0 化简得 10 2 10 0 1 1 2 1 即直线 AB 与圆有两个交点 设 1 2分别对应的交点是 C D 则 C 的坐标是 3 0 1 D 的坐标是 0 1 1 且 AB CD 1 2 1 19 一圆切于 x 轴和 y 轴 圆的动切线 m 交两轴于 M 及 M 试证 M M 证明 设圆半径为r M a 0 M 0 b a b 为参数 图 10 则 m 的方程为1 xy ab 或 bx ay ab 0 由于 m 与圆相切 因此 22 brarab r ab 此式两边平方 得r2a2 r2b2 a2b2 2abr 2a2br 2b2ar a2r2 b2r2 或 ab 2ra 2rb 2r2 0 2 2 12 20 22 r r rr 点 M M 的参数间有一个行列式不等于零的双一次函数 故 M M 10图 20 x 表直线上点的笛氏坐标 这直线上的射影变换 x x x 0 在什么条件 下以无穷远点作为二重点 解 设 x x 是无穷远点 因此 lim x x lim x x x 0 所以 以无穷远点作为二重点的射影变换是 x xaxbab 其中 21 设两个重迭一维射影几何形式有两个二重元素 S1 S2 证明它们之间的对应式 可以写作 11 22 SS k SS k 是个常数 证明 已知 S1 S2 S2 S2 设 1 1是第三对对元素 是任一对对应元素 因为三对对应元素确定唯一射影对应 S1S2 1 S1S2 1 因而 112112 112112 SSSS SSSS 11112111112 21211221211 SSSSSSS k SSSSSSS 故 其中k 22 设 S1 S2是对合对应的二重元素 证明这对合可以写作 11 22 0 SS SS 证明 设 是对合对应下任一对对应元素 从而 S1S2 1 即 12 21 1 SS SS 或 11 22 SS SS 11 22 0 SS SS 23 一直线上点的射影变换是 x 32 4 x x 证明这直线上有两点保持不变 且这两点跟 任意一对对应点的交比为一常数 证明 设固定点为x x 所以 x x 4 3x 2 即 x2 x 2 0 解得固定点为 x 2 和 x 1 设任一对对应点为 x 32 4 x x 交比 1 2 x 32 4 x x 5 1 2 5 2 2 1 2 xx xx 常数 24 试证对合对应的二线束中 一般只有一对互相垂直的对应直线 若有两对互垂的对 应直线 则每对对应直线都互垂 证明 取二线束公共顶点为原点 取对应线的斜率为 则对合方程为 a b d 0 且ad b2 0 互垂对应线应满足 1 所以 0 1 abd 222 0 1 40badbadb 所以当方程 1 有两个不等实根 1 2时 只有一对互垂对应线 这是因为 1 2 b b 1 因而 1 1 1 2 2 2 1 1 当方程 1 有两个相等实根时 必须a d 0 b 0 这时对合变为 1 每对对应线都互垂 25 设 A A B B C C 是对合的三对对应点 试证 ABC BCA CAB 1 证明 由对合对应的相互交换性 有 A A B B A A C C 所以 AB A C A B AC 于是得1 AA BCAA BCBCBCACBA CB AC BAAC BAAC BAAC BABCCAAB ABC BCA CAB 1 26 AB 是定圆直径 作一组圆使其中心都在直线 AB 上并且都跟定圆正交 证明这 组圆跟直线 AB 的交点构成一个双曲对合 证明 设圆 O 是与定圆 O 正交的任一圆 T 为一个交点 且圆 O 与直线 AB 交于点和 P 图 11 已知 OT O T OT2 OP OP 即 OA2 OB2 OP OP 点 P P 是以 A B 为二重元素 O 为中心的双曲对合 的一对对应点 27 O 是笛氏正交坐标的原点 A 是 y 轴上一定点 以 A 为顶点的直角绕 A 旋转 证 明直角两边被 x 轴所截的点偶构成一个椭圆型对合 证明 设直角边交 x 轴的任意两个位置为 A1 A2 B1 B2 图 12 设 OA2 k 则 OA1 OA2 OB1 OB2 OA2 k 因为 A1 A2 B1 B2在 x 轴上的位置为一正一负 故 OA1 OA2 OB1 OB2 0 因而 A1 A2 B1 B2 在 x 轴上构成椭圆型对合 第四章第四章 代沙格定理 四点形与四线形代沙格定理 四点形与四线形 1 设 ABC 的顶点 A B C 分别在共点的三直线 上移动 11图 12图 且直线 AB 和 BC 分别通过定点 P 和 Q 求证 CA 也通过 PQ 上一个定点 图 13 证 设 A0是 上的一个定点 AOP 交 于 B0 B0Q 交 于 C0 则 A0C0是定直线 图 13 若 R 是定直线 A0C0与定直线 PQ 的交点 从而 R 是 PQ 上 的定点 若 ABC 是合于条件的 因为在 ABC 及 A0B0C0中 A0A B0B C0C 共点 根据代沙格定理 P Q 及 A0C0 AC 共线 即 AC 通过 A0C0 PQ R 定点 2 ABC 的二顶点 A 与 B 分别在定直线 和 上移 动 三边 AB BC CA 分别过共线的定点 P Q R 求证顶点 C 也在一定直线上移动 证 设 0 定点 A0B0C0是满足条件的定三角形 ABC 是满足条件的任意三角形 A0B0 BC Q A0C0 AC R 由代沙格定理逆定理得 三线 A0A B0B C0C 共点 O 即 C 在定直线 C0O 上移动 图 14 3 设 P Q R S 是完全四点形的顶点 A PS QR B PR QS C PQ RS 证明 A1 BC QR B1 CA RP C1 AB PQ 三点共线 证 在 ABC 及 PQR 中 图 15 AP BQ CR 共点 S 对应边的交点 C1 AB PQ B1 CA RP A1 BC RQ 三点共线 4 已知线束中的三直线a b c 求作直线 d 使 ab cd 1 解 设线束中心为 S 以直线 1 分别截 a b c 于 A B C 在直线 c 上 任意取一点 Q 联 AQ 交 d 于 R 联 BQ 交 a 于 P 联 PR 与 1 交于 D 图 16 则直线 SD 为所求 因为 SPQR 构成一完全四点形 AB CD 1 从而 ab cd AB CD 1 14图 15图 16图 5 设 AD BE CF 为 ABC 的三高线 EF BC D 求证 BC DD 1 在等腰三角形 AB AC 的情况 这命题给出什么结论 证明 设 P 为 ABC 的垂心 由完全四点形 AFPE 图 17 的性质 得 BC DD 1 在等腰 ABC 中 若 AB AC D 为垂足 因而 D 为 BC 的中点 BC DD 1 所以 D 为 BC 直线上的无穷远点 因而 FE BC 即在等腰三角形中 底边的顶点到两腰的垂足的联线平行于底边 第五章射影坐标系和射影变换第五章射影坐标系和射影变换 1 将一维笛氏坐标与射影坐标的关系 0 1 x x 以齐次坐标表达 解设一维笛氏坐标系中 一点的坐标为 x 则齐次坐标为 x1 x2 且 x 1 2 x x 一点的射影坐标为 齐次坐标为 1 2 且 1 2 将 和 x 代入关系式 1 有 1 12 1 2 2 x x x x 化简得 12 1212 1 0 xxxx 令 112 212 0 xx xx 且为齐次变换式 2 在直线上取笛氏坐标为 2 0 3 的三点作为射影坐标系的 A1 A2 E i 求此直线上任 一点 P 的笛氏坐标 x 与射影坐标 的关系 ii 问有没有一点 它的两种坐标相等 解 笛氏坐标0 2 3 x 射影坐标 A2A1E i 由定义 A1A2 EP 20 3x 3 2 0 2 3 0 36 xx xx 10 60 3636 x x 故 且 ii 若有一点它的两种坐标相等 即 x 则有 36 x x x 即 3x2 7x 0 17图 当 x 0 及 x 7 3 时两种坐标相等 3 在二维射影坐标系下 求直线 A1E A2E A3E 的方程和坐标 解 坐标三角形顶点 A1 1 0 0 A2 0 1 0 A3 0 0 1 和单位点 E 1 1 1 设 P x1 x2 x3 为直线 A1E 上任一点 其方程为 123 1000 111 xxx 即 x2 x3 0 线坐标为 0 1 1 直线 A2E 的方程为 123 0100 111 xxx 即 x1 x3 0 线坐标为 1 0 1 直线 A3E 的方程为 123 0010 111 xxx 即 x2 x1 0 线坐标为 1 1 0 4 写出分别通过坐标三角形的顶点 A1 A2 A3的直线方程 解 设平面上任意直线方程为 u1x1 u2x2 u3x3 0 过点 A1 1 0 0 时 u1 0 即为 u2x2 u3x3 0 过点 A2 0 1 0 时 u2 0 即为 u1x1 u3x3 0 过点 A3 0 0 1 时 u3 0 即为 u1x1 u2x2 0 5 取笛氏坐标系下三直线 x y 0 x y 1 0 x 2 0 分别作为 坐标三角形的边 A2A3 A3A1 A1A2 取 E 3 1 2 2 为单位点 求一点的射影坐标 x1 x2 x3 与笛氏坐标 x y t 的关系 解 E 3 1 2 2 e1 1 2 e2 1 2 e3 1 2 图 18 任意一点 M x y 到三边的距离为 1 2 xy 2 1 2 xy 3 2 1 x 射影坐标 x1 x2 x3 与笛氏坐标的关系为 x1 1 1 e x y x2 2 2 e x y t x3 3 3 e 2x 4t 即 1 2 3 110 11160 24 204 xxy xxyt xxt 且 18图 6 从变换式 1123 2123 3123 1 xxxx xxxx xxxx 求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程 解 A1 A2 A3 三边 A1 A2 x 3 0 A1 A3 x 2 0 A2 A3 x 1 0 从变换式 1 可求得 A1 A2 A3 的三边在坐标系 A1A2A3下的方程 A1 A2 的方程为 x 3 0 即 x1 x2 x3 0 A1 A3 的方程为 x 2 0 即 x1 x2 x3 0 A2 A3 的方程为 x 1 0 即 x1 x2 x3 0 由 1 可求出逆变换式为 123 213 312 2 xxx xxx xxx A1A2A3的三边 A1A2 x3 0 A1A3 x2 0 A2A3 x1 0 从变换式 2 可求得 A1A2A3的三边在坐标系 A1 A2 A3 下的方程 x 1 x 2 0 即 A1A2的方程 x 1 x 3 0 即 A1A3的方程 x 2 x 3 0 即 A2A3的方程 7 若有两个坐标系 同以 A1A2A3为坐标三角形 但单位点不同 那么两种坐标间的 转换式为何 解 设变换式为 111 112213 3 221 122223 3 331 132233 3 0 ij xa xa xa x xa xa xa xa xa xa xa x 已知 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 分别代入变换式 得 1 a11 a21 0 a31 0 2 a22 a12 0 a32 0 3 a33 a13 0 a23 0 故有 111 1 222211 2233 333 3 0 ij xa x xa xaa a a xa x 又 1 1 1 a b c 11 22 33 aa ba ca 即a b c a11 a22 a33 故变换式为 11 22 33 0 ij xax xbxaabc xcx 8 在拓广欧氏平面上求平移 xxa yyb 的二重元素 解 设 x 1 3 x x y 2 3 x x 则有 113 223 33 xxax xxbx xx 1 求二重点 3 10 01010 001 a b 由得 即 1 为三重根 将 1 代入方程组 13 23 3 1 0 1 0 1 0 xax xbx x 解得 3 0 x 所以在有限欧氏平面上 在平移变换下无二重元素 在拓广欧氏平面上 1 上的所有点 x1 x2 0 皆为二重点 2 求二重直线 1 为三重根 将 1 代入方程组 1 2 123 1 0 1 0 1 0 u u aubuu 得 u1 u2可取任意数 且 au1 bu2 0u3 0 所以二重直线是通过点 a b 0 的一切直线 即以 b a 为斜率的平行线束及无穷远 线 这平行线束即平移方向的直线集合 9 求射影变换 11 22 33 1 xx xx xx 的二重元素 解 i 求二重点 二重点 x1 x2 x3 应满足 1 2 3 1 0 1 0 2 1 0 x x x 2 100 0100110 001 由得 1 1 为二重根 2 1 为单根 将 1 1 代入 2 式得 x1 0 x2 x3为任意数 所以二重点为 0 x2 x3 但 x2 x3不同时为零 此为坐标三角形的边 x1 0 上的一切点 将 2 1 代入 2 式得二重点 x1 0 0 此为坐标三角形的顶点 A1 1 0 0 ii 求二重直线 1 1 及 2 1 将 1 1 代入 1 2 3 1 0 1 0 3 1 0 u u u 得二重直线 u1 0 即过 A1 1 0 0 的一切直 线 将 1 代入 3 得二重直线 x1 0 为坐标三角形的边 A2A3 10 求射影变换 112 22 33 1 xxx xx xx 的二重元素 解 i 求二重点 x1 x2 x3 满足 12 2 3 1 0 1 0 2 1 0 xx x x 3 110 010010 001 由得 有三重根 1 将 1 代入 2 式得二重点为 x2 0 即坐标三角形的边 A1A3上所有的点 ii 求二重直线 1 为三重根 将 1 代入 1 12 3 1 0 1 0 3 1 0 u uu u 得 u1 0 u2 u3为任意数 即二重直线为以 A1 1 0 0 为中心的线束 11 求射影变换 112 212 3123 4 63 1 xxx xxx xxxx 的二重元素 解 i 求二重点 二重点 x1 x2 x3 满足 12 12 123 4 0 6 3 0 2 1 0 xx xx xxx 410 6300 111 由 得 1 2 3 0 所以特征根 1 2 3 取 1 代入 2 得二重点为 0 0 x3 即 0 0 1 取 2 代入 2 得二重点为 1 6 5 取 3代入 2 得二重点为 1 1 0 ii 求二重直线 特征根 1 2 3 取 1 代入 123 123 3 4 60 3 0 3 1 0 uuu uuu u 得二重直线为 1 1 1 取 2 代入 3 得二重直线为 1 1 0 取 3代入 3 得二重直线为 6 1 0 12 证明射影变换 112 223 33 1 xaxx xaxx xax 只有一个二重点及通过该点的一条二重直线 证 若有二重点 x1 x2 x3 则满足 12 23 3 0 0 2 0 axx axx ax 3 10 010 0 00 a aa a 由 得 即 a 为三重根 将 a 代入 2 得二重点为 1 0 0 若有二重直线 u1 u2 u3 得 a 为三重根 将 a 代入 1 12 23 0 0 0 au uau uau 得二重直线为 0 0 u3 即 x3 0 所以二重直线 A1A2通过二重点 A1 1 0 0 13 i 求变换 x 21 x x y 21 y x 的二重点 ii 设 O 为原点 P 为直线 x 1 上任一点 m 为直线 OP 上一点 M 的对应点 求交比 OP MM iii 从这个交比得出什么结论 解出逆变换式以验证这结论 解 i 求二重点 由题设有 x 21 x x 解出 x 0 1 y 21 y x 化简为 y 2x 2 0 所以 x 1 时 y 为任何值都行 故二重点为 0 0 及直线 x 1 上的任意点 ii 交比 OP MM 01 xx 0 1 x 21 x x 1 iii 从原变换求其逆变换 x 21 x x x 21 x x y 21 y x y 21 y x 所以在每条直线 OP 上有一个对合对应 对合的两个二重点是原点及 P 点 14 求证 1111 RSTTS R 这里的 R S T 表示变换 证 设 A T A A S A A R A A RST A 则 RST 1 A A 而 R 1 A A S 1 A A T 1 A A 1111 RSTTS R 15 证明直线上非奇异射影变换 1112 111 1122 221 1222 2122 0 aa xa xa x A xa xa x aa 构成群 证 设 T 1112 111 1122 221 1222 2122 0 aa xa xa x A xa xa x aa S 1112 111 1122 221 1222 2122 0 bb xb xb x A xb xb x bb 所以 S T 111211121112 111 1122 221 1222 212221222122 0 ccaabb xc xc x D xc xc x ccaabb 故直线上非奇异射影变换之积仍为直线上非奇异射影变换 又因为T 1 2 11121112 111 121 2 212 1222 21222122 0 AAaa xA xA x D xA xA x AAaa 故直线上非奇异射影变换之逆仍为直线上非奇异射影变换 所以直线上非奇异射影变换构成群 16 证明直线上非奇异射影变换 1112 111 1122 221 1222 2122 0 aa xa xa x A xa xa x aa 构成群 证 设 T 1112 111 1122 221 1222 2122 0 aa xa xa x A xa xa x aa S 1112 111 1122 221 1222 2122 0 bb xb xb x A xb xb x bb 所以 S T 111211121112 111 1122 221 1222 212221222122 0 ccaabb xc xc x D xc xc x ccaabb 故直线上非奇异射影变换之积仍为直线上非奇异射影变换 又因为T 1 2 11121112 111 121 2 212 1222 21222122 0 AAaa xA xA x D xA xA x AAaa 故直线上非奇异射影变换之逆仍为直线上非奇异射影变换 所以直线上非奇异射影变换构成群 17 证明直线上非奇异射影变换 1112 111 1122 221 1222 2122 0 aa xa xa x A xa xa x aa 不构成群 证 设 T 1112 111 1122 221 1222 2122 0 aa xa xa x A xa xa x aa S 1112 111 1122 221 1222 2122 0 bb xb xb x A xb xb x bb 即直线上行列式 0 的非奇异射影变换之积不再是直线上行列式 0 的非奇异射影 变换 故不构成群 18 证明绕原点的全体旋转变换构成群 证 设 T cossin sincos xxy yxy 且 A cossin sincos 1 S cossin sincos xxy yxy 且 cossin 1 sincos A 所以 S T cos sin sin cos xxy yxy 且 cos sin 1 sin cos D 故旋转变换之积仍为旋转变换 又因为T 1 cos sin cossin sin cos sincos xxyxxy yxyyxy 且A 1 cossin 1 sincos 故旋转变换之逆仍为旋转变换 所以绕原点的旋转变换构成群 第六章第六章二次曲线的射影性质二次曲线的射影性质 1 试求二阶曲线的方程 它是由两个射影线束 x1 x3 0 与 x2 x3 0 1 2 所决定的 解 1 2 1 由 x1 x3 0 1 3 2 x x x2 x3 0 2 3 3 x x 将 2 3 代入 1 得 1 3132 213313 1 313 3 1 2 0 2 2 x xxxx x xxx xx x xxx x 故所求二阶曲线的方程为 2 1 2231 33 20 x xx xx xx 2 在平面上给定四点 A B C D 其中无三点共线 求满足条件 P AB CD 定值 k 的点 P 的轨迹 解 由本章 6 1 定理 3 给定无三点共线的任意五 点 可决定唯一的二阶曲线 由定理 4 二阶 曲线上四点与其上任意第五点所联直线的交 比为常数 因此 此题关键是作出一点 E 使 E AB CD k 则满足条件 P AB CD k 假设 E 点已作出 过无三点共线的五点 A B C D E 可唯一决定一条二阶曲线 作法 过 A 任作一 直线1与直线 CD 交于 A 再在 CD 上作 B 使 A B CD k 然后连接 B B 交1于 E 则二阶曲线唯一确定之后 在其上任取一点 P 都有 P AB CD E AB CD E A B CD k 图 18 3 建立一个透视对应使以 A1 1 0 0 为中心的线束对应于以 A2 0 1 0 为中心的 线束 并求这两透视线束所产生的变态二阶曲线的方程 解 因为 2 3 0 0 x x 的交点为 A1 过 A1的线束方程为 x2 x3 0 1 18图 又 1 3 0 0 x x 的交点 A2 过 A2的线束方程为 x1 x3 0 2 若线束 A1 线束 A2 则 0 3 将 1 2 代入 3 得 x2 x1 x3 x3 a x1 x3 0 4 若线束 A1 线束 A2 则 x3 0 为自对应直线 即 x3 0 变为 x3 0 即 3 式中 时对应于 0 132 33 0 0 xxx xx 化简为 x3 x1 x2 x3 0 且 0 5 若 A3 0 0 1 在 5 式所表示曲线 上 则有 0 再 E 1 1 1 在 5 式所表示曲线 上 则有 0 这时 5 式变为 x3 ax1 ax2 0 a 0 二透视线束产生的变态二阶曲线的方程为 x3 x1 x2 0 4 给定二次曲线上五点 求作曲线上另外一些点 解 图 19 已知二次曲线上五点 1 2 3 4 5 根据巴斯卜逆定理可作出二次曲线上其余的点 作法 12 45 A 过 A 任作一直线 P 作为巴斯卡线 34 P C 23 P B 所以 1C 5B 6 即为二次曲线上的 另一点 因为 1 2 3 4 5 五点决定唯一的二次曲线 由巴斯卡定理及作图知 点 6 在 上 当直线 P 变动时 得到不同位置的点 6 5 给定一二次曲线上五点 利用巴斯卡定理作曲线在此五点之一的切线 解 图 20 已知二次曲线 上五点 1 2 3 4 P 令 P 5 6 则 12 45 A 16 34 C AC 23 B 则 PB 即为所求的以 P 为切点的切线 由巴斯卡定理得证 6 设六角形的对边互相平行 求证这六角形内接于一二次曲线