高考数学难题训练.pdf

1 26 较难题训练 已知向量 a b 满足 a 1 b 2 a b a 0 则 a 与 b 的夹角为 答案 试题分析 由得夹角为 考点 向量数量积运算 点评 设命题为 若 则关于的方程有实数根 试写出它的否命题 逆命题和逆否命 题 并分别判断它们的真假 答案 否命题为 若 则关于的方程没有实数根 假命题 逆命题为 若关于的方程有实数根 则 假命题 逆否命题 若关于的方程没有实数根 则 真命题 解 否命题为 若 则关于的方程没有实数根 假命题 逆命题为 若关于的方程有实数根 则 假命题 逆否命题 若关于的方程没有实数根 则 由方程的判别式得 即 方程有实根 使 方程有实数根 原命题为真 从而逆否命题为真 但方程有实根 必须 不能推出 故逆命题为假 已知 tan tan 是方程 x2 x 2 0 的两个根 且 0 tan 0 则 0 0 3 时 采 用了不等式放缩后易证 n 3 时 3 先确定 可得 然后可以利用此不等式进行放缩 这是解决 此题的突破口 1 依题意点的坐标为 2 分 4 分 2 由 当时 3 26 较难题训练 8 分 3 所以易证 当时 当时取 11 分 另一方面 当时 有 又 所以 对任意的 都有 14 分 设函数 且 其中是自然对数的底数 1 求与的关系 4 26 较难题训练 2 若在其定义域内为单调函数 求的取值范围 3 设 若在上至少存在一点 使得 成立 求实数的 取值范围 答案 1 2 3 解析 本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用 1 利用题目中的条件 f e 的值 得到 p q 的关系式 2 因为函数在其定义域内为单调函数 那么导函数应该是恒大于等于零或者恒小于等于零 那么得到参 数的范围 3 构造函数 通过研究函数的最值 得到参数的范围 解 1 由题意得 而 所以 的关系为 2 由 1 知 令 要使在其定义域内是单调函数 只需在内满 足 恒成立 当时 因为 所以 0 0 在内是单调递减函数 即适合题意 当 0 时 其图像为开口向上的抛物线 对称轴为 5 26 较难题训练 只需 即 在内为单调递增函数 故适合题意 当 0 时 其图像为开口向下的抛物线 对称轴为 只要 即时 在恒成立 故 0 适合题意 综上所述 的取值范围为 3 在上是减函数 时 时 即 当时 由 2 知在上递减 2 不合题意 当 0 1 时 由 又由 2 知当时 在上是增函数 不合题意 当时 由 2 知在上是增函数 2 又在上是减函数 故只需 而 即 2 解得 综上 的取值范围是 已知函数 求函数的极大值 6 26 较难题训练 若对满足的任意实数恒成立 求实数的取值范围 这里 是自然对数的底数 求证 对任意正数 恒有 答案 极大值为 见解析 解析 的增区间为 减区间为和 极大值 为 原不等式可化为由 知 时 的最大值为 的最大值为 由恒成立的意义知道 从而 设 则 当时 故在上是减函数 又当 是正实数时 7 26 较难题训练 由的单调性有 即 如图 已知椭圆的离心率为 以该椭圆上的点和椭圆的左 右焦点 为顶点的三角形的周长为 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设为该双曲线上异于顶点 的任一点 直线和与椭圆的交点分别为和 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 的斜率分别为 证明 是否存在常数 使得恒成立 若存在 求的值 若不存在 请 说明理由 答案 II III 见解析 解析 本试题主要是考查了双曲线的方程和椭圆方程的求解以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用 1 根据椭圆的性质和双曲线的性质得到参数的值 求解结论 2 联立方程组 利用韦达定理和判别式得到证明 3 假设存在常数 k 满足题意 则可结合韦达定理得到长度关系进而得到结论 解 由题意知 椭圆离心率为 得 又 所以可解得 8 26 较难题训练 所以 所以椭圆的标准方程为 所以椭圆的焦点 坐标为 0 因为双曲线为等轴双曲线 且顶点是该椭圆的焦点 所以该双曲线的标准方程为 已知函数 求函数的单调区间和最小值 9 26 较难题训练 若函数在上是最小值为 求的值 当 其中 2 718 28 是自然对数的底数 答案 解析 I 求导 利用导数大 小 于零 求其单调增 减 区间即可 然后再研究出极值和最值 II 再分当和两种情况研究其单调性确定其最小值 根据最小值为建 立关于 a 的方程 求出 a 的值 III 解本小题的关键是由 I 可知当时 有 即 从而可得 解 同理 令 f x 单调递增区间为 单调递减区间为 由此可知 当时 F x 在上单调递增 舍去 10 26 较难题训练 当时 在单调递减 在单调递增 若 F x 在上单调递增 舍 若 在单调递减 在单调递增 若 F x 在上单调递减 舍 综上所述 由 I 可知当时 有 即 已知集合的元素全为实数 且满足 若 则 1 若 求出中其它所有元素 2 0 是不是集合中的元素 请你设计一个实数 再求出中的所有元素 3 根据 1 2 你能得出什么结论 答案 1 中元素为 2 3 A 中的元素为 4 的倍数 解析 11 26 较难题训练 本题考查的知识点是元素与集合关系的判断 其中根据已知中若 a A 则 A 将已知条件代入进行递推是解答本题的关键 在 3 的解答中易忽略使 三式均有意义时 对 a 的限制 而不能得到满分 1 由已知中若 a A 则 A 由 a 2 A 可得 再由 2 A 进而得到 A 中的所有元素 2 根据已知中若 a A 则 A 令 0 A 可得 1 A 根据此时 中分母为 0 式子无意义 即可得到结论 3 根据已知中若 a A 则 A 结合 1 的结论可得 A 而根据 2 的结论 可得 要使 三式 均有意义 应有 a 0 a 1 解 1 由 则 又由 得 再由 得 而 得 故中元素为 4 分 2 不是的元素 若 则 而当时 不存在 故 0 不是的元 素 取 可得 8 分 3 猜想 中没有元素 已知 A 中的一个元素可得其余 3 个 且每两个互为负倒数 A 中元素个数为 4 的倍数 10 分 由上题知 若 则无解 故 12 分 设 则 12 26 较难题训练 且 显然 若 则 得 无实数解 同理 故四个互不相等的数 故 A 中的元素为 4 的倍数 14 分 如图 在以点为圆心 为直径的半圆中 是半圆弧上一点 曲线是满足为定值的动点的轨迹 且曲线过点 建立适当的平面直角坐标系 求曲线的方程 设过点的直线 l 与曲线相交于不同的两点 若 的面积不小于 求直线斜率的取值范围 答案 1 1 1 1 解析 I 先建系 然后根据为定值 可确定点 M 的轨迹是双曲线 然后按照求双曲线标准方程的方法求解即可 II 先设直线 l 的方程为 y kx 2 代入双曲线 C 的方程并整理得 1 k2 x2 4kx 6 0 根据条件可知 从而得到 k 的取值范围 再利用弦长公式和韦达定理用 k 表示出 EF 再利用点到直线的距离公式求出原点 O 到直线 l 的距离 从而 13 26 较难题训练 表示出三角形的面积 这样三角形的面积就表示成了关于 k 的函数 再根据 得到关于 k 的不等式 从而解出 k 的取值范围 再与前面 k 的取值范围求交集即可 解法 1 以 O 为原点 AB OD 所在直线分别为 x 轴 y 轴 建立平面直角坐标系 则 A 2 0 B 2 0 D 0 2 P 依题意得 MA MB PA PB AB 4 曲线 C 是以原点为中心 A B 为焦点的双曲线 设实平轴长为 a 虚半轴长为 b 半焦距为 c 则 c 2 2a 2 a2 2 b2 c2 a2 2 曲线 C 的方程为 解法 2 同解法 1 建立平面直角坐标系 则依题意可得 MA MB PA PB AB 4 曲线 C 是以原点为中心 A B 为焦点的双曲线 设双曲线的方程为 0 b 0 则由解得 a2 b2 2 曲线 C 的方程为 解法 1 依题意 可设直线 l 的方程为 y kx 2 代入双曲线 C 的方程并整理得 1 k2 x2 4kx 6 0 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E F k 1 1 1 1 设 E x y F x2 y2 则由 式得 x1 x2 于是 14 26 较难题训练 EF 而原点 O 到直线 l 的距离 d S DEF 若 OEF 面积不小于 2 即 S OEF 则有 综合 知 直线 l 的斜率的取值范围为 1 1 1 1 解法 2 依题意 可设直线 l 的方程为 y kx 2 代入双曲线 C 的方程并整理 得 1 k2 x2 4kx 6 0 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E F k 1 1 1 1 设 E x1 y1 F x2 y2 则由 式得 x1 x2 当 E F 在同一去上时 如图 1 所示 S OEF 当 E F 在不同支上时 如图 2 所示 S ODE 综上得 S OEF 于是 由 OD 2 及 式 得 S OEF 15 26 较难题训练 若 OEF 面积不小于 2 综合 知 直线 l 的斜率的取值范围为 1 1 1 1 已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根 且 I 求 II 求数列的前项和 记 求证 答案 I 当时 所以 当时 所以 当时 所以时 当时 所以 II III 证明 见解析 解析 本题主要考查等差 等比数列的基本知识 考查运算及推理能力 本题属难题 一般要求做 1 2 即可 让学生掌握常见方法 对 3 不做要求 1 用解方程或根与系数的关系表示 a2k 1 a2k k 赋值即可 2 由 S2n a1 a2 a2n 1 a2n 可分组求和 3 Tn 复杂 常用放缩法 但较难 16 26 较难题训练 I 解 方程的两个根为 当时 所以 当时 所以 当时 所以时 当时 所以 II 解 III 证明 所以 当时 同时 综上 当时 知定义在 R 上的函数和数列满足下列条件 其中 a 为常数 k 为非零常数 令 证明数列是等比数列 求数列的通项公式 当时 求 17 26 较难题训练 答案 证明 见解析 数列的通项公式为 当时 解析 本题考查数列的性质和应用 解题时要认真审题 仔细解答 1 由题意知 an f an 1 f an f an 1 k an an 1 n 2 3 4 得 an 1 an f an f an 1 k an an 1 n 2 3 4 由此可知 an an 1 k an an 1 n 2 3 4 得 k 1 2 由 b1 a2 a1 0 知 b2 a3 a2 f a2 f a1 k a2 a1 0 因此 bn an 1 an f an f an 1 k an an 1 kn 1 a2 a1 0 由此可知数列 bn 是一个公比为 k 的等比数列 3 an 是等比数列的充要条件是 f x kx k 1 先进行充分性证明 若 f x kx k 1 则 an 是等比数列 再进行必要性证明 若 an 是等比数列 f x kx k 1 证明 由 可得 由数学归纳法可证 由题设条件 当时 因此 数列是一个公比为 k 的等比数列 解 由 1 知 当时 当时 而 所以 当时 上式对也成立 所以 数列 的通项公式为 当时 18 26 较难题训练 上式对也成立 所以 数列的通项公式为 解 当时 自然状态下的鱼类是一种可再生资源 为持续利用这一资源 需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼 群总量的影响 用 xn表示某鱼群在第 n 年年初的总量 n N 且 x1 0 不考虑其它因素 设在第 n 年内鱼 群的繁殖量及捕捞量都与 xn成正比 死亡量与 xn2成正比 这些比例系数依次为正常数 a b c 求 xn 1与 xn的关系式 猜测 当且仅当 x1 a b c 满足什么条件时 每年年初鱼群的总量保持不变 不要求证明 设 a 2 b 0 c 1 为保证对任意 x1 0 2 都有 xn 0 n N 则捕捞强度 b 的最大允许值是 多少 证明你的结论 答案 I 从第 n 年初到第 n 1 年初 鱼群的繁殖量为 axn 被捕捞量为 bxn 死亡量为 II 猜测 当且仅当 a b 且时 每年年初鱼群的总量保持不变 为保证对任意 x1 0 2 都有 xn 0 n N 则捕捞强度 b 的最大允许值是 1 解析 本题是对数列 函数 数学归纳法等知识的综合考查 在作数列方面的应用题时 一定要认真真审题 仔 细解答 避免错误 利用题中的关系求出鱼群的繁殖量 被捕捞量和死亡量就可得到 xn 1 与 xn 的关系式 每年年初鱼群的总量保持不变就是 xn 恒等于 x1 转化为 xn 1 xn 0 恒成立 再利用 的结论 就可找到 x1 a b c 所满足的条件 先利用 的结论找到关于 xn 和 b 的不等式 再利用 x1 0 2 求出 b 的取值范围以及 b 的最大允许值 最后在用数学归纳法进行证明即可 解 I 从第 n 年初到第 n 1 年初 鱼群的繁殖量为 axn 被捕捞量为 bxn 死亡量为 19 26 较难题训练 II 若每年年初鱼群总量保持不变 则 xn恒等于 x1 n N 从而由 式得 因为 x1 0 所以 a b 猜测 当且仅当 a b 且时 每年年初鱼群的总量保持不变 若 b 的值使得 xn 0 n N 由 xn 1 xn 3 b xn n N 知 0 xn 3 b n N 特别地 有 0 x1 3 b 即 0 b0 又因为 xk 1 xk 2 xk xk 1 2 1 10 n N 则捕捞强度 b 的最大允许值是 1 若 Sn和 Tn分别表示数列 an 和 bn 的前 n 项和 对任意正整数 n 1 求数列 bn 的通项公式 2 在平面直角坐标系内 直线 ln的斜率为 bn 且与抛物线 y x2有且仅有一个交点 与 y 轴交 于点 Dn 记 求 dn 3 若的值 答案 20 26 较难题训练 1 2 3 解析 本试题主要是考查的直线与抛物线的位置关系 以及数列的求和 和数列通项公式的运用 1 当 n 1 时也适合 2 设出直线方程与抛物线联立方程组得到设 ln方程为 由有 直线 ln与抛物有且只有一个交点 3 因为 裂项求和得到结论 1 当 n 1 时也适合 2 设 ln方程为 由有 直线 ln与抛物有且只有一个交点 3 故 21 26 较难题训练 已知函数 e 为自然对数的底数 当 a 1 时 求函数 f x 的单调区间 若函数 f x 在上无零点 求 a 的最小值 III 若对任意给定的 在上总存在两个不同的 使得 成立 求 a 的取值范围 答案 的单调减区间为单调增区间为 若函数在上无零点 则的最小值为 III 当时 对任意给定的在上总存在两个不同的 使成立 解析 I 当 a 1 时 解析式确定直接利用得到函数 f x 的增 减 区间 II 解本小题的关键是先确定在上恒成立不可能 故要使函数在上无零 点 只要对任意的恒成立 即对恒成立 再构造函数利用导数求 l x 的最大值即可 III 解本小题的突破口是当时 函数 单调递增 当时 函数 单调递减 所以 函数当时 不合题 意 再确定时的情况 解 当时 由 22 26 较难题训练 故的单调减区间为单调增区间为 4 分 因为在上恒成立不可能 故要使函数在上无零点 只要对任意的恒成立 即对恒成立 令则再令 在上为减函数 于是 从而 于是在上为增函数 故要使恒成立 只要 综上 若函数在上无零点 则的最小值为 8 分 III 当时 函数单调递增 当时 函数 单调递减 所以 函数当时 不合题 意 当时 故必需满足 此时 当 变化时的变化情况如下 0 单调减 最小值 单调增 23 26 较难题训练 对任意给定的 在区间上总存在两个不同的 使得成立 当且仅当满足下列条件 令 令 得 来源 Z xx k Com 当时 函数单调递增 当时 函数单调递减 所以 对任意有即 对任意恒成立 由 式解得 综合 可知 当时 对任意给定的在上总存在两个不同的 使成立 14 分 设函数 求的单调区间 证明 当时 证明 当 且 时 1 2 24 26 较难题训练 答案 见解析 见解析 解析 本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用 求解函数的单调区间和证明不等是的综合运用 1 先求解函数的定义域和函数的导数 然后结合导数的符号判定单调区间 2 运用第一问中的结论 得到不等式的放缩得到证明 3 结合第一问和第二问的基础上 进一步放缩法得到结论 解 由 有 2 分 当时 时 单调递增 当时 时 单调递减 所以的单调递增区间为 单调递减区间为 4 分 设 则 6 分 由 知 在单调递减 即是减函数 而 所以 得 得 故 8 分 1 由 及柯西不等式可知 25 26 较难题训练 所以 11 分 2 由 1 得 又 由 可知 即 即 则 故 14 分 知一个数列的各项都是 1 或 2 首项为 1 且在第个 1 和第个 1 之间有个 2 即 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 记数列的前项的和为 参考 31 32 992 3