立体几何中的折叠与展开问题.doc

立体几何中的折叠与展开问题一、折叠与展开中的垂直问题例1. 将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上求证：分析：欲证，只须证与所在平面垂直；而要证平面，只须证且AD因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了证明：由题意，又斜线在平面ABCD上的射影是BA， BAAD，由三垂线定理，得， 平面，而平面 例2.如图在ABC中， ADBC， ED=2AE， 过E作FGBC， 且将AFG沿FG折起，使AED=60，求证:AE平面ABC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： FGBC，ADBCAEFGAEBC设AE=a，则ED=2a由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2AEEDcos60 =3a2ED2=AD2+AE2ADAEAE平面ABC例3. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将ABD和ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD平面ABE.解析：过D作DFAB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，DFE； 二、折叠与展开中的空间角问题例4. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起， 使点A在平面BCD上的射影A落在BC上，求二面角ABC-C的大小。 这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AEBD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=ABAD/BD=3*4/5=12/5，OA=OE=BOtgcCBD，而BO=AB2/BD=9/5, tgCBD，故OA=27/20。在RtAAO中，AAO=90所以cosAOA=AO/AO=9/16，tyAOA=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。 例5. 在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，ab，E、F分别是AD、BC的中点，以EF为折痕把四边形EFCD折起，当时，二面角CEFB的平面角的余弦值等于 （ ）A0B CD解析：由图可知 CE=BE= 当时，CB=。 为所求平面角，由余弦定理得cos。 选（C）。例6. 一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则BOD等于( )A.120 B.150 C.135 D.90解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BOa,DOa，连AB，因为DAAE，DABE，故DA面AEB，所以DAAB，故DAB为直角三角形，BD=a.又在BOD中，由余弦定理可得 cosBOD-，所以BOD120评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。例7 .如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.(1)求证：ADEC，且与二面角FADC的大小无关；(2)FC与FE所成的角为30时，求二面角FADC的余弦值.解析：(1)正六边形ABCDEF，在折叠前有ADEC，设AD与EC交于M，折叠后即有ADME，ADMC.则AD平面EMC，无论EMC的大小如何，总有ADEC.(2)利用余弦定理，有cosEMC三、折叠与展开中的距离与体积问题例8. 如图，矩形ABCD中，AB2，BC2，以AC为轴翻折半平面，使二平面角BACD为120，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距离；(2)BD和AC所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解 分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FBBE，过B作BBAC，交点B，则四边形EFBB是矩形.ACDF，ACBF，AC平面BFD，即DFB就是二面角BACD的平面角，亦即DFB120.过D作DOBF，垂足为O.DO平面DFB，AC平面DFB.DOAF，DO平面ABC.在RtADC中，CD2，AD2，DF，ODDFsin60.(2)在DFB中，DB3.又由(1)可知，ACBB，AC平面DFB平面DFB.BB平面DFB，DB B是直角三角形，又BBEF2.tanDBB.ACBB,AC与BD所成的角就是DBB，即为arctan.说明 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF、BE上两点B、D间的距离，先求出BD2EF2+DF2+BE2-2DFBEcos12013，从而得出DBBarccos.例9. 正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.则MN .例10. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为A. B. C. D解析