第18章_分析力学基础(动力学普遍方程_拉格朗日方程).ppt

1 问题 用虚功方程可解几个代数未知量 看例子 平面平衡自由刚体 几个自由度 给刚体虚位移 对应平动 对应转动 用虚功方程解决过若干问题 即 一个变分方程可对应几个独立的代数方程 独立代数方程数 广义坐标数 广义坐标的变分 虚功表达式中广义坐标的变分的系数 称为广义力Qi 可见 虚功方程等价于Qi 0 i 1 2 k 2 在以下 拉格朗日方程 的讲解中 会用到广义力的概念 故下面首先介绍广义力 注2 对应每一个广义坐标 有一个广义力 广义力是代数量而非矢量 广义力不作用在某个物体上 故也无法画出 注1 对单个自由刚体 该组方程等同于平衡方程 对非自由质点系 该组方程不同于平衡方程 见后面例1 3 第18章动力学普遍方程拉格朗日方程 18 1广义力 一 广义力的概念 质点系任一质点坐标可用广义坐标qh h 1 2 k 表示 求变分 得用广义坐标变分表示的虚位移 该质点上的力所作虚功 整个质点系上所有 主动 力所作虚功 4 二 广义力的求法 1 解析法 由各力及其作用点求 用直角坐标表示 2 几何法 由虚功求 质点系虚功 若只给定第h个广义坐标的虚位移 其余广义坐标的虚位移为0 则 5 例1 书上例17 10 解1 解析法 建立坐标系如图 选 1 2为广义坐标 各力在坐标轴上的投影为 各力作用点坐标为 代入广义力公式 过程略 你可以再详细些 得 计算双摆的广义力 已知摆长各为l1 l2 重量各为W1 W2 力P 2自由度 6 解2 几何法 选 1 2为广义坐标 对应虚位移为 1 2 先令 1 0 2 0 如图 a 所有力在此虚位移上的虚功为 所以 对应 1的广义力为 7 再令 2 0 1 0 如图 b 所以 对应 2的广义力为 18 2动力学普遍方程 拉格朗日是分析力学的创始人 回到动力学问题上来 所有力在此虚位移上的虚功为 8 动力学普遍方程的思想是 对n个质点的质点系 动力学问题 形式上的平衡问题 动力学普遍方程 注 上式中 不一定指质点 而一般可理解为力或力偶个数 当质点系静止时 静平衡 退化为虚功方程 即 对动力学问题 给系统加上惯性力 再应用虚位移原理即可解题 9 例2 补充 由例12 1改 求反力 图示系统 均质滚子A 滑轮B重量和半径均为Q和r 滚子纯滚动 三角块固定不动 倾角为 重量为G 重物重量P 试用动力学普遍方程求地面给三角块的水平反力 分析 此题已经由动量定理 质心运动定理和达朗贝尔原理分别求解过 欲用动力学普遍方程求解三角块水平反力 需解除其水平约束 研究整体 给各运动物体加惯性力和惯性力偶 但有关加速度和角加速度未知 欲求加速度和角加速度 研究整体 不去约束 加惯性力和惯性力偶 给系统虚位移 应用动力学普遍方程可求 解题步骤 一 研究整体 若求反力 需先去其约束 画上约束力 二 画主动力 并加惯性力 偶 画运动图 给系统虚位移 三 列解方程 10 解 I 求加速度和角加速度 研究整体 不去约束 因后面要用虚位移原理 加惯性力和惯性力偶 如图 其中惯性力和惯性力偶 给系统虚位移 如图 其中虚位移的关系 且 2 列动力学普遍方程 将 1 2 式代入方程 3 解得 从而 11 作业 选做18 5 试用动力学普遍方程求 注意为2自由度问题 II 求地面水平反力 研究整体 解除地面的水平约束 代之以水平反力X 加惯性力和惯性力偶 如图 给系统虚位移 如图 列动力学普遍方程 将 1 式代入上式 解得 注 由于使用动力学普遍方程较麻烦 通常不用其直接求解动力学问题 其意义在于导出拉格朗日方程 12 拉氏方程由动力学普遍方程导出 它秉承了动力学普遍方程不需考虑约束力的优点 因而 对受完整约束的多自由度多刚体系统 比其它动力学方法简单 特别是保守系统 毋需求广义力 18 3拉格朗日方程 简介 简称拉氏方程 拉格朗日推导出两种形式的拉氏方程 即第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程 第一类方程使用直角坐标及约束方程 用待定乘子法 因而方程组中的方程很多 第二类方程使用广义坐标 广义力及动能的概念 使方程组中的方程数大大减少 为广义坐标数或自由度数 一般 此处亦如此 的拉格朗日方程均指第二类方程 一 拉格朗日方程 二 保守系统中的拉格朗日方程 其中L T V称为拉格朗日函数或动势 1 2 注1 拉格朗日方程提供了k个 系统自由度数 广义坐标的 微分方程 注2 通常用拉格朗日方程建立系统的动力学方程 特别是振动系统的振动微分方程 或求加速度 而不用其求速度 13 解题步骤 一 研究整体 一般不去约束 选广义坐标 二 画主动力 并分析速度 求拉格朗日函数或广义力 三 列解方程 例3 补充 例12 1 图示系统 均质滚子A 滑轮B重量和半径均为Q和r 滚子纯滚动 三角块固定不动 倾角为 重物重量P 试用拉格朗日方程求滚子质心加速度 系统为1个自由度保守系统 故用保守系统拉格朗日方程求解 分析 选广义坐标s 写任意位置下系统的拉格朗日函数 L T V 由上式可写1个方程 其中所含待求量即为所求 此时 k 1 14 拉格朗日方程 其中 则 即 则拉格朗日函数 解 设重物从静止上升s 选s为广义坐标 在任意位置时系统动能 设系统起始位置为0势能位置 系统势能为 15 例4 书例18 3 2自由度系统 较难 已知 均质圆柱质量为M 半径r 纯滚动 摆长l 不计质量 小球视为集中质量 质量m 试用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 分析 为2自由度保守系统 用拉氏方程求解 研究整个系统 选滚子转角 注 为方便 设为如图方向 摆转角 为广义坐标 为写系统任意位置时的动能 需先进行速度分析 解 事实上 拉格朗日方程最拿手的还不是上面1个自由度系统的动力学问题 而是多自由度系统问题 如下例 先选广义坐标 再写任意位置下系统的拉格朗日函数 由上式可写2个方程 即为所求 此时 k 2 16 OA作平面运动 选O为