二次函数及其图象.doc

快乐学习，尽在中学生在线二次函数及其图象一、内容提要（一）二次函数的解析式：1一般式：y=ax2+bx+c；其中 a0, a, b, c 为常数2顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。3交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1对称轴，顶点坐标： 2开口方向：a0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。a0时，当x 时，y随x增大而减少当x 时，y随x增大而增大（）a 时，y随x增大而减小4最值：（）a0时，当x= 时， （）a0时，当x= 时， 5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。6抛物线与x轴的位置关系：（）=b2-4ac0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（ ，0）二、典型例题：例1已知 +3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。解：由题意得 解得 m=-1y=-3x2+3x+6= , 开口向下，顶点坐标（ ），对称轴x= 。说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（ ）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。例2已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, =b2-4ac的符号，(2)求证:a-b+c0, (3)当x取何值时，y0, 当x取何值时y0。解：（1）由抛物线的开口向下，得a0， 又由 0,a、b同号，由a0得b0（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.当x=-1时，y=a-b+c0（3）由图象可知：当-3x0 ,当x1时，y0 例3已知二次函数y=(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数，且满足-1m2,试判断此抛物线的开口方向，与x轴有无交点，与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。解：-1m2.m-20, 抛物线与y轴的交点在x轴上方。=4m2-4(m-2)(m+1)=4m2-4(m2-m-2)=4m+8=4(m+1)+40.抛物线与x轴有两个不同的交点。说明：上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数y= (a0)除了解a的含义以外，还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标，即由c定点（0，c），c的正、负符号决定（或决定于）抛物线与y轴的交点在x轴上、下方，c的绝对值决定（或决定于）图象与y轴交点到x轴的距离。由y=0，得一元二次方程ax2+bx+c=0(a0).它有无实根由判别式=b2-4ac来决定：若 0，一元二次方程有两个实根x1,x2，抛物线与x轴有两交点坐标为:（ ，0）、( ,0)若 ，一元二次方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点。若 0，一元二次方程无实根，抛物线与x轴无交点，所以抛物线与x轴的交点情况与=b2-4ac的值相关。此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x轴有两个不同交点（用抛物线与y轴的交点C在x轴上方，开口向下，必与x轴有两个不同交点）。例4抛物线y=2x2-4x+4的对称轴为x=2m-2n，函数的最小值是4n-3m,求实数m、n。解：y=2x2-4x+4， 解得 说明：此例是利用顶点坐标公式构造方程组，也可利用配方法先求出抛物线的顶点坐标，再构造方程组。例5已知二次函数y=ax2+ bx+c的图象与 的图象的形状相同，开口方向相反，与直线y=x-2的两个交点的坐标为（1，n）和(m,1)，求这个二次函数的解析式及其顶点坐标。分析：交点坐标既在抛物线上，又在直线上，所以既满足二次函数的解析式，又满足一次函数的解析式，由此可求出字母n、m。解：依题意，得 y=x-2过(1,n)得n=-1, y=x-2过(m,1)得m=3. 抛物线 过（1，-1），（3，1） 解得 这个二次函数的解析式为 ，顶点坐标为（1，-1）。例6已知抛物线y=x2+ bx+c与y轴交于点Q（0，-3），图象与x 轴两交点的横坐标的平方和为15，求函数解析式及对称轴。分析：可由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值，这样只需待定“b”，即只需构造关于b的方程，由于已知条件给出图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15， ，需用一元二次方程根与系数的关系，由此作为等量关系来构造方程，解题的关键是用含b的代数式表示 。解：由点Q（0，-3）知c=-3，则抛物线的解析式为 设图象与x轴交点的横坐标为 ， 是二次方程 的两个根，由根与系数的关系得： 解得： 所求函数的解析式 ， 对称轴分别为 .由例5、例6可知用待定系数法求函数解析式一般有两条解题思路：（1）把已知条件转化为图象上一点的坐标，把坐标代入解析式构造关于“待定系数”的方程；（2）利用已知的等量关系直接构造关于“待定系数”的方程。测试选择题1已知y=(n-2)x +n+2是二次函数，那么n的值等于（）。A、2 B、-2 C、2 D、n02二次函数y=-x2-6x+k的图象顶点在x轴上，则k的值为（）。A、0 B、-9 C、9 D、以上都不对3二次函数y=1-6x-3x2的图象，顶点和对称轴分别为（）。A、(1,4) , x=1 B、(1,4), x=4C、(-1,4), x=-1 D、(-1,4), x=44直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1交点的个数是（）。A、0个 B、1个 C、2个 D、不能确定5要得到y=-2(x+2)2-3的图象，需要把抛物线y=-2x2作如下的平移（）。A、向右平移2个单位，再向上平移3个单位B、向右平移2个单位，再向下平移3个单位C、向左平移2个单位，再向上平移3个单位D、向左平移2个单位，再向下平移3个单位6已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值-1，则a与b之间的大小关系是（）。A、ab D、不能确定。7若二次函数y=-x2+2(m-1)x+2m-m2的图象的对称轴为y轴，此图象的顶点A和它与x轴二交点B、C所构成的三角形的面积是（）。 A、 B、1 C、 D、28已知二次函数y=2x2-6x+m的值永远是正数，那么m的取值范围是（）。A、m4 B、m4 C、m4 D、以上都不对9已知抛物线y=4x2-5x+k与x轴有交点，且交点都在原点的右侧，那么k的取值范围是（）。A、k0 B、0k C、00, b0, c0 B、a0, b0 C、a0, c0 D、a0, b0, c0, b=-1，故ab。7解：对称轴为y轴: - =- =0,解得m=1.二次函数解析式为：y=-x2+1,当-x2+1=0时，得：x1=-1, x2=1. 抛物线与x轴两交点为B(-1, 0)，C(1,0)BC=2，顶点A（0，1）， = BC| |=1.8解：因为抛物线开口向上，只有当=62-8m0时，抛物线与x轴无交点，抛物线整个在x轴上方，即y值永为正。9解：由题意知方程4x2-5x+k=0有两个（相同或不同）的正根x1,x2, 故应有 即 ，解得：00时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，开口向上，当a0，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大若a0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x2-x1|= 当=0图象与x轴只有一个交点；当0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0(a13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0x30，所以两个范围应为0x13；13x30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9所以，当0x13时，学生的接受能力逐步增强。当13x30时，学生的接受能力逐步下降。(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。第10分时，学生的接受能力为59。(3)x=13时，y取得最大值，所以，在第13分时，学生的接受能力最强。9( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500(5550)10=450(千克)，所以月销售利润为:(5540)450=6750(元)(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：500(x50)10千克而每千克的销售利润是:(x40)元，所以月销售利润为：y=(x40)500(x50)10=(x40)(100010x)=10x2+1400x40000(元)，y与x的函数解析式为：y =10x2+1400x40000(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，10x2+1400x40000=8000，即：x2140x+4800=0，解得：x1=60，x2=80当销售单价定为每千克60元时，月销