方差分析与回归分析之比较.pdf

第 2 8卷第 2 期 2 0 o 9年 6月 延安大学学报 自然科学版 o u r n al o f Y a n a n U n i v e r s i t y Na t u r a l S c i e n c e E d i t i o n Vo 1 2 8 N o 2 J u n 2 0 0 9 方差分析 与回归分析之 比较 乔克林 吕 佳 延安大学 数学与计算机学院 陕西 延安 7 1 6 0 0 0 摘要 方差分析与回归分析是数理统计 中常用的两种数据处理方法 本文对他们进行 比较 分析 了两种方法的区别与联 系 各 自的使用和适用范围 对教 学质量的提 高及在实际中对于有效选择此 两种统 计方 法提 供 了依 据 关键词 方差分析 回归分析 比较 中图分类号 O 2 1 2 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 4 6 0 2 X 2 0 0 9 0 2 0 0 3 4 0 3 l 引言 方差分析与 回归分析是大学生在大学学习数理 统计中遇到的很重要的两个统计分析方法 在实际 应用中也会经常用到数理统计的这两个方法 不管 是在农业 工业 医学研究等等各个方面应用非常广 泛 在资料 1 中用的是方差分析法 在资料 2 中 用的是 回归分析法 它们分析的数据很是相近 它们 之间是不是有一些联系呢 通过对方差分析与回归 分析方法的比较 使我们在讲授和学习方差分析与 回归分析时更能深入理解方差分析与回归分析的区 别与联系 并且了解在什么时候 什么样的情况下用 什么样的方法 在有关数理统计的各个教材中都介 绍了方差分析与回归分析 但对于它们之问有什么 样的区别和联系没有做出分析 本文的主要工作就 是对这两种方法进行比较 得到它们之间的一些相 同点与不同点 对教学质量的提高及在实际中对于 有效选择此两种统计方法提供选择的依据 2 变量之间的关 系 2 1 数据类型 用数据描述客观世界 是近代科学的重要特征 数字或数据几乎在我们 日常生活中每一侧 面都是最 初正确决定的基础 方差分析与 回归分析都是研究 数据的统计方法 因此首先说明一下数据的分类 一 般来说 数据分为定性数据和计数型数据及计量 型数据 一般的 定性数据和计数型数据都是离散 型的 计量型数据都是连续型的 2 2 变量之间的关系 与数理统计有关 的实际问题 中 我们会遇到各 种变量 在变量与变量之间 往往存在各种关 系 可 如下分类 不 独 立 关 系 系 独立关系 2 2 1 相关关系在实际问题 中 由于变量之间的 关系比较复杂 或者试验中误差的影响 使我们很难 得到精确的数学表达式 从而使变量之间的关系具 有不确定性 假定两个变量 与 l 可以精确测 量或可控的非随机变量 而 l 是随机变量 的变化 将使 y发生相应的变化 但是它们之间的关系是不 确定的 如果当 取得任一可能 的值 时 y相应 的服从一定的概率分布 则称随机变量 y与变量 之问存在着相关关系 取 X 时随机变量 y的数 学期望 E I 作为 X 时 y的估计值 即 多 多 l E y I 2 2 2 确定性关系 变量之间存在着完全确定的 函数关系 写成一般式为 Y 并称 收稿 日期 2 0 0 9 0 3 2 0 作者简介 乔克林 1 9 6 4 一 男 陕西佳县人 延安大学副教授 第2期 方差分析与回归分析之 比较 3 5 为 自变量 Y为因变量 例如 球的半径 R 与球的体积 之间为 2 2 3 独立关系 变量之间没有任何影响 一个变 量的变化对另一个变量的变化没有影 响 即联合分 布等于边际分布的乘积 Y P y Y F为分布函数 3 比较 以双因素等重复试验 的方差分析和二元回归分 析 为例 我们可以将它们的数据整合到表 1中如 下 总量 y的样本观测值用 Y i 1 2 z 1 2 m k 1 2 r 来 表示 因素 不 同水 平 A i 的取值用 X 1 2 z 来 表示 因素 X 不同水平 日 的取值用 J 1 2 m 来表 示 表 1 双因素等重复试验的方差分析和 二元回归分析数据整 合表 A 1 l 1 A 2 1 2 A f 3 1 方差分析得到的是 自变量 因素 对总量 y是 否具有显著影响的整体判断 也即 与 l 是否 相互独立 回归分析得到的是在不独立的情况下 自 变量与因变量之间的更加精确 的回归函数式 也即 判断相关关系的类型 在方差分析中 原假设是 Ho 1 1 2 0 日 o 2 卢 1 卢 2 卢 0 Ho 3 7l l fm 0 检验结果为 当又接受 表 明因素 A对总量 y不产生影响 否则 因素 A对总量 y的影响显著 同理 关于 风 也有 同样 的解释 即 方差 分析 只能做出因素 A与 及交互作用对总量 是否有 影响的整体判断 如果接受 说明因素 A和 B与 总量 y之 间是相互独立 的 否则 说 明它们 之间有 某种关系 而这种关系的具体表达式只能用 回归分 析的方法得到 即 多 多 l E y l 3 2 方差分析 中的因素的水平 的取值在 回归分析 中代表了 自变量的取值 方差分析中用到了总量的 很多组观测值 回归分析中只要求一组 在方差分析中取定 了因素 A及 8的各个水平 在做具体分析时 只用 到总量 Y的样本 观测值 而 不会用到各个水平 的具体值 但是各个水平 总有一 个具体 的值 与之对应 如上表 中的 X 2 m 就是具体的值 如果这些数据都是连 续 的 那么在回归分析中 l 2 1 f 2 l 2 2 X 2 m 就是 自变量 与 自变量 的取值 方差分析 中 只对总量 l 做 分析 用到 了总量 Y的很 多组 观测 值 回归分析中只需要一组 如果用上表中的数据 的话 可以用各个交互作用下的平均值 即 1 E y 诜 i 1 2 f 1 2 J 这样就会使得 回归分析的结果更加精确 3 3 方差分析不管变量 之间 因素与总量 y 的关 系有多么复杂 总能得到因素对总量 y的影响是否 显著的整体判断 回归分析只能分析出变量之间关 系比较简单 的回归 函数式 对 比较 复杂 的关 系无能 为力 方差分析若得 到因素与总量 之 问有显 著 性关系 但到底是怎样 的关系做不 出具体的回答 只 能用回归分析来得到它们之问的回归函数关系式 用上表 中的数据来 说得话 无论因素 A和 与 总量 y之间得关系有多复杂 其样本数据 的结构都 是完全一样的 分析过程不会增加任何难度 作出的 结果也只是 因素 A和因素 曰与总量 l 是否独立的 整体判断 而对于 回归分 析的特点 是在分析时首 先通过散点图得到变量 及 与总量 y之间函数 关系式的初步判断 而这种判断只能根据图形 经验 及某种理论作出 因此只能找出简单的 特殊 的函数 关系 对于一般的复杂的关系则无能为力 3 4 方差分析中的因素与总量的数据可 以是定性 的 计数的 也可以是计 量的 或者说是离散 的或连 续的 尤其方差分析对于因素是定性数据也非常有 效 而回归分析 的数据则要求是连续 的 总量也要 求是连续的 所 以回归分析对连续性变量非常有效 3 6 方差分析虽然对各种类 型的数据都可以做处 理 但是对于离散型的数据 回归分析无能为力 相 对而言就显得特别有效 但是回归分析要求数据是 连续的 显然是对连续型数据特别有效 3 5 不管是方差分析还是 回归分析都假定总量服 从正态分布 在方差分析中总量服从的正态分布为 Y N I z o r i 1 2 Z 1 2 m 在回归分析中总量 y也假定服从正态分布 Y E Y I X N 0 可以表示一元变量 也可以表示多元变量 如 表中数据为两个 自变量 的情形 同时要求方差是齐 性的 即 都是相 同的 总之 方差 分析 给出 自变量 因素 与 因变量 总量 是否相互独立 的初步判 断 不需要 自变量 因素 的具体数据 只需要因变量 总量 的观察数 据 在不独立即相关 的条件下 自变量与因变量到 底是什么样的关系类型 则需应用回归分析作出进 一 步的判断 此时需要 自变量 因素 及 因变量 总 量 的具体观察数据 得到它们之间的回归函数关 系式 多 多 I E y I 参考 文献 1 何延治 某些农业要素周期性的三种分析方法 J 延 边农学院学报 1 9 9 5 1 7 1 5 6 5 8 2 范瑜 胡永华 刘华 等 方差分析法在河流水质变化特 点分析中的应用 J 江苏环保科技 1 9 9 4 2 3 0 3 2 3 沈恒范 概率论与数理统计教程 M 北京 高等教育 出版社 2 0 0 3 责任编辑贺小林 上接第 3 3页l 参考文献 1 陈聚峰 刘名生 有限级 D i r i c h l e t 级数及随机 D i r i c h l e t 级数 J 数学物理学报 2 0 0 5 2 5 A 7 9 6 5 9 7 3 2 余家荣 丁晓 庆 田范 基 等 D i r i c h l e t级数 与 随机 D i r i c h l e t 级数的值分布 M 武汉 武汉大学 出版社 2 O0 4 3 田宏根 孙道春 郑承民 平面上的零级 D i r i c h l e t 级数 J 系统科学与数学 2 0 0 6 2 6 3 2 7 0 2 7 6 4 余家荣 随机 D i r i c h l e t 级数的一些性质 J 数学学报 1 9 7 8 2 1 2 9 7 1 1 8 5 刘名生 半平面上有限级 D i r i c h l e t 级数的正规增长 J 系统科学与数学 2 0 0 2 2 2 2 2 2 9 2 3 9 责任编辑贺小林j Th e Gr o wt h o f Di r i c h l e t S e r i e s wi t h Fi n i t e Po s i t i v e Or d e r i n t h e Pl a n e L I U S u h o n g ZHANG Ge n y a o 1 D e p a r t m e n t o f m a t h e m a t i c s B a o j i U n i v e r s i t y o f A rt s a n d S c i e n c e s B a o j i 7 2 1 0 1 3 C h i n a 2 C o l l e g e o f Ma t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e Y a n a n U n i v e r s i t y Y a n a n 7 1 6 0 0 0 C h i n a Ab s t r a c t S t u d i e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t we e n t h e g r o wt h a n d c o e f f i c i e n t a n d i n d e x o f Di r i c h l e t s e rie s t h r o u g h t y pe f u n c t i