广东省2010高中青年教师命题大赛(01)(数学理).doc

上教考资源网 助您教考无忧广东省2010高中青年教师命题大赛（01）数学理本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设全集U=R,集合M=x|x1或x3,集合P=，且UM，则实数k的取值范围是（ ） A. 0k3 B. k0 或k3 C. k02. 设aR，且（a+i）2i为正实数，则a=（ ）A. 1 B. 0 C. -1 D. 0或-13.“”是“函数在区间上为增函数”的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4. 已知等差数列的前n项和为，若，则=（ ）A. 68 B. 72 C. 54 D. 905定义在R上的函数，如果存在函数，使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数现有如下命题： 对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； 为函数的一个承托函数； 定义域和值域都是R的函数不存在承托函数其中正确命题的序号是（ ）（A） （B） （C） （D） 6. 设的最大值为( )A. 80 B. C. 25D. 7. 某同学做了10道选择题，每道题四个选择项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案记该同学至少答对9道题的概率为p，则p为（ ）A BC D 8. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）二、填空题（本答题共6小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（题）9、若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是_.10、在四边形ABCD中，=（1，1），中国教考资源网，则四边形ABCD的面积是_. 11、已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=_.12、在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为_.（二）选做题（13 15题，考生只能从中选做两题；三道题都做的，只记前两题的分）13、如图所示，锐角ABC内接于O，ABC=60，BAC=36，作OEAB交劣弧于点E，连结EC，则OEC=_.14、设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是_.|a-b|a-c|+|b-c|;2;.15、.已知点P（x,y）在曲线(为参数)上，则的取值范围为_.三、解答题（本答题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、(本小题满分12分)在中，角、的对边分别为、，且，（）求角；（）设，求边的大小17、（本小题满分13分）如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；中国教考资源网（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值，并求此定值.18、（本小题满分13分）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为，BAC=90,平面ABC, =,AB=,AC=2, =1,=.(1)证明:平面D平面BC；(2)求二面角AB的余弦值.19、（本小题满分13分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立. （I）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； （II）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.20、(本小题满分14分)已知函数f(x)=(1+x)2-aln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-，-2）上为减函数.（1）求f(x)的表达式；（2）若当x时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的值；（3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数b的取值范围.21、（本小题满分15分）已知：在数列an中，a1 ，an+1 an（1）令bn4n an，求证：数列bn是等差数列；（2）若Sn为数列an的前n项的和，Snnan 对任意nN*恒成立，求实数的最小值数学（理）答案一、选择题 1. A 2. C 3. A 4. B 5. A 6. A 7. D 8. D 二、填空题9. k8 10. 11. 12. 0.80 13. 12o 14. 15. 三、解答题16、解：（），则得：，=，5分（）由，知为锐角，所以6分+10分由正弦定理得：12分17、（1）解 由已知得2 p=8,=2,2分抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=-2.4分（2）证明 设A（xA，yA），B（xB，yB），直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,6分故xA+xB=, 6分记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则xE=,yE=k(xE-2)=, 8分故直线m的方程为y-=-, 9分令y=0,得点P的横坐标xP=+4, 10分故|FP|=xP-2=, 11分|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)=8,为定值.13分18、方法一 (1)证明 A1A平面ABC,BC平面ABC,A1ABC. 1分在RtABC中,AB=,AC=2,BC=.BDDC=12,BD=.又=,DBAABC,ADB=BAC=90,即ADBC. 3分又A1AAD=A,BC平面A1AD. 4分BC平面BCC1B1,平面A1AD平面BCC1B1. 5分(2)解 如图,作AEC1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB平面ACC1A1,AE是BE在平面ACC1A1内的射影. 6分由三垂线定理知BECC1,AEB为二面角ACC1B的平面角. 7分 过C1作C1FAC交AC于F点,图则CF=AC-AF=1,C1F=A1A=,C1CF=60. 9分在RtAEC中,AE=ACsin60=2=,在RtBAE中,tanAEB=,cosAEB=, 12分即二面角ACC1B余弦值为.13分方法二 (1) 证明 如图,建立空间直角坐标系,图则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),C1(0,1, ). 1分BDDC=12,=,D点坐标为,=, =(-,2,0),=(0,0,).3分=0，=0，BCAA1，BCAD.又A1AAD=A，4分BC平面A1AD.又BC平面BCC1B1，平面A1AD平面BCC1B1.5分（2）解 BA平面ACC1A1，取m=(,0,0)为平面ACC1A1的法向量.设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则n=0，n=0， 6分x=y，z=，可取y=1，则n=，9分cosm,n=, 即二面角ACC1B的余弦值为. 13分19、（I）解：记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是 4分 （II）解可能取值为1，2，3.5分 的分布列为：123P的数学期望11分的方差13分20、解 （1）f(x)= =, 2分依题意f(x)在(-2,-1)上是增函数，在（-,-2)上为减函数.x=-2时，f（x）有极小值，f（-2）=0.代入方程解得a=1,故f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2. 4分(2)由于f(x)= ,令f(x)=0,得x1=0,x2=-2. 5分（由于x，故x2=-2舍去），易证函数在上单调递减，在0，e-1上单调递增，且f()=+2,f(e-1)=e2-2+2, 7分故当x时，f(x)max=e2-2,因此若使原不等式恒成立只需me2-2即可. 9分（3）若存在实数b使得条件成立，方程f(x)=x2+x+b即为x-b+1-ln(1+x)2=0,令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2,则g(x)= , 10分令g(x)0,得x-1或x1,令g(x)0,得-1x1, 11分故g(x)在0，1上单调递减，在1，2上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间0，2上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间0，1和1，2上各有一个实根，于是有2-2ln2b3-2ln3, 故存在这样的实数b,当2-2ln2b3-2ln3时满足条件. 14分21、解：（1）由an+1an，得(4n+1) an+14nan2 1分所以bn+1bn2，即bn+1bn23分故数列bn是首项为1，公差为2的等差数列4分（2）因为数列bn是首项为1，公差为2的等差数列，所以bn12（n1）2n1因为bn4n an，所以 an 6分则Sn 又Sn 所以Sn2（