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127A2 一元二次方程式的根與係數的關係在4-1節的想想看中，我們請同學觀察兩根的和、兩根的積與原方程式的係數之間的關係。現在，我們來對這些關係做說明。設、為方程式的兩個根，因此可化成。我們知道 經由比較係數，得到兩根的和+及兩根的積。因此，一元二次方程式的根與係數間有以下的關係： 若的兩根為、，則+及。事實上，由公式解也可以得到： 和 【範例1】設、為的兩根，求下列各式的值：(1) (2) (3) 【解】 、為的兩根 、(1) 25(2) (3) = = = = 41所以。若知道某一元二次方程式的兩根，我們能不能反推而求得這個一元二次方程式呢？設、為所求方程式的兩根。等號兩邊同除以a，得 由根與係數的關係得知： 、 因此，方程式可以改寫成。【範例2】設、為的兩根。求以、為兩根的方程式。【解】 以及為兩根的方程式可寫為： (1) 、為的兩根 、(2)(3)將(2)、(3)的結果代入(1)中得到。因此，該方程式可表為。【類題練習】1. 設、為的兩根，求下列各式的值：(1) (2) (3) (4) 2. 設、為x24x2= 0的兩根，求以、為兩根的方程式。【範例3】 甲、乙兩生同解一個一元二次方程式。甲因為看錯一次項係數，而解得兩根為2與7；乙因為看錯常數項，而解得兩根為1與；除此以外無其它錯誤。試求正確的兩根為何？【解】 我們可設此一元二次方程式為。以2與7為兩根的一元二次方程式為x2(27)x27=0x29x140。因為甲看錯一次項係數，所以常數項c14是正確的。以1與10為兩根的一元二次方程式為x2(101)x(10)10x29x100。因為乙看錯常數項，所以一次項係數b9是正確的。綜合以上的討論得知，原方程式可表為x29x140，也就是，所以正確的兩根為2或7。【家庭作業】1. 設、為的兩根，求下列各式的值： 2. 甲、乙兩生同解一元二次方程式。甲看錯常數項而得到兩根1和3，而
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