常用的数学方法及举例.doc

.构造法所谓构造法，就是按照需要构造的一种方法.事实上，构造法应该算得上人类最早掌握的数学方法，这主要是因为最早涉及的数学活动，是解决生产和生活实际中的计算问题. 那时，没有什么理论推导和公式可以套用，而是要求给出具体的答案和切实可行的方法. 如果说有的话，也就是人们的十指，以及身体的各个主要部位. 数学发展历史上就有这样的实例，人们将身体的各部位作为计数的标记.对于数学来说，写出公式构造法，没有公式，提出算法也是构造法。例如，求两个正整数的最大公因数，并没有公式，但是有“辗转相除法”-也叫欧几里德算法. 小学数学中的四则运算的“竖式”，其实也是算法. 如今广泛使用的电脑，用它解决数学问题，也要有具体的程序-也就是算法. 所以，构造法在数学中不仅古老，也很重要.构造法不只限于推导公式或给出算法，它在数学中的作用是多种多样的.例1. 求证：在任意两个有理数和之间一定还有有理数.例2. 证明：存在2000个连续自然数，它们都是合数.例3. 已知：，证明：.这种证题方法，叫做“构造模型”的证法这样用一个具体的图形或实例来证明某个较抽象的等式或不等式的手法，在数学推理中是经常使用的古老的勾股定理的众多证法中，大多用的都是构造模型的方法.反证法对于相互矛盾的两个判断，如果一个错了，另一个一定是对的，这在逻辑上叫做排中律根据这个道理，要证明一个数学命题成立，只要证明这条命题不成立是错误的就可以了这就是反证法原命题和它的逆否命题是等价的就是反证法的基础人们早就意识到，反证法是一种有力的推理方法不是有理数，就是在两千多年前用反证法证出来的在数学历史上，另一个应用反证法证明问题的例子是欧几里德证明素数无穷多的事实使用反证法证明问题，一般分为三步进行：第一步是假设，即假设要证的命题不真；第二步是归缪，即从假设出发进行推理，直到推出矛盾；第三步是结论，这一步最简单，即由第二步推出矛盾断定假设是错误的，从而命题得证数学家们曾经研究了这么个问题：不用反证法行不行？结果证明：如果不用反证法，有些定理是证明不出来的反过来，凡是能用其他方法证明的命题，一定可以用反证法证明因此，当你感到一个题目不好直接从公理、定义或题设条件推证时，别忘了用反证法一试一般地，当命题中出现至多、至少、相等、不相等、存在、不存在、唯一、不唯一等这类否定判断的语句时，往往要用反证法才能奏效例. 证明：素数无穷多例. 已知都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于.例.求证：当有两个不相等的非零实数根时，必有1.3 数学归纳法如果一个命题和正整数有关，取，便有了一连串命题数学归纳法指出：对于一个与正整数有关的命题满足：（）成立；（）如果成立，则也成立；那么，对一切都有成立这两个步骤，（）叫归纳起点，（）叫归纳推断数学归纳法应用范围极为广泛，使用时有很大的灵活性例. 求证：任意个正方形都可以剖开成有限块，再拼成一个正方形例. 证明：数列单调递增.枚举法枚举，就是把要讨论的问题分成若干个具体情形，一一考察，各个击破这并不是一个很好的做法，但有时没有别的更好的办法，也只有用枚举法例题.相似法旅游者需要地图要观赏的是亭台山水，不是地图但是，从地图上能更清楚地了解亭台山水间的相对位置从地图上获得了这些信息用以指导实际行动，带来方便图书馆里的目录卡片，作战指挥部里的沙盘，医学院课堂上的人体模型，都有类似的作用数学家也有这种方法大家都知道，乘、除比加、减麻烦，开方比乘除更麻烦利用对数，把真数之间的乘、除、乘方、开方，变成对数之间的加、减、乘、除，在对数之间的运算得出答案后，再变成真数，解决了原来提出的问题这就叫相似法相似法也叫关系映射反演法，人们把它简单地称作原则其中、是英文关系、映射、反演三个单词的首写字母数学中要解决的问题，总包含有已知物与未知物已知物与未知物之间有一定的关系凭这关系，才能从已知物找到未知物有时，直接找未知物不好找，就用原则帮忙用映射法好比是照镜子，把已知物与未知物对应于镜中的已知像与未知像如果像与像之间的关系比较好掌握，就可以找出未知像再反演回去，从未知像找到未知物，解决了最初提出的问题.特殊化与一般化化归不仅是数学中最有普遍性的、抽象的解题思想，而且是带有指导性的具体的解题策略所谓化归原则，是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由复杂化简单，由未知化已知化归有三要素：化归的对象，化归的目标，化归的手段其中化归的手段是最关键的使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则：熟悉化原则，是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，从而可以使用已有的知识和经验解决问题简单化原则，是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决和谐化原则，是将问题的表现形式变形为更加符合数学内部故有的和谐统一的特点这里，熟悉化原则是最重要的关于化归的常用方法有：分解与组合，特殊化与一般化，关系映射反演（）这里简介常见的特殊化与一般化方法特殊化与一般化的依据，就命题真假而言，有两个结论：（） 若命题在一般条件下为真，则在特殊条件下也为真；（） 若命题在特殊条件下为假，则在一般条件下也为假而特殊化作为化归的手段之一，是因为相对于一般来说，特殊的事物往往包含人们较为熟悉的信息，这些信息的引入，满足熟悉化、简单化的原则但有时人们对一般的食物比较熟悉，而对特殊的事物反而比较生疏，所以一般化是化归的手段之一所谓特殊化方法，就是在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个体或某些子集的性质，从中发现每个个体都具有的特征后，再猜想给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测正确性所谓一般化方法，就是研究一个给定集合的性质时，先研究一个包含该集合的较大集合，从中发现较大集合所具有的性质，再根据特殊化与一般化的依据（）推出所要证明的问题在解决问题时，特殊化归与一般化归往往是相互结合的因为使用一般化方法解决问题时，找出处理问题的一般原型后，只是找到了解解决问题的一个途径，最终解决问题，还须由一般原型的研究转化为具体问题的求解，也即进行特殊化归例. 证明：具有下列形式的数是完全平方数.数学悖论数学靠的是严密的逻辑推理，可是有时会发生这样的怪事：振振有词的一同推理，却得到了荒谬绝伦的结论这结论或者有悖于常识，或者自相矛盾，使人左右为难这就叫悖论有了悖论，人们就会问：逻辑推理的方法可靠吗？怎样运用逻辑推理的方法才不会出毛病？通过对悖论的分析研究，找出悖论的症结所在，使悖论不悖，这叫做消除悖论对悖论的研究，有助于数学的发展有重大影响的悖论的出现与消除，往往标志着数学科学水平的划时代的进展（） 毕达哥拉斯悖论古希腊数学家毕达哥拉斯认为，数只有正整数和分数但是根据勾股定理（古希腊成为比大格拉斯定理），正方形对角线长与边长之比却既不是整数又不是分数这个发现当时被称为悖论后来大家认识到无理数也是数，并且建立了严密的实数理论，这个悖论也就被消除了这个悖论的出现被称为第一次数学危机它从出现到彻底消除经过了近年它的消除标志着实数概念在数学家心目中已经十分明确了（） 先有鸡还是先有蛋这是一个广泛流传于世界的趣题如果认为地球上的生物从来就像今天这样，那当然无所谓最早的鸡，也无所谓最早的蛋，就像没有最小的负整数一样可是更为可信的是，最早的地球上没有生物，没有鸡也没有蛋鸡是后来才有的这么看，鸡与蛋哪个在先是个有意义的问题了这里说的蛋，当然是鸡蛋鸡蛋与鸡的关系，通常是不言自明的：鸡生蛋，蛋生鸡！不过，涉及最早的鸡与蛋，不能含糊，而要严格话要定义清楚，什么叫鸡蛋？一种定义的方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋按照这个定义方法，一定是先有鸡最早的鸡当然也是从蛋里孵出来的但是按照定义，它不叫做鸡蛋另一种定义的方法是：能孵出鸡的蛋才叫鸡蛋，不管它是谁生的按照这个定义方法，一定是先有蛋了最早的蛋里孵出了最早的鸡而最早的蛋不是鸡生的不管如何定义，都不影响生物进化发展的历史事实至于如何选择定义，则有待于生物学家的讨论我们看到，许多著名的悖论的消除有赖于定义的明确通过分析悖论，人们的概念越来越清楚了，对逻辑推理的要求越来越严格了（） 贝克莱悖论由牛顿和莱布尼兹在世纪创立的微积分方法，被世纪的数学家们广泛用来解决物理学、力学、光学以及各种各样的科学技术中的问题但是，这种新方法一方面以其辉煌的成果吸引着人们另一方面又因其脆弱的理论基础招致了不满与攻击#公理化方法公理化方法是一个重要的数学方法，它在整个数学发展的历史上占有很重要的地位。它不单是在几何学方面用以构造出了多种几何系统，就是在近代数学中也不断地渗透到每个领域。如近世代数中的“群”的定义，概率论中随机事件概率的定义，甚至于多元微积分学中导数的定义都采用了公理化方法。近代数理逻辑这门学科的诞生，更是公理化思想的重要成果之一。所谓公理化体系，用通常的话来说就是在一个演绎系统中，证明一个定理就是表明这个定理是某些先前业已证明过的命题的必然逻辑结果。这样，数学证明便成为一个逐层逆推的无限过程。然而这是不可能的，除非允许在某一点停下来，把一些简单的命题当作正确的事实接受下来而无需加以证明。从它们出发，就可以用纯粹的逻辑论证，推导出本系统中的所有其他定理。如果一个科学领域中的所有事实能被纳入到这样一个逻辑序列，使得所有成果都能从一些选择好的（最好是少量的、简单的、直观上合理的）命题来证明，则称这个领域已被表示为公理体系。选择哪些命题作为不加证明并作为推论基础的公理，这有很大的任意性。但是，除非这些公理简单而且数目不多，否则运用公理方法是很少获益的。另外，这些公理必须是相容的，就是说，从它们出发推出来的任意两个定理都不会互相矛盾。而且这些公理必须是完备的，就是说，这个系统中的每一个定理都能由它们导出。为了经济起见，也希望这些公理是独立的，即其中没有一个公理是其他公理的逻辑推论。作为最成功地完美地运用公理化方法构造的学科体系就是初等几何。它的形成和发展要追溯到欧几里德（Euclid）时代。几何论证始于公元前7世纪左右，当时有一些人开始尝试把人类祖先从生产实践中总结出来的几何知识从理论上系统整理，并进一步总结和提高，到了公元前4世纪，哲学的发展给几何学以深刻的影响，特别是柏拉图（Plato）学派。他们对几何学非常感兴趣，并且把形式逻辑的思维方法带到几何论证中来，使几何学面貌一新。在这方面工作最出色的是欧几里德。欧几里德是公元前3世纪人，出生于希腊，希腊当时比较强盛，征服了地中海沿岸各国，并且在亚历山大城建立了一所学院，欧几里德是这所学院的教师，他给学生讲授几何学。后来他把讲稿整理成一本教科书叫做几何原本。全书共十三卷，几乎涉及了今天中学几何学课程的全部内容。几何原本首先给