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Chapter 15 数学基础1 导数初步（一）基础知识一、导数1、定义设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点可导，并称该极限为函数在点处的导数，写为， 等。若上述极限不存在，则称在点不可导。如果令，则可改写为2、导数的几何意义导数是函数增量y与自变量增量x之比的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为函数在处关于的变化率，它能够近似描绘函数在点附近的变化特征。我们知道f(x)在点x=x0的切线斜率正是割线斜率在xx0的极限由导数的定义，所以曲线 在点的切线方程是这就是说，函数在点x0 的导数 是曲线 在点 （x0，y0）处的切线斜率，若 表示这条切线与x 轴正向的夹角，则 =tan ，从而0 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；= 0表示切线与x 轴平行。3、极值问题 定义 若函数 在的某邻域内对一切 有 x2(极小点)x3 ( 极大点) x1 (极大点)则称函数 在处取得极小(极大)值，称为极小（极大）点，极大、极小值统称极值，极大、极小点统称极点。4、费马定理设函数在点的某邻域内有定义，且处可导，若为的极值点，则必有 。 费马定理的几何意义：设函数在极值点处可导，则该点的切线平行于轴。 称 的点为稳定点。稳定点不一定都是极值点。比如 是稳定点，但却不是极值点。5、导数符号导函数，简称为导数，记作 等。在物理学中导数y也常用牛顿记号 表示，而记号 是莱布尼茨首先引用的。目前我们把 看作为一个整体，也可把它理解为 施加于y的求导运算，待到学过“微分”之后，可以理解这个记号实际上是一个“商”。二、函数的和、差、积、商的求导法则1、函数的和与差的求导法则两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差). 用公式可写为。其中u、v为可导函数。2、常数与函数的积的求导法则 在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成 。 3、函数的积的求导法则 两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成 。4、函数的商的求导法则 两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。用公式可写成 。三、复合函数的求导规则 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为， 其中u为中间变量。（二）典型例题例题1 求曲线 y=x3 在点P（x0，y0）处的切线方程与法线方程。解由于 =曲线 在点P的切线方程为由解析几何知道，若切线斜率为 ，则法线斜率为 ，从而过点P的法线方程为 因此曲线 过点P（）的法线方程为若，则法线方程为。题后小结例题2 证明： 若，则存在，对任何有 ；若，则存在，对任何有 。证明 因为 由保号性，存在 ，当 时，从而，时， 。同样方法可证：若，则存在，对任何有 这个例子说明，若存在，当时，不可能是函数 的极值点。题后小结 这个结论就是著名的费马定理。例题3 证明：(1) ;(2) (3) 证明（1）对于 y = xn， 由于因此 = (2) 下面证第一个等式， = 因为cosx是（- ， + ）上的连续函数，因此得到 = cos.这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。同理可证，余弦函数的导数是负的正弦函数。（3）由于= 所以.若a = e ，且以e 为底的自然地数常写作ln，则由lne = 1 及上式有。题后小结例题4 (1)已知，求(2)已知，求(3)已知，求(4)已知，求(5)已知，求解 (1) (2)(3)(4)注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。(5)题后小结 函数的和、差、积、商的求导法则应用。例题5 （1）已知，求； （2）已知，求解 （1）设,则可分解为,因此 （2）题后小结 复合函数的求导法则应用。例题6矩形线圈S0在匀强磁场B0中以角速度匀速转动，求瞬时感应电动势。解，=题后小结 通过比值定义的物理量都可求导数得到瞬时值。位移关于时间函数的导数的物理意义就是这个时刻的瞬时速度；加速度关于时间函数的导数的物理意义就是这个时刻的瞬时加速度；电压关于电流的函数的导数的物理意义就是这个时刻的电阻；通过截面电量关于时间的导数的物理意义就是这个时刻的电流；穿过某闭合回路的磁通量关于时间函数的导数的物理意义就是产生的感应电动势大小等等。例题7aEEE1llO+Q+Q求相距2l的两个带量同种点电荷连线的中垂线上场强的变化。解如图所示，假设这两个带电体均带正电荷，由图分析可得，在某点合场强的大小为E1= 其中a为该点与电荷的连线和点电荷之间连线的夹角。由图可知，a的取值范围为0，)，对E1(a)求导得，E1=，若a从0到取值时，开始时cos2a2sin2a，则E10，场强增大，后来，cos2a2sin2a，则E10)解设x=asint，-/2tR2）证明方法一：并联电容法在外球外面再接一个半径为R3大外球壳，外壳也接地内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联当R3趋于无穷大时，C2 = 40R2并联电容为 方法二：电容定义法假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为，因此感应电荷为根据高斯定理可得两球壳之间的场强为，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为球面间的电容为题后小结（三）课后练习A 组练习1、一物体以速度v=3t2+2t(m/s)作直线运动，计算它在t=0到t=3s这段时间内的平均速度。2、直径为20厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强为10N/cm3的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？3、一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移至x=a时，克服媒质阻力所作的功 。4、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20米，较长的底边与水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力 。5、一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力 。B 组练习1、设有一半径为R，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力 。2、弹簧原长0.30厘米，每压缩0.01m需力2N，求把弹簧从0.25m压缩到0.20m所作的功。3、有一圆柱形贮水桶，高2m，底圆半径0.8m桶内装1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多少功？ 4、一个横放