若P、Q为大於3的质数,则 为12×2n之倍数,其中n为.doc

若P、Q為大於3的質數，則為122n之倍數，其中n為自然數一、前言 過去許多研究數論的數學家著眼於質數的研究，希望能找出質數的一些特性、規律，但始終找不到一個可以描述質數的函數。經過多方的努力，也終究得到許多價值不菲的結論，今吾人發現一些有關質數的規則，望四海喜愛數學之士不吝指教。二、背景知識 為了證明本定理，必須使用到一些數學運算，在此介紹它的運算方法。定義一：Xn 表示所有被n除之，尚餘X的所有整數所成的集合。例如：37 即代表所有被7除之，尚餘3之所有整數之集合，即、3、10、17、24、。定義二：若ab (mod n)，則以an=bn 表示之。例如：310 (mod 7)，可表成 37=107。定義三：Fn表示所有Xn所成的集合，+、為存在Fn之兩個運算，使得an+bnFn、anbnFn。定理一：an+bn=a+bn，其中an、bn均屬於Fn。證明：若xan、ybn，則必存在s、t使得x=ns+a、y=nt+b。 x+y=n(s+t)+(a+b)，故x+ya+b(mod n)，即x+ya+bn， 因此an+bn=a+bn。定理二：anbn=abn，其中an、bn均屬於Fn。證明：若xan、ybn，則必存在s、t使得x=ns+a、y=nt+b。 xy=n(nst+at+bs)+ab，故xyab(mod n)，即xyabn， 因此anbn=abn。例如：27+37=2+37=57 5737=537=157=17三、論文內容定理三：P、Q均為大於3的質數，則P2m-Q2n為24之倍數，其中m、n為自然數。證明：P2m-Q2n=(Pm+Qn)(Pm-Qn) 因P、Q均為大於3之質數，所以P、Q均為奇數，則Pm、Qn亦為奇數，所以 Pm和Qn必屬於14或34。 若Pm14 且Qn34，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (14+34)(14-34)=44-24=0424 04是4的倍數，24是2的倍數， 故P2m-Q2n=(Pm+Qn)(Pm-Qn)= 0424為42的倍數，即8的倍數。 若Pm34 且Qn14，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (34+14)(34-14)=4424=0424 故P2m-Q2n為8的倍數。 若Pm14 且Qn14，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (14+14)(14-14)=2404=0424 故P2m-Q2n為8的倍數。 若Pm34 且Qn34，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (34+34)(34-34)=6404=2404=0424 故P2m-Q2n為8的倍數。 因此，由上述可知，(Pm+Qn)(Pm-Qn)必為8之倍數。-(甲) 再者，P、Q為大於3之質數，則P、Q均不為3之倍數，Pm和Qn亦均不為3之倍數， 所以，Pm和Qn必屬於13或23。 若Pm13且Qn13，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (13+13)(13-13)=2303=03 故(Pm+Qn)(Pm-Qn)為3之倍數。 若Pm23且Qn23，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (23+23)(23-23)=4303=03 故(Pm+Qn)(Pm-Qn)為3之倍數。 若Pm13且Qn23，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (13+23)(13-23)=33-13=03-13=03 故(Pm+Qn)(Pm-Qn)為3之倍數。 若Pm23且Qn13，則 (Pm+Qn)(Pm-Qn) (23+13)(23-13)=3313=0313=03 故(Pm+Qn)(Pm-Qn)為3之倍數。 由上述可知，P2m-Q2n為3之倍數。-(乙) 故由(甲)、(乙)得到P2m-Q2n為24之倍數。引理一：若P為大於3之質數，則P2-1為24之倍數。證明：因為P2m-Q2n為24之倍數，令m=n=1、Q=5，則 P2-52為24之倍數，P2-52+24亦為24之倍數，即P2-1為24之倍數。此引理之對偶命題(若P2-1不是24之倍數，則P為合數)可用來檢驗某數是否是合數。例如：92-1=80 不是24的倍數，故9是合數。定理四：若P、Q均為大於5之質數，則P4-Q4為240之倍數。證明：P4-Q4=(P2+Q2)(P2-Q2) P2-Q2為24之倍數(由定理三知)-(甲) 因P、Q均大於5，故P和Q均屬於15、25、35或45 P2+Q2為2之倍數(簡易自明)-(乙) (15)2=15、(25)2=45、(35)2=45、(45)2=15 P2和Q2均屬於15或45 故由下表觀察(P2+Q2)(P2-Q2)P2+Q2P2-Q2(P2+Q2)(P2-Q2)+1545152505450535-15451505354525052505=050535=050525=053505=05 由上表可知(P2+Q2)(P2-Q2)05，即(P2+Q2)(P2-Q2)為5之倍數-(丙) 由(甲)、(乙)和(丙)便知(P2+Q2)(P2-Q2)為240之倍數。引理二：若P、Q為大於5之質數，則P4-1為240之倍數。證明：由定理四中，令Q=7，則 P4-74=P4-2401為240之倍數，P4-1=P4-2401+2400亦為240之倍數。定理五：若P、Q為大於3的質數，則為122n之倍數，其中n為自然數證明：我們引用數學歸納法來證明 依定理三當n=1時，P2-Q2 為24之倍數，即1221之倍數，此時本式成立。 若n=K時成立，亦即P-Q為122K之倍數，則 n=K+1時，P-Q=(P)2-(Q)2=(P+Q)( P-Q) 其中P+Q為2的倍數，P-Q為122K之倍數， 故P-Q為2(122K)之倍數，即122K+1之倍數。 因此為122n之倍數定理六：若P、Q為大於5的質數，則P-Q為602n+1之倍數，其中n為自然數。證明：我們引用數學歸納法來證明 依定理四 當n=1時，P4-Q4為240之倍數，即6021+1之倍數，此時本式成立。 若當n=K時成立，即P-Q為602K+1之倍數，則 當n=K+1時，P-Q=(P)2-(Q)2=(P+ Q)(P- Q) 其中P+ Q為2的倍數，P- Q為602K+1之倍數， 故P-Q為2602K+1之倍數，即602(K+1)+1之倍數， 因此P-Q為602n+1之倍數。定理七：若P為大於3之質數，則P-1為122n之倍數，其中n為自然數。證明：我們引用數學歸納法來證明 依引理一 當n=1時，P2-1為24之倍數，即1221之倍數，此時本式成立。 若n=K時成立，即P-1為122K之倍數，則 n=K+1時，P-1=(P)2-12=( P+1)( P-1) 其中P+1為2的倍數，P-1為122K之倍數， 故P-1為2(122K)之倍數，即122K+1之倍數， 因此P-1為122n之倍數。定理八：若P為大於5之質數，則P-1為602n+1之倍數，其中n為自然數。證明：我們引用數學歸納法來證明 依引理二 當n=1時，P4-1為240之倍數，即