级数是研究无限个离散量之和的数学模型.doc

第九章 级数级数是研究无限个离散量之和的数学模型，它是表示函数，进行数值计算的一个有力工具，又是研究函数性质的一个重要手段.本章将先介绍级数的基本概念，然后讨论它的审敛法则，并着重介绍将函数展开成幂级数、傅立叶级数的基本方法.9-1 常数项级数一、常数项级数的概念1、级数的概念定义9.1 设有数列表达式称为无穷级数，简称级数.中，均称为级数的项，称为通项.当级数的各项均为常数时，称为常数项级数，简称数项级数.例如：都是数项级数.级数的前项之和,称为级数的部分和.部分和可以组成一个数列，称为级数的部分和数列.部分和数列可能存在极限，也可能不存在极限.定义9.2 如果级数的部分和数列的极限存在，即，则称该级数收敛，并称S为级数的和，记为，也称该级数收敛于S.如果级数部分和数列的极限不存在，则称该级数发散.收敛级数的和与前n项部分和的差称为级数的余项. 显然级数收敛的充要条件是该级数的余项收敛于零.例1 判别级数是否收敛,如果收敛,则求它的和.解 级数的一般项可写成 故部分和可表示成 而 所以级数收敛，其和为1.例2讨论等比级数（几何级数）的敛散性，如果收敛，则求它的和（）.解 如果，则部分和 （1）当时，由于，从而故级数收敛，其和为.（2）当时，由于，故，这时级数发散.（3）当时，若，级数发散；若，级数成为显然，从而的极限不存在，级数也发散.因此，时，等比级数收敛，收敛于和；时，等比级数发散.例3 判断下列级数的敛散性.（1） ； （2）.解 （1）这是公比为的等比级数，而，故级数收敛. （2）这是公比为2的几何级数，而，故级数发散.例4证明调和级数发散.解 考察在区间上的定积分.其几何意义是双曲线在上所覆盖的面积，如图9-1所示.图9-1将区间等分为份，分别以作高，作个矩形，其面积之和为.显然，而当时，所以.即调和级数发散.二、无穷级数的性质性质1 如果级数收敛，且其和为，那么各项同乘以常数所得的级数也收敛，且其和为；如果级数发散，当时，级数也发散.由此可知，级数的各项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.性质2 一个级数添入或删去有限项，其敛散性不变.但对于收敛级数，其和将会发生改变.例如，由级数收敛，可知级数也是收敛的.由级数发散，可知也发散. 性质3 设有两个收敛级数、，且其和分别为与，则级数也收敛，且其和为.该性质仅对收敛级数而言的，对于发散级数并没有类似的性质.例如，由与发散，我们不能得出是发散的.事实上，由例1可知，它是收敛的.性质4（级数收敛的必要条件）如果级数收敛，那么.注意：是级数收敛的必要条件，不是充分条件，不能判定级数收敛，而调和级数的发散就是一例. 反过来，可以用来判定级数发散.上述四个性质的正确性是显然的，我们不加证明而采用.例5 利用无穷级数的性质，判别下列级数的敛散性.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解（1）因几何级数的公比满足所以收敛，由性质1得级数也收敛.（2）由于调和级数发散，根据性质1，级数也发散.（3）级数是调和级数去掉前六项得到的新级数，根据性质2，级数发散.（4）由的通项，而几何级数、均收敛，根据性质3级数收敛.（5）通项 ， 故级数发散.习题9-11、把下列级数写成“”形式。（1）； （2）；（3） （4）.2、根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛散性.（1）； （2）.3、判别下列级数的敛散性，如果收敛，则求其和.（1）； （2）； （3）； （4）.9-2 常数项级数敛散性的判别一、正项级数敛散性判别法定义9.3 若，则称常数项级数为正项级数.显然，正项级数的部分和有不等式 即部分和数列是一个单调增加的数列：，由单调有界数列的极限存在性可知，一个正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.即若有界，则存在，从而级数收敛；若无界，则，从而级数发散.由此得定理9.1（比较判别法）设有两个正项级数和，且（1）若收敛，则也收敛；（2）若发散，则也发散.利用比较判别法时，首先要估计所讨论级数的敛散性，若收敛（发散），必须找一个收敛（发散）的已知级数作为参照物进行比较.例1判别级数的敛散性.解 当时，是调和级数，已证明是发散的.当时，有，所以发散.当时，是收敛的（证明从略）.综上可知，级数在时发散，时收敛.级数常用来作比较判别法中的参照级数，它的结论必须牢记.例2 判别下列正项级数的敛散性.（1）； （2）.解 （1）因为，于是，而级数收敛，根据比较判别法，正项级数收敛.（2）因为，于是，而调和级数发散，=发散，根据比较判别法，正项级数发散. 比较判别法的基本思想是把某个已知敛散性的级数作为比较对象，通过比较大小来判断给定级数的敛散性，但有时不易找到作比较的已知级数，那能否从级数本身找到判定级数敛散性的方法呢？定理9.2 （比值判别法） 设正项级数，并且.则当时，级数收敛；当（或）时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.例3 判别下列正项级数的敛散性.（1）； （2）； （3）.解（1）由，故级数收敛.（2）由， 级数发散.（3）由，所以， 故级数收敛.需要指出，比值判别法虽然有简单易行的优点，但当时，方法失效.例如级数，不论为何值都有.但我们知道，当的级数发散，而当时级数收敛.故时，级数敛散性情况不明，需要另找判别方法.二、交错级数及其收敛性判别定义9.4 在数项级数中，形如： 或 其中，称为交错级数.关于交错级数的收敛性，有以下的判定法：定理9.3（莱布尼兹准则）设有交错级数，如果（1）；（2）.则此交错级数收敛.例4判别交错级数的收敛性.解 交错级数满足条件；（1），及 （2）。由莱布尼兹准则可知级数收敛.三、任意项级数、绝对收敛和条件收敛定义9.5 在数项级数中，若为任意实数，则称为任意项级数.定理9.4若任意项级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则必收敛.证设，则故为正项级数，且.由已知收敛，所以收敛.又，由上节级数性质1和性质3，可知收敛.定义9.6 如果级数收敛，称级数是绝对收敛；如果级数发散，而级数收敛，称级数条件收敛.例5证明级数绝对收敛.证因为.又级数为收敛的级数，所以级数收敛，因此是绝对收敛级数.例6证明级数是条件收敛级数.证因为，而是发散的级数，故发散.由交错级数收敛的莱布尼兹准则，级数是收敛的，故是条件收敛级数.习题9-21、用“收敛”或“发散”填空.（1）（ ） （2）（ ）（3）（ ） （4）（ ）（5）（ ） （6）（ ）2、判别下列正项级数的敛散性：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；.3、下列级数中，判断哪些是绝对收敛的，哪些是条件收敛的，并说明理由.（1）； （2）；（3）； （4）.9-3幂级数一、函数项级数的概念前面讨论的是数项级数，它的每一项都是常数，现在考虑每一项都是函数的级数.设是定义在D上的函数列，则称为函数项级数.当以D中的任意一个值代入函数项级数的每一项时，均得到一个常数项级数，若此级数收敛，则称为函数项级数的一个收敛点；若发散，则称为该函数项级数的一个发散点.函数项级数的全体收敛点组成的集合称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域.由常数项级数收敛定义知，对于函数项级数的收敛域内每一个值，都有一个确定的和与它对应，即在收敛域内函数项级数的和是的函数，记为，即=，并称为该函数项级数的和函数.一般来说，由于函数项级数的形式是很复杂的，要确定它的收敛域及和函数是十分困难的.为此，我们主要讨论一类形式上很简单，而应用又很广泛的函数项级数幂级数.二、幂级数的概念形如的级数称为的幂级数，其中及都是常数，称为该幂级数的第项系数.当时，幂级数变成，称为的幂级数.对于幂级数，只要作代换，就可得到幂级数，因此，主要对幂级数进行讨论.显然，级数在点收敛.如果收敛点不只是这一点，那末它的收敛域是怎样的一个集合呢？我们有下面的定理.定理9.5如果幂级数的系数满足， ，则（1）当，令，级数在上绝对收敛，在上发散；（2）当，令，级数在（-，+）上处处绝对收敛；（3）当，令，级数仅在处收敛.其中称为幂级数的收敛半径，称为收敛区间.一个幂级数的收敛域可能是开区间，也可能是闭区间，或者是半开区间.此定理给出了求幂级数的收敛半径和收敛域的方法，但对时是否收敛，还需要利用常数项级数敛散性判别法单独讨论.例1 求幂级数的收敛域.解 故.当时，原级数为是收敛的；当时，原级数为是发散的，所以该幂级数的收敛域为. 例2 求幂级数的收敛域.解 所以，幂级数的收敛域是（-，+）.例3 求幂级数的收敛半径.解 这个幂级数缺少偶次幂的项，因此，上述定理不能直接应用，但可直接应用比值判别法来求收敛半径.此时，由当，即时，幂级数收敛，所以幂级数的收敛半径.例4 求幂级数的收敛域.解 令，先考虑幂级数.由知收敛半径，取，得，故在区间（1，3）内收敛.在端点处，当时，幂级数为，是发散的级数；当时，幂级数为，是一个收敛的交错级数.所以，幂级数的收敛域为.三、幂级数的运算及性质幂级数在其收敛域内可进行四则运算，若（收敛半径为）与（收敛半径为）.则可以进行加、减运算：收敛半径.此外，还可进行乘法与除法运算，但计算较繁，不作介绍.下面介绍幂级数的性质.性质1 幂级数的和函数在收敛区间内是连续的，并且 这表明极限符号与求和符号可以交换顺序.性质2（逐项求导） 幂级数的和函数在区间内是可导的，并且，.这表明求导后的级数与原级数具有相同的收敛半径，反复应用上述结论，可得：幂级数的和函数在内具有任意阶导数.性质3（逐项积分） 幂级数的和函数在收敛区间内是可积的，并且应该指出：幂级数经逐项求导或逐项积分后，其收敛半径虽然不变，但在端点处的收敛性可能发生改变.例5 求幂级数的和函数，并由此求级数的和.解 故.在端点处，当时，原级数分别成为和，这两个级数一般项都不趋向于零.所以幂级数的收敛域为（-1，1）.令利用性质3，从0到逐项积分，得.对上式两边分别求导，得=例6 求级数的收敛域及和函数.解 级数，这是缺项幂级数，缺少奇次幂项，故直接用比值判别法来求收敛域：由知，故原级数的收敛半径当时，原级数为，这是一个交错级数，由莱布尼兹准则知收敛.所以原级数的收敛域是-1，1.令，而 所以.例7 求级数的收敛域与和函数.解 对已知级数逐项求导后得上式逐项积分，得即 当时，级数收敛，所以幂级数在区间上的和函数为.小结：求幂级数的和函数，首先要求幂级数的收敛区间，再在收敛区间上利用逐项求导数或逐项积分的性质，将级数变成某个几何级数，求出几何级数的和函数后，再对此和函数积分或求导数，从而得到原级数的和函数.习题9-31、求下列幂级数的收敛半径和收敛域：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.2、求下列幂级数的和函数：（1）； （2）；（3）； （4）.9-4 函数展开为幂级数前面讨论了幂级数在其收敛域内确定了一个函数.反过来，给定一个函数，能否用一个幂级数来表示它？这就是本节要讨论的问题.一、麦克劳林级数对于一个给定的函数，如果能找到一个幂级数，使 （9-4-1）成立，则称可展开为的幂级数.但要将展开为的一个幂级数，需解决两个问题：（1）如何确定（9-4-1）中的系数.（2）按所求得的系数，这个幂级数在它的收敛域内的和函数是否就是？我们先解决问题（1），不妨设（9-4-1）式成立，那么，根据幂级数可以逐项求导的性质，依次求出（9-4-1）中的各阶导数：把代入（9-4-1）式及上述各式，得，于是： ，把它们代回（9-4-1）式，得 （9-4-2）通常称（9-4-2）式为的麦克劳林展开式（或在处的泰勒展开式），式（9-4-2）式中等号右端的级数称为的麦克劳林级数（或在处的泰勒级数）.至于问题2，只要证明其余项满足：即可（证明略），结论：按公式求得系数的幂级数在它的收敛域内的和函数就是.二、初等函数展开成麦克劳林级数举例例1 求指数函数的麦克劳林级数展开式.解 由于所给函数的各阶导数为.故得于是的麦克劳林级数为 （9-4-3）由9-3节例2知，它的收敛域为.这样，我们得到函数的麦克劳林展开式为：.例2 求正弦函数的麦克劳林展开式.解 2-2的例27所给函数的各阶导数为依次循环地取0，1，0，-1，于是得的麦克劳林级数为容易求出收敛域为，于是函数的麦克劳林展开式为：运用上面的方法还可得到函数（其中为任意常数）的展开式：这个展开式称为二项展开式，当是正整数时，就退化为中学所学的二项式定理，.利用麦克劳林级数公式将函数展开成x的幂级数的方法，称为直接展开法.其步骤可归纳为：（1） 求出的各阶导数，令x=0，得，（2）写出的麦克劳林级数，并求出收敛半径R.三、用间接法将函数展开成幂级数利用麦克劳林级数去展开函数，需要求高阶导数，比较麻烦.如果能利用已知函数的展开式，根据幂级数在收敛域内的性质，将所给的函数展开成幂级数，这种方法称为间接展开法.例3 求余弦函数的麦克劳林展开式.解 由本小节例2的展开式，逐项求导，便得为了便于运用，我们把五个常用的初等函数的麦克劳林展开式汇列如下： 例4 求函数的麦克劳林展开式.解 考虑到.因为 把换成-，得两式相减，得采用类似的方法，还可以得到.如果函数在包含的某一区间内有任意阶导数，且 （在0与之间，）那么，在区间内可以展开为的幂级数 （）通常称该式为在处的泰勒展开式，其等号右端的级数称为在处的泰勒级数，称为拉格郎日余项.显然麦克劳林展开式是在处的泰勒展开式.因此，函数展开成泰勒级数也有类似于上面的方法.例5 将展开成处的泰勒级数.解 因为 ，令，由 ，则 习题9-4 1、利用已知函数的展开式将下列各函数展开成的幂级数（即麦克劳林级数）：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）. 2、利用已知函数的展开式，将下列函数展成的幂级数（即展开成时的泰勒级数）.（1） （2） *9-5 傅里叶级数在物理学等许多学科中，我们经常会遇到各种周期性变化的运动现象，如弹簧振动、交流电的电流和电压变化等，它们常可用正弦、余弦函数来表示.本节将就如何把一个周期函数展开成由正弦、余弦函数组成的函数项级数及其敛散性等问题展开讨论.一、三角级数、三角函数系的正交性形如 （9-5-1）的函数项级数称为三角级数，其中，（n=1、2）是常数，是自变量. 三角级数也称傅里叶级数.在三角级数（9-5-1）中出现的函数构成集合： （9-5-2）我们称之为三角函数系，显然三角级数（9-5-1）可以看作是三角函数系（9-5-2）的线性组合，所以求三角级数的实质就是确定常数，（n=1、2）.为此我们先来看三角函数系的一种特征.定理9.6 三角函数系中任意两个不同函数的乘积在上的积分值均为零，即（1）（2）（3）（4）（5）定理9.7 三角函数系（9-5-2）中任一函数自乘后在上的积分有：（1）（2）（3）上述两个定理的结论称为三角函数系（9-5-2）在上的正交性，它们是今后求三角级数的重要工具. 其结论的证明是容易的，读者可自行得出.二、以为周期的函数展开成傅里叶级数为研究一般性周期函数的傅里叶级数问题，我们不妨先来解决以为周期的函数的傅里叶级数展开问题.设是以为周期的可积函数，且能展开成一个三角级数.即 （9-5-3）为了确定系数，假设（9-5-3）的右边可以逐项积分.先求，为此对等式（9-5-3）两边同时在上积分由本节定理9.6中（1）（2）式可知：上述括号内所有积分项均为零，所以有即 其次求，将（9-5-3）式的n改为k得 （9-5-4）再将上式两边同时乘以，并在上积分由本节定理9.6中（1）（3）（4）式及定理9.7中（3）式可知：上式中括号内除时的那一项外，其余各项及括号外各项均为零，于是有：即同理，将（9-5-4）式两边同时乘以，并在上积分，可得以上所得的各系数称为傅里叶系数. 由于n=0时，的表达式正好给出，因此将合并后有 （9-5-5）以此作出的三角级数称为函数的傅里叶级数，并记作 （9-5-6）例1 求以为周期的方波函数的傅里叶级数，其中在上的表达式为解 先计算傅里叶系数 于是方波的傅里叶级数为 （*）例2设以为周期的函数在 上的表达式为试将其展开成傅里叶级数.解 于是的傅里叶级数为 以上讨论解决了以为周期的函数如何展开成傅里叶级数的问题，然而其收敛性如何？在什么条件下其傅里叶级数收敛于呢？定理9.8 狄利克雷（dirichlet）定理：设是以为周期的函数，如果在上满足下列条件，称为狄利克雷条件：（1）连续或至多只有有限个第一类间断点；（2）上分段单调.那么的傅里叶级数在上收敛，且= （9-5-7） 其中，分别表示在点的左、右极限.由上述定理的结论可知：凡符合狄利克雷条件的函数在连续点处，其傅里叶级数必收敛于函数.例3 判别本节例1中所求的傅里叶级数的收敛性.解 例1中我们已求得方波函数的傅里叶级数，由狄利克雷定理知，在的连续点处，级数收敛于，在为整数）处收敛于，亦即此和函数的图形如图9-2所示. 上述展开式说明这个方波可以用一系列不同频率的正弦波的叠加来表示.从上面的论述和举例可以看出，将以为周期的函数展开为傅里叶级数及其收敛性的讨论，实际上只需考虑该函数在区间上的情形.因此，如果一个函数仅仅在区间上图9-2 例1中方波函数的傅里叶级数的和函数的图形有定义，而在该区间外没有定义，那么我们可以把它延拓成定义在上的以为周期的函数：当时 其他值这样，将展成傅里叶级数也就相当于将展成傅里叶级数，相应的收敛性也可根据定理3来讨论.为了使用起来方便，我们把定理3改写成下列等价的形式.定理9.9 设定义在区间上且满足狄利克雷条件，则的傅里叶级数收敛，且当是的连续点时，该傅里叶级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于；当时，级数收敛于.注意：定理中最后关于时的收敛性，是因为在处，级数收敛于对于也类似.尽管仅仅定义在区间上，但其相应的傅里叶级数的和函数是内的以为周期的函数，因为它也是的周期延拓函数的傅里叶级数展开式.例4 求的傅里叶级数.解 因为是奇函数，根据公式（9-5-5）得：； 显然满足狄利克雷条件，所以的傅里叶级数收敛于，即在端点处上述级数收敛于图9-3和函数的图形如图9-3所示.三、正弦级数和余弦级数在上面例子中，函数是奇函数，它的傅里叶展开式里只有正弦项，称之为正弦级数，同理，如果函数的傅里叶展开式中只有常数项和余弦项，则称之为余弦级数.一般地，有下列的结论：定理9.10（1）若是满足狄利克雷条件的奇函数，则它的傅里叶展开式是正弦级数.（2）若是满足狄利克雷条件的偶函数，则它的傅里叶展开式是余弦级数.由定理9.10可得：如果仅定义在上，且满足狄利克雷条件，则既可展开成正弦级数，也可展开成余弦级数.如果要展开成余弦级数，只需构造下列函数：它是定义在上的偶函数（见图9-4），称为的偶延拓，它的傅里叶系数为 （9-5-8）图9-4 将偶延拓成相应的傅里叶级数是一余弦级数，这个级数在区间上就是的傅里叶级数展开式： （9-5-9）类似地，如果要将展成正弦级数，只需构造下列函数：它是一个奇函数（如图9-5），称为的奇延拓，它的傅里叶级数是一个正弦级数，因为 （9-5-10）图9-5 将奇延拓成这个正弦级数在区间上就是的傅里叶级数展开式. （9-5-11） 注：点处，级数收敛性按定理4判定.例5 将函数展为正弦级数和余弦级数.解（1）展为正弦级数：由式（9-5-10）得 由此得到相应的正弦级数为再由狄利克雷定理知：此级数在上收敛于（参考图9-6），即（2）展为余弦级数：由式（9-5-8）得 由此得到相应的余弦级数为 由狄利克雷定理（参考图9-7），便得到 图9-6 将作奇延拓 图9-7 将作偶延拓例6 将展开为 正弦级数.解 将作奇延拓如图9-8所示，由式9-5-10得由狄利克雷定理，得到的正弦级数为：图9-8 将作奇延拓四、以为周期的函数展开成傅里叶级数前面我们所讨论的周期函数的周期为，但在实际问题中所遇到的周期函数的周期往往不是，为此下面讨论以为周期的函数的傅里叶级数.设以为周期的函数满足狄利克雷条件，为了将周期转化为，作变量代换：. 当在区间上取值时，就在区间上取值.设，则以为周期且满足狄利克雷条件，将展开成傅里叶级数： （9-5-12）其中，因为，所以各式中变量换回成，即可得的傅里叶级数： （9-5-13）其中 类似地，如果是奇函数，则它的傅里叶级数是正弦级数 （9-5-14）其中 如果是偶函数，则它的傅里叶级数是余弦级数 （9-5-15）其中 说明：在（9-5-14）、（9-5-15）、（9-5-16）三式中当是的间断点时，根据狄利克雷定理，级数收敛于.例7 如图9-9所示的三角波形函数是以2为周期的函数，在-1，1上的表达式是，求的傅里叶级数.解 直接用公式（9-5-13）可得：; 图9-9 的傅立叶级数为： 上述讨论解决了定义在上函数的傅里叶级数展开问题，对于定义在上的函数同样可以通过奇延拓（或偶延拓）后展开成正弦级数（或余弦级数），读者可以自行参照解决.习题9-51、证明：（1）在上不具有正交性.（2）在上具有正交性.2、把下列函数展开成傅里叶级数：（1）； （2）.3、把函数在上展开为余弦级数.4、把下列函数展开成傅里叶级数.（1）； （2）.本章小结本章无穷级数的内容有：无穷级数的概念及基本性质，数项级数收敛性的判别法，幂级数概念与幂级数的运算，函数展开为幂级数，傅里叶级数的概念，函数展开为傅里叶级数.一、无穷级数的概念与基本性质1、收敛的定义及和的意义.若，则级数收敛，S为级数的和，记为.2、对于收敛级数，有.3、级数的基本性质.级数的基本性质在判别级数收敛与发散的时候，常常起到很大的作用，因此，熟悉这些性质对于概念的理解与级数敛散性的判别是有帮助的.二、数项级数收敛性判别法1、正项级数收敛的比较判别法与比值判别法.正项级数收敛的判别，是任意项级数收敛性判别的基础.我们应当熟悉几何级数与级数的敛散性，这是衡量其余的级数是否收敛的两把尺子，是不可缺少的. 2、交错级数收敛的莱布尼兹准则.交错级数是级数中的一种重要类型，在讨论幂级数收敛区间的两个端点时，常常会遇到交错级数.且交错级数收敛时，取其部分和作为级数的近似值，其误差估计是特别方便的. 3、绝对收敛和条件收敛.在幂级数的收敛区间中，除了端点以外，对内的所有x值，级数都是绝对收敛的.绝对收敛的级数，其判别法可按