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机器人学导论学 院： 工程机械学院 专 业： 机械工程 姓 名： 刘 敏 学 号： 2012225015 任课教师： 蔡宗琰 成 绩： 目录一、问题重述41.1、问题重述41.2 目标任务4二、问题分析5三、模型的假设6四、符号说明6五、模型建立与求解75.1运动学模型建立与求解75.1.1机器人运动方程的建立75.1.2 利用逆运动学方法求解115.2、问题11的模型125.2.1搜索算法流程图135.2.2、模型求解145.3、问题12、3的模型165.3.1、问题1的、175.3.2、问题2的195.3.3、问题2的215.4、问题324七、模型的评价247.1模型的优点247.2模型的缺点24参考文献25摘要本文探讨了六自由度机械臂从一点到另一点沿任意轨迹移动路径、一点到另一点沿着给定轨迹移动路径、以及无碰撞路径规划问题，并讨论了设计参数对机械臂灵活性和使用范围的影响，同时给出了建议。问题一：（1）首先确定初始坐标均为零时机械臂姿态，建立多级坐标系，利用空间解析几何的变换基本原理及相对坐标系的齐次坐标变换的矩阵解析方法，来建立机器人的运动系统的多级变换方程。通过逆运动学解法和构建规划，来求优化指令（2）假定机械臂初始姿态为0，曲线离散化，每个离散点作为末端位置，通过得到的相邻两点的姿态，利用（1）中算法计算所有相邻两点间的增量指令，将满足精度要求的指令序列记录下来。（3）通过将障碍物理想化为球体，将躲避问题就转化成保证机械手臂上的点与障碍球球心距离始终大于r的问题。进而通过迭代法和指令检验法，剔除不符合要求的指令，从而实现避障的目的 问题二：将问题二中的实例应用到问题一中的相对应的算法中。 问题三：灵活性与适用范围相互制约，只能根据权重求得较优连杆长度。关键词：多级坐标变换 逆运动学解法 遗传搜索算法 优化 一、问题重述 1.1、问题重述 某型号机器人（图示和简化图略）一共有6个自由度，分别由六个旋转轴（关节）实现，使机器人的末端可以灵活地在三维空间中运动。机器人关于六个自由度的每一个组合，表示机械臂的一个姿态，显然每个姿态确定顶端指尖的空间位置X：。假定机器人控制系统只能够接收改变各个关节的姿态的关于连杆角度的增量指令（机器指令），使得指尖（指尖具有夹工具、焊接、拧螺丝等多种功能，不过在这里不要求考虑这方面的控制细节）移动到空间点X，其中各个增量只能取到-2, -1.9, -1.8, ，1.8, 1.9, 2这41个离散值（即精度为0.1，绝对值不超过2）。通过一系列的指令序列可以将指尖依次到达位置X0，X1，Xn，则称X0，X1，Xn为从指尖初始位置X0到达目标位置Xn的一条路径（运动轨迹）。根据具体的目标和约束条件计算出合理、便捷、有效的指令序列是机器人控制中的一个重要问题。假设机器人的初始位置在y-z平面上，约定直角坐标系的原点设在图示的A点，z轴取为AB方向，x轴垂直纸面而y轴则在基座所固定的水平台面上。 1.2 目标任务 问题一：设计一个通用的算法，用来计算执行下面指定动作所要求的指令序列，并要求对算法的适用范围、计算效率以及近似算法所造成的误差和增量离散取值所造成的误差大小进行讨论（不考虑其他原因造成的误差）：（1）已知初始姿态0和一个可达目标点的空间位置（Ox, Oy, Oz），计算指尖到达目标点的指令序列。（2）要求指尖沿着预先指定的一条空间曲线x = x(s), y = y(s), z = z(s), a s b 移动，计算满足要求的指令序列。（3）在第个问题中，假设在初始位置与目标位置之间的区域中有若干个已知大小、形状、方向和位置的障碍物，要求机械臂在运动中始终不能与障碍物相碰，否则会损坏机器。这个问题称机械臂避碰问题，要求机械臂末端在误差范围内到达目标点并且整个机械臂不碰到障碍物（机械臂连杆的粗细自己设定）。问题二：应用你的算法就下面具体的数据给出计算结果，并将计算结果以三组六维的指令序列（每行6个数据）形式存放在Excel文件里，文件名定为answer1.xls，answer2.xls和answer3.xls。假设在机械臂的旁边有一个待加工的中空圆台形工件，上部开口。工件高180mm，下底外半径168mm，上底外半径96mm，壁厚8mm。竖立地固定在xy平面的操作台上，底部的中心在 (210, 0, 0)。要求机械臂（指尖）从初始位置移动到工具箱所在位置的 (20,200, 120) 处，以夹取要用的工具。如果圆台形工件外表面与平面x =2z的交线是一条裂纹需要焊接，请你给出机械臂指尖绕这条曲线一周的指令序列。有一项任务是在工件内壁点焊四个小零件，它们在内表面上的位置到x-y平面的投影为（320,-104）、（120,106）、（190,-125）和（255,88）。要求机械臂从圆台的上部开口处伸进去到达这些点进行加工，为简捷起见，不妨不计焊条等的长度，只考虑指尖的轨迹问题三：制造厂家希望通过修改各条连杆的相对长度以及各关节最大旋转角度等设计参数提高机械臂的灵活性和适用范围。请根据你们的计算模型给他们提供合理的建议。二、问题分析机械臂运动路径设计问题主要涉及到相对坐标系坐标变换、机器人正运动学分析、逆运动学求解、优化以及机器人避碰问题。1运动方程的建立从机构学观点来看，机器人属于空间机构范畴。杆件每次转动因此，采用空间解析几何的变换基本原理及坐标变换的矩阵解析方法，来建立机器人的运动系统的多级变换方程。由于旋转轴涉及到平行连杆和垂直连杆两类，因此对于各类旋转变换，所使用的变换矩阵也不相同。同时，此题中涉及的机器人有6个自由度，则从工件的坐标位置到固定坐标系的变换要经过多级坐标变换。采用多级坐标变换的方法。由上述三点，便可建立机器人运动系统的坐标变换关系式。2尖端轨迹曲线模型的建立对于已给定一条空间曲线x=(s),y=(y),z=(z),可将其看成一个点的集合。因此机械臂实现一个空间轨迹的过程是实现轨迹离散的过程。如果这些离散点间距很大，机械臂轨迹与要求的轨迹就有较大误差。只有这些离散点彼此很接近，才有可能使机械臂的轨迹以满足要求精确度逼近要求的轨迹。连续轨迹的控制实际上就是在多次执行离散点间的点位控制，离散点点越密集越能逼近要求的运动曲线。3避碰问题假设空间障碍物为半径为r的球体，则这些球体空间便形成了机械手臂的约束。而躲避问题就转化成保证机械手臂上的点与障碍球球心距离始终大于r的问题。根据运动规律，不难知道手臂相对于初始位置的姿态决定于之前执行的所有指令的和。已知连杆上的点L在其所在的相对坐标系中的坐标及转动的指令，根据齐次坐标变换矩阵就可得到L在固定坐标系中的坐标，然后可计算距离。所以 可以用问题1-1算法产生点到点的指令，可以利用迭代法从初始位置开始提前检验每个指令，不满足要求的无法执行。4.自由度分析：由题中指出的：指尖E点，具有夹工具、焊接、拧螺丝等多种功能，不过在这里不要求考虑这方面的控制细节。则将情况理想化，不考虑第6个自由度对运动的影响。三、模型的假设1.各关节连杆在输入指令后同时开始转动，速度为低速，各杆件之间无摩擦，臂各旋转轴最大运动速度相同2.在轨迹规划中不考虑机械臂关节转角的限制。3.不考虑机械臂结构和装配产生的误差。4.连杆为刚体，不会发生形变5.设机器人的初始位置是在一个平面上的（y-z 平面）。6.关节视为质点，它们所占的面积可忽略不计。四、符号说明：坐标系，为固定坐标系，其余为固定在杆上的相对坐标系：到的坐标系变换矩阵:尖端移动终点在固定坐标系中的x方向坐标：尖端移动终点在固定坐标系中的y方向坐标 ：尖端移动终点在固定坐标系中的z方向坐标 ：尖端转动起点在固定坐标系中初始x方向坐标：尖端转动起点在固定坐标系中初始y方向坐标 ：尖端转动起点在固定坐标系中初始z方向坐标-第i个自由度的相对于初始姿态转角(i=1,2,3,4,5,6)-第i个自由度转角的增量(i=1,2,3,4,5,6)si-sin ci-cos五、模型建立与求解5.1运动学模型建立与求解5.1.1机器人运动方程的建立 为了产生点到点的运动序列, 首先我们先作出初始角度均为0时的姿态，以每个节点为原点建立坐标系到如图1。 图1 从图2可以看出F点相当于将绕Z轴旋转得到，同理其他节点分别相当于将前一坐标系绕X,X,Z,X,Z轴转动。可得到各坐标系相对于前一个的坐标系的坐标变换公式。从而得到机械臂各个关节的变换矩阵：旋转矩阵：位置矢量：图2 相乘,得 其中2确定固定坐标系中E点位置由题设中，已知固定坐标系原点，根据给定的连杆长度和角度，易计算得出，在固定坐标系中E位置： Ex=-65(-cos(s1)sin(s4)+(-sin(s1)cos(s2)cos(s3)+sin(s1)sin(s2)sin(s3)cos(s4)sin(s5)+65(sin(s1)cos(s2)sin(s3)+sin(s1)sin(s2)cos(s3)cos(s5)+255sin(s1)cos(s2)sin(s3)+255sin(s1)sin(s2)cos(s3)+255sin(s1)sin(s2)Ey=-65(-sin(s1)sin(s4)+(cos(s1)cos(s2)cos(s3)-cos(s1)sin(s2)sin(s3)cos(s4)sin(s5)+65(-cos(s1)cos(s2)sin(s3)-cos(s1)sin(s2)cos(s3)cos(s5)-255cos(s1)cos(s2)*sin(s3)-255cos(s1)sin(s2)cos(s3)-255cos(s1)sin(s2)Ez=140-65(sin(s2)cos(s3)+cos(s2)sin(s3)cos(s4)sin(s5)+65(-sin(s2)sin(s3)+cos(s2)cos(s3)cos(s5)-255sin(s2)sin(s3)+255cos(s2)cos(s3)+255cos(s2)这样便得到了运动学方程。5.1.2 利用逆运动学方法求解（1）求可用逆变换左乘运动方程式两边得：根据对应元素相等可解得:（2）求由：解得:（3）求 （1） （2）解得：其中 （4）求 或（5）求由，可以解得：或（6）求；或5.2、问题11的模型在已有六自由度手臂运动方程和逆运动学解法的基础上，若已知机械臂末端转动终点坐标和转动起点坐标已知，就可以得到各关节的坐标，连杆的相对于初始状态的角度变化及机械臂的姿态。针对问题21，根据题设，要求机械臂指针从所给基坐标系初始点到目标点的运动序列，初末状态如图：图35.2.1确定目标函数设机械臂指尖初始位置的坐标为，目标点的位置坐标为，设为指尖由初始姿态经过一系列指令变换后的各旋转角的总增量，其对应的位置为。为了使指尖实际到达点尽可能与目标点接近，即实际指尖实际到达的点与目标点的位置偏差尽可能小，可得到如下目标函数：其中，即表示实际指尖到达点与目标点的位置偏差。由于各个增量只能取到-2，-1.9，-1.8,1.8,1.9,2这41个离散值（即精度为，绝对值不超过），通过一系列的指令序列可以将指尖依次到达位置，则称为从指尖初始位置到达目标位置的移动路径，故要达到目标点需要进行多次移动，考虑到操作指令序列的复杂性，以移动的次数越少越好，即使指令步数尽量小。5.2.2确定约束条件(1)机器人的六个自由度转角有一定的运动范围， 即各个自由度角度总增量应在对应的变化范围内，即：又因为关节的角度改变不影响机械臂指针的坐标，故将其指令恒视作0。(2)指尖所在的初始点为，初始姿态为，为由初始姿态经过一系列指令变换后的各旋转角的总增量，其对应的位置为，这一系列指令序列为，其中相对于的角度增量为，因此，有：(3) 各个自由度角度单步增量只能取到-2，-1.9，-1.8,1.8,1.9,2这41个离散值（即精度为，绝对值不超过），即：5.2.3得到多目标规划模型5.2.4 模型的算法由于模型是一个双目标非线性规划模型，基本思想是当做两个单目标非线性规划模型进行求解和筛选运算。模型首先采用遗传算法，简称模仿自然界生物进化机制进行随机全局搜索和优化。重点针对第一目标即机械臂指针所到达目标点的精确度进行优化，具体算法如下：编码个体评判随机产生种群解集合选择运算交叉运算解码产生新种群变异运算利用遗传算法求解时考虑到目标二，即完成路径的最少指令数，指令序列的生成分粗调和微调两部分，粗调即让机械臂各关节每次以最大幅度度动作，微调是让机械臂各关节每次以最小幅度度动作进行精确调整，在保证精确度的同时尽量减少动作次数，按照以上算法编码、根据已知的矩阵生成适应度函数，随机产生种群后进行选择、交叉、变异运算，具体运行参数如下：群体大小：交叉概率：用自适应的方式，初始值取，在随后的变动中.变异概率：取变异概率为0.1。随着遗传算法在线性能的下降可以减小变化，.遗传代数：，即算法算至代时运算停止。用运行后得到相对最优解及误差L。为了进一步将机械臂指针点到点路径优化，利用搜索功能进行第二次筛选，在误差精度基本保持一致的前提下减少动作次数。将得到的优化解整理成指令序列。5.2.2、模型求解开始遗传算法，得到“最佳适应度”图形和“最佳个体图”图形如下：图5由图中最佳值和平均值可以看出可以看出，采用该算法计算模型的收敛速度快，算法稳定性好。由度机械臂最终位姿得各个关节得转角见表1：表1图6图6为遗传算法最优解下机械臂指针运行的轨迹。指令序列如下：共步。表2122-2-220222-2-220322-2-220422-2-220522-2-220622-2-220722-2-220822-2-220922-2-2201022-2-2201122-2-2201222-2-2201322-2-2201422-2-2201522-2-2201622-2-2201722-2-2209900002010000002010100002010200001.60 实际到达点为：表3与理论到达点误差为： 将初状态带入搜索算法模型，对最优解进行筛选。得到相对最优解如下：表4图7上图为优化后机械臂指针轨迹图，其中实际到达目标点为表5指令共步，误差为： 5.3、问题12、3的模型问题1的、和问题2的、5.3.1、问题1的、已给定一条空间曲线x = x(s), y = y(s), z = z(s), a s b 。由于代入计算机运算。我们将空间曲线离散化，取为若干个离散点，对离散点进行计算。即：将目标坐标由中的一固定点变化为若干个满足空间曲线分布的离散点的集合。若根据问题1的的算法即逐步逼近的方法来计算，则会存在两点之间逼近过程中出现迂回的现象。现对此算法进行优化。目标坐标系中存在的关系。为求得两点的最短路径，作如下计算：（，）是，的参数。则对，求偏导，有即： 即： 算法的流程图：将曲线上的点离散化为n个（）计算出当前点的坐标和目标点坐标计算坐标差向量计算A矩阵计算A的广义逆阵计算调整值使指尖E从点处移动到判断k是否等n是：结束 否：K=k+1 图8同时，在中，考虑避碰问题。将机械臂进行拉伸，考虑机械臂的最大活动范围。下面分析矩阵大小的选择：因为连杆在x、y方向的极限长度为，设定一个区间为：400mm*400mm*400mm.设定单位小区间为：2mm*2mm*2mm.考虑与设定单位小区间为：1mm*1mm*1mm相比，用这个数据有利于节省计算机内存。这也是我们将连杆横截面积取为2mm*2mm*2mm的原因。将此空间用矩阵来描述。在障碍物存在的地方，设定取值为1，否则，设定取值为0。这样建立一个Z空间来处理避碰问题。5.3.2、问题2的根据题设给定圆台以及平面x = 2 z ,确定圆台形工件外表面与平面 x = 2 z 的交线。圆台形工件外表面公式为：，与平面的交线为。化成参数方程形式：下图是所要求路径的空间图形：图9 对路径进行等分成分，后进行进行随机的取点点（轨迹如图10所示），共得到个指令点，坐标如下：表6下图为描点图形：图10按模型算法将个点构成的轨迹向、 、面投影，分别得到相应的值，以面为例：表7同理得到 、面的值：表8不存在根据遗传搜索法，以为起点运动，得到其到达下一点的轨迹指令序列：表95.3.3、问题2的根据上述两点的分析结果和算法，可得内表面的曲面方程为： （）四个焊接点坐标： （320，-104，21.5492）（120，-106，52.3651）（190，-125，83.5253）（255，88，152.9044） 算法流程图如下：建立三维矩阵空间建立障碍物的Z空间（即将障碍物所在处赋值为1，其余赋为0）按问题1的中优化搜索算法进行搜索并在此加以改进。每次移动E点前计算在该坐标处，A,B,C,D的坐标，判断其连线AB,BC,CD,DE上是否有点处值为1（即与障碍物相碰）否：移动E点到目标点排除该优先级继续搜索图11 将数据代入计算，可得结果见表10： 表10 对结果进行分析，并用MATLAB对针尖运动路径作图如下：（由于是立体图形，所以用两个图显示两个不同的方位示意）图12图135.4、问题3考虑修改各条连杆的相对长度以及各关节最大旋转角度等设计参数提高机械臂的灵活性和适用范围。（1）从灵活性角度考虑，连杆每作一次移动，产生的变化，则相对的角度也会出现变动。要提高灵活性即是要提高角度变化向量的变化范围。这里我们考虑能量最省的优化原则。则用角度变化向量的二范数来判定。（2）适用范围：在所有杆的长度之和为固定值的情况下，指尖点E所能扫过的最大空间体积。灵活性和适用范围存在的一些相互制约的关系，根据本文的分析结果，我们建议越靠近基座的值精度高一些，使得E点所能扫过的空间点数更多。七、模型的评价7.1模型的优点1、基于齐次坐标变换法的点位控制模型评价：该模型可以适用于所有已知目标位置和姿态的点位控制问题。算法的计算效率非常的高，并且实时控制性好。算法误差产生于多次三角变换求解所带来的舍入误差。2、连续轨迹控制模型评价：该模型适用于所有参数方程的空间曲线生成机器指令。适用于机器人在低速运动的情况。但离散点数量较少时，会产生误差。3、通过求解整个Z空间，使得自由空间、障碍空间一目了然，因而，可按任何性能指标搜索路径且具有完备解。4、通过权重来判断影响因素最大的方法来选择搜索最优路径，有利于节省能量。5、通过曲线的参数方程直接得到值的增量，精度比较高，连续性比较好。7.2模型的缺点1、在焊接裂纹的时候没有考虑焊接角度即杆DE与曲线法线方向所成的角度，实际上此夹角越大越容易造成对圆台壁的损伤，相应的焊接效果越差。2、障碍的Z空间只能通过离散化求得，而难获得Z空间障碍的解析表达式，因而，为了提高精度要占用大量的内存。3、对于关节敬较多的机械臂，Z空间自由路径的搜索也将花费较多的时间。4、在搜索时，由于自由度的牵连关系，导致在搜索时可能会生成锯齿形路径。参考文献1机械运动学教程2 机器人手臂下棋运动的逆运动学分析与仿真 赵艳云3 周远清等，只能机器人系统M,北京：清华大学出版社4 陈明生，沙威，谢莹，六自由度机械臂运动路径设计，数学的实践与认识，2008年7月5 龚纯，王正林，精通MATLAB最优化计算，电子工业出版社，2009机械臂参数关节变量符号初始位置变量范围10 1802-90 12530 13840 2705-90-120 +133.560 270附件：问题1-1nx=T06(1,1);ny=T06(2,1);nz=T06(3,1);ox=T06(1,2);oy=T06(2,2);oz=T06(3,2); ax=T06(1,3);ay=T06(2,3);az=T06(3,3); px=T06(1,4);py=T06(2,4);pz=T06(3,4); n=nx ny nz; o=ox oy oz; a=ax ay az; p=px py pz;theta=zeros(6,100);for i=2:100 %theta1 theta11=atan(py-65*ay)/(px-65*ax); theta12=pi+atan(py-65*ay)/(px-65*ax); if theta11-theta(i-1,1)=theta12-theta(i-1,1) theta(i,1) =theta12; else theta(i,1) =theta11; end %theta3theta31=asin(1)+atan(1/6);theta32=pi-asin(1)+atan(1/6);if theta31-theta(i-1,3)=theta32-theta(i-1,3) theta(i,3) = theta32; else theta(i,3) = theta31;end %theta2 w=atan(c1(i,j)*px+s1(i,j)*py-65*(c1(i,j)*ax+s1(i,j)*ay)/(pz-65*az); B=(255*c3(i,j)/sqrt(c1(i,j)*px+s1(i,j)*py-65*c1(i,j)*ax-65*s1(i,j)*ay)2+(pz-p*az)2); theta21=asin(B-w-theta(i,3); theta22=pi-asin(B)-w-theta(i,3); if theta21-theta(i-1,2)=theta22-theta(i-1,2) theta(i,2) = theta22; else theta(i,2) = theta21; end %theta5theta51=acos(s231(i,j)*(c1(i,j)*ax+s1(i,j)*ay)-c231(i,j)*az);theta52=2*pi-acos(s232(i,j)*(c1(i,j)*ax+s1(i,j)*ay)-c232(i,j)*az);if theta51-theta(i-1,5)=b5-theta(i-1,5) theta(i,5) = theta52; else theta(i,5) = theta51;end %theta4 theta41=asin(s511(i,j)*ax-c1(i,j)*ay)/s511(i,j); theta42=pi-asin(s1(i,j)*ax-c1(i,j)*ay)/s511(i,j); if atheta41-theta(i-1,4)=theta42-theta(i-1,4) theta(i,4) = theta42; else theta(i,4) = theta41; end %theta6 theta61=asin(sin(c1(i,j)*ox+s1(i,j)*oy)-c231(i,j)*oz)/s511(i,j); theta62=pi-asin(s231(i,j)*(c1(i,j)*ox+s1(i,j)*oy)-c231(i,j)*oz)/s511(i,j); if theta61-theta(i-1,6)=theta62-theta(i-1,6) theta(i,6) = theta62; else theta(i,6) = theta61; end end问题2-1T06=transl(20,-200,120); nx=T06(1,1);ny=T06(2,1);nz=T06(3,1); ox=T06(1,2);oy=T06(2,2);oz=T06(3,2); ax=T06(1,3);ay=T06(2,3);az=T06(3,3); px=T06(1,4);py=T06(2,4);pz=T06(3,4); n=nx ny nz; o=ox oy oz; a=ax ay az; p=px py pz;theta=zeros(7,6);for i=2:100 %theta1 theta11=atan(py-65*ay)/(px-65*ax); theta12=pi+atan(py-65*ay)/(px-65*ax); if theta11-theta(i-1,1)=theta12-theta(i-1,1) theta(i,1) =theta12; else theta(i,1) =theta11; end %theta3 theta31=asin(1)+atan(1/6); theta32=pi-asin(1)+atan(1/6); if theta31-theta(i-1,3)=theta32-theta(i-1,3) theta(i,3) = theta32; else theta(i,3) = theta31; end c1(i)=cos(theta(i,1); s1(i)=sin(theta(i,1); c3(i)=cos(theta(i,3); s3(i)=sin(theta(i,3); c23(i)=cos(theta(i,1)+theta(i,3); s23(i)=sin(theta(i,1)+theta(i,3); %theta2 w(i)=atan(c1(i)*px+s1(i)*py-65*(c1(i)*ax+s1(i)*ay)/(pz-65*az); B(i)=(255*c3(i)/sqrt(c1(i)*px+s1(i)*py-65*c1(i)*ax-65*s1(i)*ay)2+(pz-1*az)2); theta21=asin(B(i)-w(i)-theta(i,3); theta22=pi-asin(B(i)-w(i)-theta(i,3); if theta21-theta(i-1,2)=theta22-theta(i-1,2) theta(i,2) = theta22; else theta(i