计算方法上机实验指导.doc

计算方法上机实验指导一、非线性方程求解（一）问题的指出二分法1方法概要 假定在上连续，且在内仅有一实根取区间中点，若，则恰为其根，否则，根据是否成立，可判断出根所属的新的有根子区间或，为节省内存，仍称其为。运算重复进行，直到满足精度要求为止，即。式中为新的有根子区间的端点。2计算框图否否是结 束定义，读入输出及开 始是Nowton迭代法1方法概要 为初始猜测，则由递推关系产生逼近解的迭代序列，这个递推公式就是Newton法。当距较近时，很快收敛于。但当选择不当时，会导致发散。故我们事先规定迭代的最多次数。若超过这个次数，还不收敛，则停止迭代另选初值。2计算框图否是否是是定义输入开 始输出迭代失败标志输出输出奇异标志结 束否（二）目的 掌握二分法与牛顿法的基本原理及应用（三）要求 1用二分法计算方程在内的根的近似值 2用二分法计算方程在内的根的近似值。 3用牛顿法求下列非线性方程的近似根。 4用改进的牛顿法计算方程的近似根，并与要求3.中的的结果进行比较。二、Gauuss列主元消去法（一）问题的提出 由地一般线性方程组在使用Gauss消去法求解时，从求解过程中可以清楚地看到，若，必须施以行交换的手续，才能使消去过程继续下去。有时既使，但其绝对值很小，由于舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定现象。因此，为使这种不稳定现象发生的可能性减至最小，在施行消去过程时每一步都要选主元素，即要寻找行，使并将第行与第行交换，以使的当前值（即的数值）远大于0。这种列主元消去法的主要步骤如下：1消元过程 对，做 1 选主元，记 若，说明方程组系数矩阵奇异，则停止计算，否则进行2。 2 交换（增广矩阵）的两行元素 3 计算2回代过程 对，计算 其计算框图如下：是否否是开 始输入（增广矩阵）交换中两行输出结 束（二）目的 1熟悉Gauss列主元消去法，编出实用程序。 2认识选主元技术的重要性。 3明确对于哪些系数矩阵，在求解过程中不需使用选主元技术。（三）要求 1编制程序，用Gauss列主元消去法求解线性方程组，并打印结果，其中 （1）， （2）， 2与不选主元的Gauss消去法结果比较并分析原因。三、Runge现象的产生和克服（一）问题的提出 在给定个插值节点和相应的函数值以后构造次插值多项式的方法。从余项的表达式看出，插值多项式与被插函数逼近的程度是同分点的数目及位置有关的。能不能说，分点越多，插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案是否定的，在本世纪初Runge指出了这种多项式插值的缺点。 什么是Runge现象呢？ 例：给定函数取等距节点，试建立插值多项式，并研究它与的误差。 插值多项式的次数为10，用拉格朗日插值公式有其中 画出它们的图形，从图中可以看出，在区间内能较好地逼近，但在其他部分与的差异较大，越靠近端点，逼近的效果越差。事实上可以证明，对这个函数在区间内用个等距节点作插值多项式，当时只能在内收敛，而在这个区间之外是发散的，这一现象称为Runge现象。 从上面例子看到，在区间上给定等距插值节点，过这些插值节点作拉格朗日插值多项式，节点不断加密时，构造的插值多项式的次数也不断提高，但是，尽管被插值函数是连续的，高次插值多项式也不一定收敛到相应的被插值函数。 解决Runge现象有分段线性插值，三次样条插值等方法。 分段线性插值： 设在区间上，给定插值节点和相应的函数值，求作一个插值函数，具有下面性质： （1） （2）在每个小区间上是线性函数。 插值函数叫做区间上对数据的分段线性插值函数。 三次样条插值 给定区间一个分划若函数满足下述两条件： 1）在每个小区间上是3次多项式。 2）及其直到2阶导数在连续。则称是关于分划的三次样条函数。（二）目的 1深刻认识多项式插值的缺点； 2明确插值的不收敛性怎样克服； 3明确精度与节点、插值方法的关系。（三）要求 给定函数，及节点，试用如下插值方法如何克服Runge现象 1用多项式插值计算出下列插值，观察是否会产生Runge现象。 2用下列方法进行计算，并且比较它们克服Runge现象的效果。 （1）分段线性插值 （2）三次样条函数插值（一），条件为： （3）三次样条函数插值（二），条件为 3编程序，打印结果分析。 （1）编写计算程序，调试计算，比较每种插值在插值点上与精确值的误差是多少。 （2）同一种插值法，当节点增多时，精度怎样？ （3）打印程序、结果，写出实验报告。四、多项式最小二乘法（一）问题的提出 对于给定的测量数据设函数分布为特别地，取为多项式形式则根据最小二乘原理，可构造泛函令则可得到法方程 求解该方程组，则可得到解，因此可得到数据的最小二乘解（二）目的 1学习使用最小二乘原理 2了解法方程的特性（三）要求 用最小二乘方法处理实验数据。 并作出的近似分布图。五、龙贝格积分法（一）问题的提出 考虑积分欲求其近似值，可以采用如下公式： （复化）梯形公式 （复化）辛卜生公式 （复化）柯特斯公式 这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。为此，记为将区间进行等份的复化梯形积分结果，为将区间进行等份的复化辛卜生积分结果，为将区间进行等份的复化柯特斯积分结果。根据李查逊（Richardson）外推加速方法，可得到 可以证明，如果充分光滑，则有 （固定） 这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。 该方法的计算可按下表进行 很明显，龙贝格计算过程在计算机上实现时，只需开辟一个一维数组，即每次计算的结果，可存放在位置上，其最终结果是存放在位置上。具体的计算过程为： 1准备初值，计算且（为等份次数） 2按梯形公式的递推关系，计算 3按龙贝格公式计算加速值 4精度控制。对给定的精度，若则终止计算，并取作为所求结果；否则，重复24步，直到满足精度为止。（二）目的 1理解和掌握龙贝格积分法的原理； 2学会使用龙贝格积分法； 3明确龙贝格积分法的收敛速度及应用时容易出现的问题。（三）要求 1用龙贝格积分法计算下列积分的近似值 （1）； （2）； （3） 2打印龙贝格积分法的函数表，使积分结果更加清楚。 3分析所出现的问题并加以讨论。六、常微分方程初值问题的数值解法（一）问题的提出 一阶常微分方程初值问题 （6.1）的数值解法是近似计算中很重要的部分。 常微分方程初值问题的数值解法是求方程（6.1）的解在点列上的近似值，这里是到的步长，一般略去下标记为。 常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类： （1）单步法：这类方法在计算时，只用到、和，即前一步的值。因此，在有了初值以后就可以逐步往下计算。典型方法如龙格库塔方法。 （2）多步法：这类方法在计算时，除用到、和以外，还要用，即前面步的值。典型方法如Adams方法。 经典的方法是一个四阶的方法，它的计算公式是： （6.2）方法的优点是：单步法、精度高，计算过程便于改变步长，缺点是计算量较大，每前进一步需要计算四次函数值。 四阶Adams预测校正方法是一个线性多步法，它是由Adams显式公式和隐式公式组成，计算公式是： 预测 （6.3） 校正 它的局部截断误差是。利用Adams显式和隐式公式具有同阶截断误差但系数不同的特点，将截断误差以预测值和校正值来表示，在预测和校正公式中分别以它们各自的截断误差来进行补足，可期望使精度进一步得到改善。用和分别表示第步的预测值和校正值，修正后的预测校正公式为： 预测 修正 求 （6.4） 校正 修正 求导 由于开始无预测值和校正值可以利用，故令，以后就按上面步预计算。此方法的优点是：可以节省计算量（与方法相比减少了函数的计算次数）；缺点是：它不是自开始的，需要先知道前面四个点的值，因此，它不能独立使用。另外，它也不便于改变步长。（二）目的和意义 通过实便，编写程序上机计算，使得对常微分方程初值问题的数值解法有更深的理解，掌握单步法和线性多步法是如何进行实际计算的及两类方法的适用范围和优缺点，特别是对这两类方法中最有代表性的方法；方法和Adams方法及预测校正方法有更好的理解。通过这两种方法的配合使用，掌握不同方法如何配合在一起，解决实际问题。（三）实际计算例题 1初值问题 取步长，计算在上的数值解。 2