第2章不定方程.doc

第二章 不定方程二元一次不定方程 中国古代数学家张丘建在张丘建算经中解答了下面的题目：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设，分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目，就可得到下面的方程组消去，再化简，即得 （*）像（*）这种含有未知数的个数大于1的方程就是不定方程。在数论中我们主要讨论（*）这种不定方程的整数解。因由高等代数的知识我们知道在实数或复数范围内（*）总是有解的 ，但一个整系数不定方程不一定有整数解，比如 就无整数解。二元一次不定方程的一般形式本部分讨论二元一次不定方程，其一般形式为： （）其中，是整数，不为零，为未知量。对二元一次不定方程（1），我们主要讨论它有整数解的判别条件，以及在它有整数解时，如何求出它的全部整数解。二元一次不定方程有整数解的判别定理1二元一次不定方程（1）有整数解的充要条件是。证若（1）有整数解，设为 ，则但 ， ，因而，必要性得证。反之，若，则，为整数。由最大公因式的性质，存在两个整数， 满足下列等式于是。令，则，故为（1）的整数解，从而（1）有整数解二元一次不定方程的解法定理2设二元一次不定方程（1）有整数解，是其中一个整数解，又设，则（1）的一切整数解可表成 （）其中。证因是（1）的解，故有，因此 ，这说明（2）是（1）的整数解。设是（1）的任一整数解，则，从此式减去得将，代入上式，移项并消去（注意)，得到又，故。由整除的性质知，所以存在整数 使，亦即。将代入即得 。故可表成（2）的形状。由上面两方面的证明知（2）表示（1）的一切整数解。给定二元一次不定方程（1），可先由定理（1）判别其是否有整数解，在有整数解时，由定理2，要先求出其一特殊解，再用公式（2）即可写出其一切整数解的表达式，即所谓通解。下面重点讨论(1)的特解（即一个固定解）的求法。由定理1的证明知，只须求出整数， 使，则即为（1）的一个解。为求， 我们先用最大公因数的计算方法辗转相除法，求出各个商，最后一个商不要，按下表排列，并按所给式子计算出 。其中。则。最后根据及，的大小选择， 的绝对值及符号即可。例1求， 使。解先写出辗转相除法的过程如下：不要，将，排成下表计算经计算（或观察）取，即得例2求的一切整数解。解因为，所以有整数解。先求， 使。作辗转相除法： 所以取，得。从而。故一个特解为：。一切整数解为：。注在例2中为求， 使，由于此式较简单，也可直接观察得出。第二章 不定方程多元一次不定方程在本小节内，我们将二元一次不定方程的解法推广到 元一次不定方程。多元一次不定方程的一般形式多元一次不定方程的一般形式是，（）其中为整数，均不为零、多元一次不定方程有整数解的判别定理1多元一次不定方程（1）有整数解的充分必要条件是证设。（i）若（1）有整数解，设为其一个整数解，则由整除的性质知，故。（ii）若，我们用数学归纳法来证明（1）有整数解。当时，由二元一次不定方程有解的判别知（1）有整数解。设上述条件对 1 元一次不定方程是充分的。令，则，因，由归纳假设知方程有整数解，设为其一整数解。再考虑由二元一次不定方程有整数解的判别及，知它有整数解，设为其一整数解。则故是（1）的一个整数解。定理证毕。多元一次不定方程的解法定理1不仅提供了多元一次不定方程有整数解的判别法，同时由证明过程也给出了具体求解的方法。 先计算。由定理1，若，则（1）无整数解；若，则（1）有整数解。作以下二元一次不定方程（）利用解二元一次不定方程的解法，从（2）的最后一个方程开始，依次求出（2）中各二元一次不定方程的整数解的表达式，就可得出（1）的整数解的表达式。例求的一切整数解。解，故方程有整数解。考虑方程与。先解得再解，即得故原方程的一切整数解为第二章 不定方程勾股数在这一节我们讨论一种特殊的二次不定方程（1）该不定方程肯定有整数解。如就是（1）的一个整数解。显然 或是（1）的解，故我们只须讨论（1）的一切非零整数解，又当, 满足（1）时，也满足（1），所以我们重点讨论（1）的一切正整数解。下面假定。若（1）有正整数解，且，则，从而，故这时可在（1）的两边约去，所以我们再假定若（1）有正整数解，则，中一定是一单一双。因为由知，不能同时为偶数。又如果，同时为奇数，则，从而，但或，故，于是，必一单一双，我们设是双数，即。下面先证一个引理。引理不定方程(2)的一切整数解可以表达成：(3)证设是（2）的任一解。令，其中不能再被任何数的平方整除。则，因此。又，故，所以，设，代入（2）即得。若，则有一质数 满足，但由的定义及知。所以，但均为正整数，故。因此反之，（3）式中的显然满足（2）式。定理不定方程（1）的适合条件（）的一切正整数解可以表成：（）证（i）先证（5）是（1）的适合条件（4）的正整数解。显然，且，。设，则。因此。但，故或。又因为单数，|，得 。（ii）设，是（1）的适合条件（4）的任一组正整数解。则，(，)=1，因此，均为单数。而其中为互质的正整数，因为若，则，因而，故 。由引理有正整数， 存在且使下式成立：，即。由，即知，又由为单质数可知， 之中一单一双。费尔马问题介绍在这一部分我们介绍一个与不定方程有关的问题，著名的费尔马最后定理（Fermatslast theorem），在中国较普遍地的叫做费尔马大定理。费尔马（16011665），出身于法国南部一个富裕的中产阶级家庭，学过法律，1631年前曾在波尔多做法官，1631年5月，费尔马成为图鲁兹地方高等立法议会议员，并移居图鲁兹。费尔马的数学研究是业余的。他对数论、几何、分析和概率等学科都做过深入的研究，并做出了重大的贡献。所谓费尔马大定理，就是在1637年费尔马提出的下面的猜测：当时，没有正整数解。全世界很多著名数学家为这个问题绞了很多脑汁，到1983年，由于莫德尔猜想的证明，数学家看出有一系列猜想最终可导出费尔马定理的证明。发展到1986年，数学家已经看到了，要证明费尔马大定理，只须证明对半稳定椭圆曲线，谷山志村猜想成立就可以了，英国数学家安德鲁维尔斯（Andrew Wiles）知道这个消息后，面壁7年，终于在1993年6月取得了突破，但还有一些漏洞。直到1994年10月25日，美国俄亥俄州立大学的卢宾（Karl Rubin）教授用电子邮件向全世界宣布，A.维尔斯完