高中数学课程中的《球面几何》.pdf

2 0 0 7 年第4 6 卷第8 期数学通报 高中数学课程中的 球面几何 张劲松刘长明 人民教育出版社1 0 0 0 8 1 球面几何 是 普通高中数学课程标准 实 验 以下简称 标准 系列3 中的一个专题 诚如 标准 在 课程的基本理念 中指出 必修系列课 程是为了 满足所有学生的共同需求 选修系列课程 是为了满足学生的不同数学需求 它仍然是学生发 展所需要的基础性数学课程 标准 在 关于课程 设置的说明 中指出 系列3 和系列4 是为对数学有 兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的 所涉及的内容反映了 某些重要的数学思想 有利于 扩展学生的数学视野 有利于提高学生对数学的科 学价值 应用价值 文化价值的认识 从上面的表 述 可以看出 系列3 和系列4 开设的目 的 简言之 就是 扩展数学视野 提高数学认识 进一步打好数 学基础 如何实现上述目 标 笔者认真研读 标准 中关于 球面几何 这个专题的阐述 在编写 球面 几何 的过程中 以 深人浅出 返璞归真 的呈现方 式 采用 几何直观 类比归纳 演绎证明 结合的思 想方法展开 球面几何 这个专题的基本内容 基本 思想 希望通过本文 对选修这个专题有一定的帮 助 球面是大家比较熟悉的 在现实世界中有许多 原型 乒乓球 篮球等 从数学角度看 球面既可看 成半圆以它的直径所在直线为旋转轴 旋转一周所 成的封闭曲面 又可看成与定点 球心 的距离等于 定长 半径 的所有点的 集合 球面几何 顾名思义 就是研究球面上图形的 形状 大小与位置关系的一门学科 球面几何的知 识与人类的生产 生活息息相关 我们生活的地球 可近似看成一个球 地球表面可以近似看成球面 航海 航空 卫星定位等都离不开球面几何的有关 知识 球面与平面不同 球面是封闭的 有界的 平面 是开放的 无界的 两者之间虽有不同 但又有联 系 研究球面几何离不开平面 欧氏 几何 我们可 以通过类比平面几何的一些结论 猜想球面几何的 相关结论 也可以通过这种类比 得到球面几何的 研究方法 比如 在地球这样半径极大的球面上 从 较小的范围来看 大地好象一个平面 但是 从大的 范围看 如航海 航空 卫星定位等实际问题 采用 平面 欧氏 化 的研究方法所得出的结论就可能 产生很大的误差 这时 球面几何的知识就很有用 了 球面几何 的学习 起点低 只需平面几何和 立体几何的 基础知识 在学习 球面几何 过程中 学生要认真体会球面几何在实践中的作用 学会用 球面几何知识解决一些简单的实际问题 从中感受 球面 几何是描述客观世界的一类非常重要的数学 模型 更好地了解我们生活的地球 更深人地认识 客观世界 1 从欧氏几何看球面 乍看这一标题 感觉很奇怪 从欧氏几何看球 面 是啥意思 看一下内容的展开 我们不难体会到 这一标题的含义 很显然 任意一个平面与球面有三种位置关 系 相离 相切 相交 其中相切可以看作相交的特 殊情形 这三种位置关系中 最重要的是相交的情 形 此时 截面是一个圆 即平面与球面的交线是一 个圆 我们定义经过球心的平面截球面得到的圆叫 做大圆 不经过球心的截面而截得的圆叫做小园 小圆的半径小于大圆的半径 也就是说 大圆是截 得的圆中半径最大的圆 此结论也可以证明 联想到地球 地球的经线都是半个大圆 地球 上的纬线除赤道之外都是小圆 地球球面上一点的 经线的经度是过该点的经线所在半平面与00经线 所在半平面组成的二面角的大小 纬线的纬度是该 点 与 球 心 的 连 线 与 赤 道 平 面 所 成 角 的 大 小 因此研究球面几何可以将球面放到 即嵌人 万方数据 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第8 期 三维 欧氏 空间中 再利用平面与球面的位置关系 来考察 这就是 从欧氏几何看球面 的意思 2 球面上两点间的距离和球面角 2 1 球面上两点间的距离 我们知道 对于平面几何的学习 我们是从距 离和角度这两个基本概念开始的 几何中常用点表 示位置 并用距离和角度 方位 来刻画位置间的关 系 对于三维空间中的任意两点 有任意条路径 这 任意条路径中 有一条最短的路径 即经过这两点 间的 直线段的长度 这个长度 我们定义为空间中 任意两点间的 距离 这个距离存在且唯一 同样 对 于球面 几何的学习 我们也从球面上任意两点间的 距离开始 一个显而易见的事实是 球面上的线是弯曲 的 连结球面上任意两点有无数条曲线 它们长短 不一 我们关注的是 其中是否存在一条最短的路 径 最短路径是存在的 实际上 经过球面上任意 两 点 的 最 短 路 径 是 经 过 这两 点的 大圆中 的 劣 弧 我 们 把劣弧的长度就称为球面上任意两点间的 距离 球面上两点间的距离是球面几何这门学科的核心 百 概 念 也是球面 几何这门 学科的 起点 由 于其重要 性 我们给出它的证明 由于经过球面上任意两点的圆中 大圆的半径 是最大的 同时我们可将大圆和小圆放在同一平面 上考虑 所以上述结论可以归结为 平面上经过任 意两点劣弧中 半径越大 劣弧越短 产 声 产尸 又刀 S N 2 万 旧丁 N 所以刀 S N 二 Za 5 1 1 1 1 Z x r B TN Z a Sl n T 现在比 较二 二 与 X I Sl n Z 一 的大小 我们考查函 数f x s i n 2 二 x 任 粤 乙1 因为厂 x 令9 x 所以9 x S l n 丈 丈C OS J 5 1 1 1 2 5 1 矿x 工C OS 尤 x si l l x 0 所 以 二 在 0 晋 上 单 调 递 增 9 x 9 二 0 因 此厂 x 5 1 几r XCOST 5 1 矿x 0 所 以 f x 在 0 普 上 单 调 递 增 厅 朴 J 一 2卜 一 2 一 一 一 口 产 由于x x 所以 还 二 华 5 1 1 1艺5 1 1 1 2 一 尸户 产 声 因此刀 S N 石 汀 N 从球面上两点间距离的定义 我们不难看出 球面上的大圆起着类似平面上直线的作用 但是 球面上的任意两条 直线 即大圆 有且只有一种 位置关茶 相交 而 且有两个交点 不存在类似平面 上的平行关系 这个结论 从图象上看也很直观 事 实上 我们可以运用平面的有关公理进行说明 这个结论从图上看 非常直观 但是其证明过 程并不简单 如图1 已知经过B N两点的圆弧分别为 B S Nj口 N 其圆心分别 为0 口 求证 邵N U 一 一 一 一刃 一 一 一 一 一 引 L r勺or 如图2 因为球面上 两个大圆所在的平面都 经过球心0 因此 这两 个平面有一个公共点 根据平面的有关公理 我们知道 这两个平面 必有一条过球心0的交 线 这条交线显然是球 的直径所在的直线 两 图 2 产尸 石 子N 证明如图1 连接 B N两点 并取 丑 N的中 点C 设哪 口 刀 r 优 度 匕月 0 x 弧度 则 图 1 连结C 口 0三点 心艺及 9 x 弧 个大圆的 交点就是这条直径的两个端点A A 我 们把球的直径的两个端点称为对径点 因此 两个 大圆 相交于 对径点A A 球面上两点间的距离不仅是球面几何的核心 概念 而且在实际中有着广泛的应用 如果不考虑 其他任何因素 航海 航空等问题都是沿着大圆弧 航行或飞行 a 5 1 1 2 二铸 5 1 1 1 2 二一 万方数据 2 0 0 7 年第4 6 卷第8 期数学通报 A 111111111111 才 B 2 2 球面角 我们知道了球面上的 直线 后 定义球面角也 就顺理成章了 如图3 过球面上任意一点作两条大 圆弧A 刀护 叮 它们构成的图形叫做球面角乙月 A C 现在 我们关心的是如何度量球面角匕B A C 如图3 乙B 八 C的两边 A B尸 延长后相交于点A 的对径点A 滋召 妇 今 C所在 大圆的半平面构成一个二 面角B一月 月 一C显然 艺月 八 C与二面角B 一A 气 一 C唯一对应 我们用二面角 B 一 A A 一 C 来度量艺月 八 C 而二面角B 一八 A 一C 的大 球面角艺月 八 C的两边A B 八 C延长后相交于点A的对 径点 A 我们把球面角 艺月 八 C的两边A B沪 叮延长 后相交于对径点A 所组成 的图形A B A C称为球面二 角形 因为它像天空中一轮 弯弯的月亮 所以又称它为 图 5 图 3 小用它的 平面角 来度量 在二面角B 一 乃 A 一 C 的 棱 上 如果我 们在球心0 处 分别作 刃土A A 肥 土 八 A 且它 们分别交乙BAC的 两边于D E两点 那 么 及 E 就是二面角B 一 八 八 一 C 的 平面角 这时 用艺且 E的大小度量艺B A C 3 球面上的蓦本图形 球面上两点间的距离和球面角明确后 下一步 我们就开始研究球面上的基本图形 月形 月形也可以看作是球面上由两个大圆的各一 半所围成的图形 如果我们把球面类比为圆 那么球面二角形就 是圆中的扇形 在圆中 我们比较关心扇形与圆的 面积的关系 扇形的面积与其圆心角的大小成正 比 同样 球面二角形的面积也与其球面角的大小 成正比 实际上 球面可以看作球面角为2 二的球面 二角形 这一结论很重要 它在后面证明球面三角 形的面积与其内角和的 关系时会用到 3 3 球面三角形 如同三角形是平面几何研究的重点 球面三角 3 1 极与赤道 如图4 我们可以在球 面上任取一点A 过球心0 且垂直于球半径 姚 的平面 截球面得到大圆L A 此时我 们称点A为极点 简称极 大 圆与 称为以点A为极点的 赤道圆 简称赤道 因此 对 形是球面几何的研究重点 类似三角形的定义 我 们把球面上三条 直线 段 即三条大圆的劣弧 首尾顺 次相接构成的封闭图形称为 球面三角形 也就是说 在球 面上 给出不在同一大圆上 的三点A B C 图6 可以 得 到经过这三点中任意两点的 图 6 图 4 于球面上的任意一点 极 均可得到与它对应的一 个赤道 对于球面上的赤道 均可得到与它对应的 两个极点 我们容易得出 极到赤道的距离 这与平面上 点到直线的距离非常类似 但是 从极出发可作任 意条 直线 大圆 与赤道垂直 如任意一条经线都 与赤道垂直 这与 平面上过一点有且仅有一条直 线与已知直线垂直 的结论相比 可以看出球面几 何与平面几何的差异 这种差异 在后续的内容中 还有很多 3 2 球面二角形 月形 球面二角形与球面角有着紧密的联系 如图5 大圆的劣弧八 B 仪二 沁 这三条劣弧组成的图形称 为球面 乃 刀 C 给出球面三角形的定义后 我们首先想到的 N勺 是 如何度量它的边和角 从球面三角形的定 义 我们不难看出 无论 是度量球面 月 刀 C的边 长 还是它的角 都涉及 一个图形 即从球心0出 发的三条线段 从 沼 比 组成的图形 图7 如 果延长三条线段 H 印 r使它们成为射线 那么 图 7 这三条射线构成三个平面 类似三棱锥 类比二面 万方数据 数学通报2 0 0 7 年第4 6 卷第8 期 角 我们把这样的图形称为三面角 记为0一A 刀 C 乙汉 B 匕且X 二 艺 UA 称为它的面角 三面角中每 相邻两面构成的二面角称为它的二面角 一个三面 角有三个二面角 显然 球面三角形的边长由三面角和球的半径 唯一确定 球面三角形的三个内角由三面角中的三 个二面角唯一确定 也就是说 球面三角形由三面 角唯一确定 球面三角形的边长和内角完全转化为 三面角的问题 如果是在单位球面上考虑问题 那 么其上的球面三角形边 角就由三面角中的面角 二面角唯一确定 球面 八 刀 C三面角0一八 B C 内角二面角 边面角 可以看出 三面角在研究球面三角形的过程 中 起着 脚手架 的 作用 它把球面三角形的问题 完全转化为立体 欧氏 几何中的问题 3 4 对顶三角形 如 图 8 给 出 球 面 月 刀 C 其顶点A B C的对 径点分别为A B 已 由于 三面角0一A B C与三面角0 一A B c 构成完全相同 因 此 经过A B 己三点也构 成一个球面三角形 我们把 图 8 球面 八 B 称为球面 乃 刀 C的对顶三角形 显 然 这两个球面三角形互为对顶三角形 而且这两 个球面三角形除了位置之外 完全相同 这一点在 后面证明 球面三角形的面积与其内角和的 关系时 也会用到 容易看出 互为对顶的两个球面三角形类似平 面上的中心对称图形 3 5 球极三角形 在球面三角形中 还有一 类重要的三角形 球极三 角形 从名称上 这类三角形 与极和赤道有关 事实确实这 样 如图 9 对于任意球面 月 刀 C 假设与边 a了 所在大 图 圆 对应的极点为A A 与边A C所在大圆对应的 极点为B 了 与边AB 所在大圆 对应的 极点为C C 而且点A与A 点B与B 点C 与C 在同 一个 半球面内 这时 我们称球面 A B 为球面 A B C的极对称三角形 简称球极三角形 由球极三角形 极和赤道的概念 我们容易证 明 球面 八 刀 C的与它的球极 A B C 互为极对 称三角形 实际上 两个互为极对称的球面三角形之间还 有一个非常重要的边角关系 为了考虑