高中立体几何典型500题及解析(五-六)(201-300题).doc

高中立体几何典型500题及解析(五)(201250题)201. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正ABC的外接圆的半径，它是中所对的边，其斜边为，即球的半径为，；202. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为 ，连结与并延长，必交于CD的中点E，又，连接，在Rt中，连结与交于，由Rt，同理可证到另二面的距离也等，为四面体外接球与内接球的球心，由，203. 在RtABC中，ABBC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为的二面角AEFB后，设AEC，求证：2cos-cos-1.解析：AFB.可证：BCAB，然后利用AC2BC2+AB2即可证得.204. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将ABD和ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD平面ABE.解析：过D作DFAB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，DFE； 205. 已知正三棱柱ABC的底面边长为，侧棱长为，D为AC中点，（）求证：AB1平面C1DB；（）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.(1) 解析：连交BC于E，连结ED，则ABDE，由线面平行定理得AB平面BDC；（）AB，DE与BC所成锐角就是异面直线AB与BC所成的角，又BDDC，在RtBDC中，易知BEBC，DE，BD，在BDE中，BED，异面直线AB与BC所成角的余弦值为206. 已知（如图）：三棱锥PABC中，异面直线PA与BC所成的角为，二面角PBCA为，PBC和ABC的面积分别为16和10，BC.求：（）PA的长；（）三棱柱PABC的体积解析：(1)作ADBC于D，连PD，由已知PABC，BC面PAD，BCPD，PDA为二面角的平面角，PDF，可算出PD，AD，PA;(2)207. 如图233：线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若PA9，AB12，BQ12，ACF的面积为72，求BDE的面积。解析： 求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积。（提示：ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为，则ABC的面积Sabsin,sin=sin(180-)PCAFDBEQ图233解答:平面QAFAF，平面QAFBE，又，AFBE同理可证：AC/BD，FAC与EBD相等或互补，即sinFAC= sinEBD.由 AFBE，得，BEAF由BD/AC，得：，BDAC又ACF的面积为72，即AFACsinFAC72， BEBDsinEBD AFACsinFAC AFACsinFAC7284BDE的面积为84平方单位。208. a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合平面，现给出六个命题，其中正确的命题是（） A. B. C. D.解析： 首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。解答: 三线平行公理，两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行面面平行传递性，一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内，一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内，故正确应选C。209. 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1与A1D所成的角为，AC与BC1所成的角为，A1C1与CD1所成的角为。求证：ADCBA1D1C1B1图2解析：作如图的辅助线则AB1C为AB1与A1D所成的角AB1CABA1B1C1D1BC1/AD1，故D1AC为AC与BC1所成的角D1ACAA1DD1CC1，A1C1/ACD1CA即为A1C1与CD1所成的角D1CA在ACD1和ACB1中，AB1CD1，B1CD1A，ACCAACD1CAB1，故AB1CAD1C，故AD1C在AD1C中，AD1CD1CAD1AC即：210. ecabdf如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。（已知，求证：。）解析：如图2，作两个相交平面分别与、交于a、c、e和b、d、f211. 下列说法中正确的是（）：A. 直线l平行于平面内的无数条直线，则l/ B. 若直线a在平面外，则a/ C. 若直线a/b，直线b，则a/D. 若直线a/b，b，那么a就平行于平面内的无数条直线解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。解答: 由直线l 虽与平面内无数条直线平行，但l有可能在平面内，知l不一定平行于，从而排除A直线a在平面外，包括两种情况：a/或a与相交，故a与不一定平行，从而排除B直线a/b ，b只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，故a不一定平行于，从而排除Ca/b，b，那么a或a/，故a可能与平面内的无数条直线平行，从而选择DDAFGNMBCE图220点评: 判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不可。 。212.如图220，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AMFN，求证：MN/平面BCE。解析： 要证MN/平面BCE，就是要在平面BCE上找一条直线，证明它与MN平行即可。证明: 连结AN并延长，交BE延长张于G，连结CG。由AF/BG，知，故MN/CG，MN平面BCE，CG平面BCE，于是MN/平面BCE。CBADA1D1C1B1E图2FCBADA1D1C1B1E点评:证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。213. 如图221，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点，（1）判断BD1和过A、C、E三点的平面的位置关系，并证明你的结论。（2）求ACE的面积。证明（1）：连结BD，令BDACF。BD1和过A、C、E三点的平面平行，则F是DB的中点，又E是DD1的中点， EFBD1又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE（2）在正方形ABCD中，AB2，AC2，AF在直角ADE中，AD2，DE1，AE在RtEAF中，EF214. 直线a/直线b，直线a与平面相交，判定直线b与平面的位置关系，并证明你的结论 证明：假设直线b与不相交，则b或b/(1)若b，由a/b，b，aa/，与a与平面相交矛盾，故b不可能。(2)若b/，又a/ b，a，b可以确定平面，设c，由c,知b与c没有公共点，又b、c同在平面内，故b/c，又a/b，故a/c，c，aa/，这与a与平面相交矛盾。故b不平行。综上所述，b与必相交。215. CBADFEA1D1C1图222B1如图222：在长方体AC1中，（1）求证：BC1/平行平面AB1D1（2）若E、F分别是D1C，BD的中点，则EF/ADD1A1解析：（1）D1C1DCABABC1D1是平行四边形BC1/AD1又BC1平面AB1D1，又AD1平面AB1D1BC1/平面AB1D1（2）证明：连结AF、CF、AD1，ABCD是正方形，且F是BD的中点，知A、F、C三点共线，且F是AC的中点，又E是CD1的中点EF/AD，又EF平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，EF/平面ADD1A1216.在正方体木块ABCDA1B1C1D1的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点C1移动；点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动；点P每一变化位置，都使P点到C1点的距离缩短。动点P共有_种不同的运行路线。解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线（从B到C1，就有3种不同路线）经过一条边，一条对角线的情况有6种，经过三条边的情况有6种：，217. 判定下列命题的真假（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图255，正方体AC1中，平面AC平面AD1，平面AC平面AD1AD，ABCDA1D1C1B1图255在AD上取点A，连结AB1，则AB1AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图256，在正方体AC1中，平面AD1平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且ABAD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；（3）如图256：正方体AC1中，平面ADD1A1平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直ABCDA1D1C1B1图256解：由上面的分析知，命题、都是假命题。 点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：两个平面垂直；直线必须在其中一个面内；直线必须垂直它们的交线。218.已知平面平面，平面平面，且a，求证：a。解析： 此题需要作出辅助线，可有多种证明方法。证法1:如图257：在内取一点P，作PA于A，PB于B，则PAa，PBa，又PA，PB，PAPBP， a。证法2：如图258，在a上任取一点Q，作QC 于C，a，Q，又，QC，同理可证QC，QC为与的交线a， a。证法3：如图259，在a上取点R，在内作RD垂直于、的交线l于D，RD，同法在内，作RE垂直于，交与的交线m于E，则RE，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，RD、RE重合，则它既包含于，又包含于， a。证法4：如图260，在、内分别取M、N分别作、的交线l和、的交线m的垂线c，d，则c，d，c/d，c/a， a。点评: 此题是线线，线面，面面垂直转化典型题，多解题，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的。ABPa图257MNalm图260cdCa图258QEa图259RDml219. A.B.C.D.下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是 （）解析：CABCABCDED220. 如图，将锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角，则A与C之间的距离为_。解析：a221. abc图263如图263，已知平面平面，平面平面。a，b且ab，求证。证明：在平面内作直线ca， ab，cb。，c，又，c，222. 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。已知：如图：a/,a/,b，求证：a/b解析： 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。证明: 如图228，过a作平面、，使得c，d，那么有 bacd点评: 本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。223. ABCDEFGH图229如图229：四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，（1）求证：CD/平面EFGH；（2）求异面直线AB、CD所成的角。 证明：（1）截面EFGH是一个矩形，EF/GH，又GH平面BCDEF/平面BCD，而EF平面ACD，面ACD面BCDCDEF/ CD，CD/平面EFGH解：（2）则（1）知EF/ CD，同理AB/FG，由异面直线所成角的定义知EFG即为所求的角。AB、CD所成的角为90224. 图231AMaONBb如图231：设a、b是异面直线，Aa，Bb，ABa，ABb，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点。 证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQ，OQ。b/，b平面ABN，平面ABNOQ，b/ OQ，又O为AB有中点，Q为AN的中点。a/，a 平面AMN，平面AMNPQ，a/ PQ，P是MN的中点。DABCHEGF图232225.如图232：平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CDa，ABb，CDAB（1）求证：EFGH是矩形（2）点E在什么位置时，EFGH的面积最大DABCHEGF图2（1）证明：CD/平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEFCD/EF，同理HG/CD，EF/ HG，同理HE/GF，四边形EFGH为平行四边形，由CD/EF，HE/ AB，HEF为CD和AB所成的角又CDAB，HEEF四边形EFGH为矩形（2）解：由（1）可知在BCD中EF/CD，设DEm，EBn226. 如图223：已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：平面AB1D1/平面BDC1。A1ABCDB1C1D1图223解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线证明:ABC1D1，C1D1A1B1，AD1/BC1AB A1B1，四边形ABC1D1为平行四边形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1/平面AB1D1，同理，BD/平面AB1D1，又BDBC1B，平面AB1D1/平面BDC1。点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行。227.如图224：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG/平面ACD；（2）求ABDCPHFMGN图224解析：（1）要证明平面MNG/平面ACD，由于M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MNPF，又PF平面ACD，MN平面ACD。同理：MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD（2）分析：因为MNG所在的平面与ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知，MGPH，又PHAD，MGAD同理：NGAC，MNCD，MNGACD，其相似比为1：3，1：9点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。228. ABCDEFGH如图：在正方体ABCDEFGH中，求证：平面AFH/平面BDG。解析：易证BD/平面AHF，BG/平面AHF，平面BDG/平面AHF。ABCDEFGH图226RQSMNP229.如图：在正方体ABCDEFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP/平面QRS。解析：先证明SR/BD，BD/HF,HF/NP, SR/平面MNP,再证RO/平面MNP，从而证明平面MNP/平面QRS230. 判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打“”号1一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 （）2如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 （）3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 （）4过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 （）5如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 （）解析： 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。 解答: 1直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行，异面，因此应打2该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，则该命题应打“”号，正是因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“”号3垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“”4前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，该命题应打“”5三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，ab，ac，bc0，且c确定一平面，设为，则a，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面该命题应打“”点评:此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。231.如图235：在空间四边形ABCD中，已知BCAC，ADBD，引BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD。ABDCEFH图235解析： 要证AH平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。证明:取AB中点F，连结CF、DF，ACBC，CFAB，又ADBD，DFAB，AB平面CDF，又CD平面CDF，CDAB又CDBE，CD平面ABE，CDAH又AHBE，AH平面BCD。PACBEO图236点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面内的任何直线，则a，反之，若a，则a垂直于平面内的任何直线。232.如图：已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是异于A、B的O上任意一点，过A作AEPC于E，求证：AE平面PBC。 证明：PA平面ABC，PABC，又AB是O的直径，BCAC而PAACA，BC平面PAC又AE平面PAC，BCAEPCAE且PCBCC，AE平面PBC。233. 如图：BC是RtABC的斜边，AP平面ABC，连结PB、PC，作PDBC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_个。8解析：RtPAB、RtPAC、RtABC、RtADP。CPADB可证BC平面APD，由BCAD，BCPD可得RtPBD、RtPDC、RtADB、RtADC共8个。234. 如图：已知ABCD是空间四边形，ABAD，CBCD求证：BDACBCDA证明：设BD的中点为K，连结AK、CK，ABAD，K为BD中点AKBD同理CKBD，且AKKCKBD平面AKCBD垂直于平面AKC内的所有直线235. 如图240：P是ABC所在平面外的一点，PAPB，PBPC，PCPA，PH平面ABC，H是垂足。求证：H是ABC的垂心。 ABCDOPA1B1C1D1 证明：PAPB，PBPC，ABDCHPPA平面PBC，BC平面PBCBCPAPH平面ABC，BC平面ABCBCPHBC平面PAH，AH平面PAHAHBC，同理BHAC，CHAB，因此H是ABC的垂心。236. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心，求证：B1O平面PAC。证明：如图：连结AB1，CB1，设AB1AB1CB1，AOCO，B1OAC，连结PB1，B1OPO，B1O平面PAC。237. 正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分，m应等于（）A. 27 B. 21 C. 18 D.9解析：A如果将正方体各个面延展，可视为将空间分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一层，而上面一个层面中，又分成九个部分，共93=27个部分。238. 三棱锥PABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上一点Q到侧面PAB、侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2，3，6。求：P、Q两点间的距离。解析：如图，作QE面PAB，QM面PBC，QH面PAC，E、M、N为垂足。由PA、PB、PC两两垂直，所以PC面PAB，PB面PAC，PA面PBC，可得三个侧面两两垂直。设平面QEM与PB交于F，平面QEH与PA交于G，平面MQH与PC交于N，连接EF、MF、GH、GQ、NH、NM，可证明QMNH-EFPG是长方体。PQ=7。239.已知：如图，ABCD是边长为2的正方形，PC面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中点。求：点B到平面PEF的距离。解析：由BDEF可证DB平面PEF，则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平面PEF，故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。方法一：连接DB，AC交于O点，设AC交EF于G，连PG，作OHPG，H为垂足。E、F是AB、AD中点，EFDB，DB面PEF，ABCD是正方形，ACBD，EFAC，PC面ABCD，EFPC，EF面PCG，EF面PEF，面PEF面PCG，OHPG，OH面PEF，即OH为所求点B到平面PEF的距离。由ABCD边长为2，AC=2，GO=，GC=，PC面ABCD，PCAC，OHGPCG，,由PC=2，PG=OH=即点B到平面PEF的距离为。方法二：如图，连接BF、PB，设点B到平面PEF的距离为d，由VP-BEF=SBEFPC=BEAFPC=112=连AC交EF于G,连PG,由方法一知PG=,EF=,SPEF=VB-PEF=SPEFd=VP-BEF=,d=1 d=即点B到平面PEF的距离为。240. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别是A1D1、A1B1、BC、CD、DA、DE、CL的中点，（1）求证：EFGF；（2）求证：MN/平面EFGH；（3）若AB=2，求MN到平面EFGH的距离。解：（1）证：取B1C1中点Q，则GQ面A1B1C1D1，且EFFQ，由三垂线定理得EFGF；（2）在三角形DEG中，MN/EG，由此可证MN/平面EFGH；（3）设所求距离为h，由VE-NGH=VN-HEG，得，又，EL=2，故。241. 已知点P是正方形ABCD所在的平面外一点，PD面AC，PD=AD=，设点C到面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则（ ）（A） d1 d2（B）d1 d2（C）d1 d2（D）d2d1解析：，故d2d1，选D。242.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长；（2）当为何值时，MN的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。解析：（1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 即, （2）由（1）知: ，(3)取MN的中点G，连接AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN，AGB即为二面角的平面角。又，所以由余弦定理有ABCDEFGHPMN。故所求二面角。243. 如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN ,(1)求证:MN/面BCE ; (2)求证:MNAB; (3)求MN的最小值.解析：(1)如图,作MG/AB交BC于G, NH/AB交BE于H, MP/BC交AB于P, 连PN, GH , 易证MG/NH,且MG=NH, 故MGNH为平行四边形,所以MN/GH , 故MN/面BCE ;(2)易证AB面MNP, 故MNAB ;(3)即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即,设AP=x , 则BP=ax , P=ax ,所以：ABFECDPNM ，故当时，有最小值244.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, （1）求MN的长(用x,y表示)；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN2=，在中，MN=；（2）MN，故当，时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。PABCDA1B1C1D1QEON245.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是DD1的中点，且截面EAC与底面ABCD成450角，AA1=2a，AB=a，（1）设Q是BB1上一点，且BQa，求证：DQ面EAC；（2）判断BP与面EAC是否平行，并说明理由？（3）若点M在侧面BB1C1C及其边界上运动，并且总保持AMBP，试确定动点M所在的位置。解析：（1）证：首先易证ACDQ，再证EODQ（O为AC与BD的交点）在矩形BDD1B1中，可证EDO与BDQ都是直角三角形，由此易证EODQ，故DQ面EAC得证；（2）若BP与面EAC平行，则可得BP/EO，在三角形BPD中，O是BD中点，则E也应是PD中点，但PD=DD1=a，而ED=DO=BD=a，故E不是PD中点，因此BP与面EAC不平行；（3）易知，BPAC，要使AMBP，则M一定在与BP垂直的平面上，取BB1中点N，易证BP面NAC，故M应在线段NC上。246.如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，（1）证明： ； （II）假定CD=2，记面为，面CBD为，求二面角 -BD -的平面角的余弦值；（III）当的值为多少时，能使？请给出证明. 解析：（I）证明：连结、AC，AC和BD交于.，连结， 四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD， 可证， 故，但ACBD，所以，从而；（II）解：由（I）知ACBD，是二面角BD的平面角，在中，BC=2，OCB=60，故C1O=，即C1O=C1C，作，垂足为H，点H是.C的中点，且，所以;（III）当时，能使证明一：，所以，又，由此可得，三棱锥是正三棱锥.，247.设相交于G.，且，所以如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求异面直线A1C1与BD1的距离.解析：本题的关键是画出A1C1与BD1的公垂线，连B1D1交A1C1于O，在平面BB1D1内作OMBD1，则OM就是A1C1与BD1的公垂线，问题得到解决.解 连B1D1交A1C1于O，作OMBD1于M. A1C1B1D1，BB1A1C1，BB1B1D1B1. A1C1平面BB1D1. A1C1OM，又OMBD1. OM是异面直线A1C1与BD1的公垂线.在直角BB1D1中作B1NBD1于N. BB1B1D1B1NBD1，aaB1Na， B1Na,OMB1Na.故异面直线A1C1与BD1的距离为a.评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求OM的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.248. 已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.证明 如图，连结MN、NR，则MNl1,NRl2，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l1l2与条件矛盾). MN、NR可确定平面，连结B1C2，取其中点S.连RS、ST，则RSl2，又RNl2， N、R、S三点共线.即有S，又STl1，MNl1，MNST，又S， ST. M、N、R、T四点共面. =2：1又是正三角形的BD边上的高和中线,点G是正三角形的中心.故，即。证明二：由（I）知，当时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同的证法可得，又，所以。249. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )A.12对 B.24对 C.36对 D.48对解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间想象能力.解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧棱，可以且只有与4条底面上的棱组成4对异面直线，又由共6条侧棱，所以异面直线共6424对.解法二：六棱锥的棱所在12条直线中，能成异面直线对的两条直线，必定一条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共6条，侧棱所在直线也有6条，各取一条配成一对，共6636对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内的6条直线有公共点的都是2条，所以，在36对中不成异面直线的共有6212对.所以，六棱锥棱所在的12条直线中，异面直线共有36-1224对.250. 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交或异面解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力.解法一：设两条异面直线分别为l1，l2，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图1，也可能异面，如图2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面，两条平行线与两条异面直线l1与l2的四个交点均在内，则两异面直线l1与l2也在内，这是不可能的.应选D.解法二：利用排除法，容易发现，分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系，由于这点可以排除选择选A、B、C.故选D.高中立体几何典型500题及解析(六)(251300题)251. 已知两平面，相交于直线a，直线b在内与直线a相交于A点，直线c在平面内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.证：用反证法.假设b,c共面，则bc或b,c相交.(1)若bc, ca, ab这与baA的已知条件矛盾；(2)若bcP, b， P.又 c， P. P而a. Pa，这样c,a有了公共点P，这与ac的已知条件矛盾.综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.252. 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AA1和的中点分别是E、F.(1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段；(2)求异面直线AA1和BD1间的距离.解析：(1)连接ED1、EB，则显然ED1EBa又F为BD1之中点. EFBD1；连接FA1，FA. F为正方体的中心， FAFA1，又E为AA1之中点， EFA1A.故EF为AA1与BD1的公垂线段.(2)在RtEFD1中EF.故AA1到BD1间的距离是.评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.253. 如图所示，正三棱锥SABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GEBC，GFSA，且GFSA，所以GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GFGEa,EAEBa,EFa，因为EGF为等腰直角三角形.EFG45，所以EF与SA所成的角为45.说明 异面直线所成角的求法：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.254. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足k.(1)求证：M、N、P、Q共面.(2)当对角线ACa,BDb，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)解析：(1) k MQBD，且 MQBD又 k PNBD，且 从而NPBD MQNP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.(2) ， , MNAC，又NPBD. MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角. MNPQ是正方形， MNP90 AC与BD所成的角为90，又ACa，BDb， MNa又 MQb,且MQMN，ba，即k.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.255.已知：直线a和直线b是异面直线，直线ca，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线.证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有bc或b、c异面两种可能.假设bc, ca, ab，这与已知a,b是异面直线矛盾.所以b与c不能平行，又b、c不相交所以b,c是异面直线.256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，这时A、B、C、D四点都在上，由公理1知A、B、C、D，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线.257. 如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是( )A. B. C. D. 解析：过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1FD1F1，则ADF1F是平行四边形，FADF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1EFA，则BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1DF1，ABCDA1B1C1D1是正方体， E1EA1B1，又DF1AFE1E，DF1BE1. E1EA1B1，EBA1B1在BE1E中，cosBE1E. 应选A.258. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )A. B. C.D.解析：由图所示，AM与CN是异面直线，过N作平行于AM的平行线NP，交AB于P，由定义可知PNC就是AM与CN所成的角.因PBC，PBN，CBN皆为直角三角形，且BP，BN，BC1，故PN2()2+()2，CN2()2+12，PC2()2+12，在PCN中cosPNC，所以cosPNC，因此应选D.259. 已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析： 过P点分别作直线aa,bb,则a与b的夹角为50，由异面直线所成的角的定义可知，过P点与a,b成30角的条数，就是所求的条数.画图可知，过P点与a、b成30角的直线只有两条. 应选B.260. .若a、b为异面直线，P为空间一点，过P且与a、b所成角均为的直线有( )A.二条B.二条或三条C.二条或四条D.二条、三条或四条解析：D261. 已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点.求证：对角线AC、BD是异面直线，EF和HG必交于一点，且交点在AC上.解析：提示：用反证法，或者用判定定理.提示：先证EHFG，EHFG，设FEGH0又 0GH.GH平面ADC.O平面ADC.同理O平